《2024年新东方初中数学初一年级寒假 满分版 第9讲 平行线的性质与判定的综合--教师版（许明鹭、周丽梅、蔡滴）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年新东方初中数学初一年级寒假 满分版 第9讲 平行线的性质与判定的综合--教师版（许明鹭、周丽梅、蔡滴）.docx（67页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第9节 平行线的性质与判定的综合目标层级图本节是初一下册第二章的内容，本讲的内容是针对平行线的性质与判定的综合题型，包括常用的两种模型-“猪蹄”以及“铅笔”模型的简单运用和综合使用，以及平行线与其他的结合（角平分线、动点等），难度相对于上一讲来说会偏大一些。课前检测1下列命题正确的是（ D ）A若两相等的角有一边平行，则另一边也互相平行B一条直线有且只有一条垂线C两条不相交的直线叫做平行线D经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行2下面各语句中，正确的是（）A同角或等角的余角相等B过一点有且只有一条直线与已知直线平行C互补的两个角不可能相等D相等的角是对顶角【解答】解：A、同角或等角的余
2、角相等，正确；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；C、互补的两个角可能相等，错误；D、相等的角不一定是对顶角，错误；故选：A3如图，已知直线a、b被直线c所截，那么1的同位角是（）A2 B3 C4 D5【解答】解：1的同位角是5，故选：D4如图，下列条件中，不能判断直线l1l2的是（）A13 B23 C45 D2+4180【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行可判断直线l1l2，故此选项不合题意；B、23，不能判断直线l1l2，故此选项符合题意；C、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1l2，故此选项不合题意；D、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线l1l2，故此选项
3、不合题意；故选：B5阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为1+2=180，2+4=180（已知）所以1=4，（ 同角的余角相等 ）所以ac（ 内错角相等，两直线平行 ）又因为2+3=180（已知）3=6（ 对顶角相等 ）所以2+6=180，（ 等量代换 ）所以ab（ 同旁内角互补，两直线平行 ）所以bc（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ）课中讲解一. 两种模型内容讲解（一）“铅笔”模型： 结论： 若ABCD，则：PBA+BPD+DPC=360证明：过点P作PEAB，ABCD，ABPECD，PAB+APE180，PCD+CPE180，APCAPE+CPE，APC+PAB+PCD
4、360；： 结论：已知,则 APCPABPCD 证明：过点P作PEAB，ABCD，ABPECD，PAB+APE180，PCD+CPE180，APCCPEAPE，APCPABPCD；例1如图，已知，那么的度数是（根据平行线的性质即可求解,考察铅笔模型的结论记忆）ABCD解：过作直线，如下图所示，（两直线平行，同旁内角互补），（两直线平行，同旁内角互补），故选：过关检测如图，直线，于点，若，则的度数是ABCD解：延长，与的延长线交于点，而，故选：如图，若，则的度数为ABCD无法确定解：，即，故选：如图，已知，则，之间的等量关系为ABCD ，故选：例2如图，则下列等式正确的是（本题考查平行线的性质，
5、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，考察铅笔模型变形结论的使用）ABCD解：如右图所示，故选：过关检测. 如图，已知，则的度数为ABCD解：延长交于，故选：例3已知如图，ABCD，试解决下列问题：（1）1+2=_；（2）1+2+3=_；（3）1+2+3+4=_；（4）试探究1+2+3+4+n=_（考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小 ，根据特殊情况推导一般规律）过关检测1如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是ABCD解：如图，根据题意可知：，分别过点，作的平行线，所以，则，如图，若，则图中的度数是 度.如
6、图，已知直线，直线分别与、交于点、，点在直线上，于点，过点作则下列结论：与是同旁内角；其中正确结论的序号是解：与不是同旁内角，错误；，故正确；，故正确；，故正确，故选：（二）“猪蹄”模型求：B、D、BPD的等量关系。（1） 结论： （2）（3）例1如图，且，则的度数是（“猪蹄”模型的直接使用）ABCD【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等进行做题【解答】解：过点作一条直线，则，故选：例2如图，在平行线，之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点，分别在直线，上，若，则的度数是（注意从复杂图形中辨别出基本模型）ABCD【分析】依据平行线的性质，即可得到，再根据，即可得到的度数【解答】解：如图所
7、示，又，故选：过关检测1如图，则的度数是【分析】过点作，则，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，结合，可求出的度数，进而可得出的度数【解答】解：过点作，则，如图所示，故答案为：2如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为ABCD【分析】首先过点作，由直线，可得，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案的度数，又由是含有角的三角板，即可求得的度数，继而求得的度数【解答】解：过点作，直线，故选：例3如图，已知，分别和直线、交于点、，分别和直线、交于点、，点在上点与、三点不重合）（1）如果点在、两点之间运动时，、之间有何数量关系请说明理由；（2）如果点在、两点外侧运动时，、有何
8、数量关系（只须写出结论）（折点在不同位置时，以同样的方法，得出不同的结论）【分析】（1）根据平行线的性质可求出它们的关系，从点作平行线，平行于，根据两直线平行内错角相等可得出（2）分类讨论，点在点左边，点在点右边【解答】解：（1）如图，过点做的平行线，又，（2）在点左边时，；在点右边时，（提示：两小题都过作的平行线）过关检测1如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点落在某个部分时，连接，构成，三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）（1）当动点落在第部分时，求证：；（2）当动点落在第部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当
