《专题07 特殊平行四边形的综合问题含答案备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题07 特殊平行四边形的综合问题含答案备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练.docx（110页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练专题07 特殊平行四边形的综合问题 【典型例题】1(2021广东广州市第二中学南沙天元学校八年级期末)在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点连接AE，过点B作BFAE于F交AD于H(1)如图1，过点D作DGAE于G，求证：AFBDGA；(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FEDF；(3)如图3，AB1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长【专题训练】一、 选择题1(2021湖南师大附中梅溪湖中学二模)如图，在菱形ABCD中，点F在线段CD上，连接EF，且CBE
2、+EFC180，DF2，FC3则DB()A6BC5D2(广西壮族自治区玉林市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题)如图，在中，点，分别是，的中点，则下列四个判断中错误的是( )A四边形是平行四边形B若，则四边形不一定是矩形C若四边形是菱形，则是等腰三角形D若四边形是正方形，则是等腰直角三角形3(2022重庆南开中学八年级开学考试)如图所示，在长方形中，在线段上取一点，连接、，将沿翻折，点落在点处，线段交于点将沿翻折，点的对应点恰好落在线段上，且点为的中点，则线段的长为( ) A3BC4D4(2021广东东莞市石龙第二中学模拟预测)如图，CBCA，ACB90，点D在边BC上(与B、C不
3、重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FGCA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：ACFG；SFAB：S四边形CBFG1：2；ABCABF；AD2FQAC，其中正确的是()ABCD二、填空题5(四川省成都市高新区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题)如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 _cm26(2021广东南海二模)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF6cm，且tanBAF，则折痕AE长是_7(2021广东佛山市三水区三水中学附属初中二模)如图，RtABC中，C=90
4、，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PEAC于E，PFBC于F，则线段EF的最小值是_8(2021广东东莞二模)如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE1， P、Q分别是边BC，CD的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ的周长最小时，四边形AEPQ的面积是_三、解答题9(2021广东一模)如图，在矩形ABCD中，AD2AB，点E是AD的中点，连接BE，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交DC于点F，连接EF(1)求证：EGFEDF；(2)若点F是CD的中点，BC8，求CD的长10(2022湖南长沙市湘一立信实验学校八年级期末)如图，平行四边形ABCD的
5、对角线AC、BD相交于点O，ABAC，AB3，BC5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动连接PO并延长交BC于点Q设点P的运动时间为t秒(1)则CQ的长度为 (用含t的式子表示)；(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；(3)当点O在线段AP的垂直平分线上时，求t的值11(2022云南省昆明市第二中学九年级期末)如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与边、分别交于点、，连结、(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，求的长；(3)连结，若，求的值12(2022成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校九年级期末)如图，在矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm如果点E由
6、点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm和1cm，FQBC，分别交AC、BC于点P和点Q，连接EF、EP(s)(0t4)(1)t为何值时四边形ABEF是矩形？四边形ABEF能否为正方形？并说明理由(2)连接DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值(3)运动时间t为何值时，EFAC？13(2021广东南海二模)如图1，已知正方形ABCD