9、动点落在第部分时，全面探究，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明【分析】（1）如图1，延长交直线于点，由，可知由，可知；（2）过点作的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据的不同位置，分三种情况讨论【解答】解：（1）解法一：如图1延长交直线于点，；解法二：如图2过点作，；解法三：如图3，又，（2）不成立（3）（a）当动点在射线的右侧时，结论是：（b）当动点在射线上，结论是：或或，（任写一个即可）（c）当动点在射线的左侧时，结论是选择（a）证明：如图4，连接，连接交于，又（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），选择（b）证明：如图5点在射线上，度，或或
10、，选择（c）证明：如图6，连接，连接交于，例4如图，则，满足的数量关系是（多个折点，两种模型的结合，见折点做辅助线。）ABCD【分析】过点作，过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后表示出整理即可得解【解答】解：如图，过点作，过点作，则，故选：过关检测1如图，则、和的关系是ABCD【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系【解答】解：延长交与，延长交于在直角中，；中，即故选：2如图，已知，则等于15度【分析】根据两直线平行，内错角相等求出等于；两直线平行，同旁内角互补求出等于，的度数即可求出【解答】解：，的度数为故答案为
11、：15二. 平行线的判定和综合内容讲解例1同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图1，若，点在、内部，请写出、之间的数量关系（不必说明理由）；（2）如图2，将直线绕点逆时针方向转一定角度交直线于点，利用（1）中的结论求、之间有何数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，设交于点，交于点已知，利用（2）中的结论直接写出的度数和比大多少度【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键。熟知猪蹄型常用辅助线。【分析】（1）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据即可得解；（2）连接并延长，再根据三角形的一个外角等
12、于与它不相邻的两个内角的和解答；（3）依据（2）中的结论、三角形的内角和及三角形的外角和即可求得【解答】解：（1）过点作，；（2）如图2，连接并延长，结论：；（3），答：的度数为：；比大过关检测1如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点，（1）若与都是锐角，如图甲，请直接写出与，之间的数量关系；（2）若把一块三角尺按如图乙方式放置，点，是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点始终在两条平行线之间，点在线段上，连接，且有，求的值；【分析】（1）过作，依据平行线的性质，即可得出；（2）根据（1）中的结论可得，再根据对顶角相等即可得出结论
13、；（3）设，得到，再根据（1）中的结论可得，再根据对顶角相等即可得出，据此可得的值【解答】解：（1）理由：如图，过作，（2），由（1）可得，；（3）设，则，由（1）可得，【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解例2如图1，求的度数小明的思路是：过作，通过平行线性质来求（1）按小明的思路，易求得的度数为 度；（2）如图2，点在直线上运动，记，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、两点不重合），请直接写出与、之间的数量关系【
14、点评】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角【分析】（1）过作，构造同旁内角，通过平行线性质，可得的度数；（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案；（3）画出图形，分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上，根据平行线的性质得出，即可得出答案【解答】解：（1）如图1，过作，；故答案为：120；（2）如图2，理由如下：过作交于，；（3）如图3，当在延长线时，；理由：过作，；如图4，当在延长线时，；理由：过作，；【点评】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角过
15、关检测1问题情境：如图1，求的度数小明的思路是：过作，通过平行线性质来求（1）按小明的思路，易求得的度数为110度；（2）问题迁移：如图2，点在射线上运动，记，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系【分析】（1）过作，通过平行线性质求即可；（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案；（3）分两种情况：在延长线上；在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，即可得出答案【解答】（1）解：过点作，（2），理由：如图2，过作交于，；（3）如图所示，当在延长线上时
16、，；如图所示，当在延长线上时，【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用例3如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和交射线于点、（1）求的度数；（2）随着点的运动，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；（3）当时，求的度数【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型【分析】（1）依据平行线的性质，即可得到的度数，再根据角平分线，即可得出的度数；（2）依据平行线的性质，以及角平分线，即可得到；（3）依据平
17、行线的性质可得，当时，则有，进而得出，依据，即可得出【解答】解：（1），平分，平分，；（2）不变数量关系为：，平分，；（3），当时，则有，过关检测1如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点，（1）（2）当点运动到某处时，则此时（3）在点运动的过程中，与的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明即可；（2）想办法证明即可解决问题；（3）不变可以证明，【解答】解：（1），又，分别平分和，故答案为：（2），又，故答案为：（3）不变理由如下：，又平分，即例4已知，直线，点为平面上一点，连接与（1）如图1，点在
18、直线、之间，当，时，求（2）如图2，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由（3）如图3，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算【分析】（1）先过作，根据平行线的性质即可得到，再根据进行计算即可；（2）过作，根据，可得，进而得到，同理可得，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；（3）过作，根据，可得，进而得到，同理可得，再根据角平分线的定义，得出，进而得到【解答】解：（1）如图1，过作，；（2）理由：如图2，过作，过
19、作，同理可得，与的角平分线相交于点，；（3）理由：如图3，过作，过作，同理可得，与的角平分线相交于点，过关检测1已知，解决下列问题：（1）如图，、分别平分、，若，求的度数（2）如图，若，试写出与的数量关系并说明理由（3）如图，若，设，求的度数（直接用含、的代数式表示，不需说明理由）【分析】（1）过作，依据平行线的性质，即可得到，再根据，、分别平分、，即可得到的度数（2）过作，依据平行线的性质，即可得到，再根据，即可得到，再根据四边形内角和得出与的数量关系；（3）利用平行线的性质可得，再根据，即可得到，再根据四边形内角和，即可得到【解答】解：（1）如图，过作，又，又、分别平分、，；（2）；如图，
20、过作，又，即；（3）如图，过作，同理可得，又，四边形中，【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简单说成：两直线平行，同旁内角互补例5“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度假定主道路是平行的，即，且（1）填空：60；（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若
21、两灯同时转动，在灯射线到达之前若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补【分析】（1）根据，即可得到的度数；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得；（3）设灯射线转动时间为秒，根据，即可得出，据此可得和关系不会变化【解答】解：（1），故答案为：60；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，当时，如图1，解
22、得；当时，如图2，解得 ，综上所述，当秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）和关系不会变化理由：设灯射线转动时间为秒，又，而，即，和关系不会变化过关检测1长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况如图1，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒，且、满足假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且（1）求、的值；（2）若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯射线到达之前若射出的光束
23、与射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围【分析】（1）根据，可得，且，进而得出、的值；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：在灯射线转到之前，在灯射线转到之后，分别求得的值即可；（3）设灯射线转动时间为秒，根据，可得与的数量关系【解答】解：（1）、满足，且，；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，当时，解得；当时，解得；当时，解得，（不合题意）综上所述，当秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯转动时间为秒，又，而，即【点评】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用
24、，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0学习任务1. 已知：直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，则等于ABCD【分析】先根据三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质得出的度数，由直角三角形的性质即可得出结论【解答】解：是的外角，故选：2. 如图，则，满足的数量关系是ABCD【分析】过点作，过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后表示出整理即可得解【解答】解：如图，过点作，过点作，则，故选：3. 如图，已知，ABCD，12，EPFP，则以下结论错误的是（A）A13B2+490C1+390D344.
25、如图，在同一平面内，直线，将含有角的三角尺的直角顶点放在直线上，另一个顶点恰好落在直线上，若，则的度数是【分析】由平角等于可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出，结合，即可得出的度数，此题得解【解答】解：，故答案为：5. 如图，为直线，上的两点，且，则与的度数之和为【分析】如图，作直线，首先证明，求出即可【解答】解：如图，作直线，故答案为6. 已知，如图，则、之间的关系为【分析】过作，由平行线的质可得，由即可得、之间的关系【解答】解：过点作（两直线平行，同旁内角互补）（已知）（两直线平行，内错角相等）又（已知）7. 已知：如图所示，则_50_8 如图，按虚线剪去长方形纸片的相
26、邻两个角，并使1120，ABBC，试求2的度数9已知，点为、之间一点，连接（1）如图1，若平分，平分，求证：；（2）如图2，若，延长交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由（注意：本题不允许使用三角形内角和为【分析】（1）过点作，由，可得，再根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，由可得，进而可得，进而可得；（2）由（1）可得，由，可得的度数，进而可得的度数，再根据计算出，再根据，可得，进而可得【解答】解：（1）过点作，平分，平分，；（2），同（1）可证，【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，关键是正确理清图中角之间的关系，掌握两直线平行，同旁内角相等10如图，已知直
27、线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，平分，平分，直线、交于点（1）写出的度数；（2）试求的度数（用含的代数式表示）；（3）将线段向右平行移动，使点在点的右侧，其他条件不变，请画出图形并直接写出的度数（用含的代数式表示）【分析】（1）根据角平分线的定义，即可得到；（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，根据角平分线的定义求出，然后求解即可；（3）过点作，点在点的右边时，根据角平分线的定义求出，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可【解答】解：（1）平分，；故答案为：；（2）如图1，过点作，平分，平分，；（3）过点作，如图，点在点的左边时，若点在直线和之间，则平分，平分，综上所述，的度数变化，度数为【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，平移的性质的综合运用，解题时要注意分情况讨论求解 家长签字：_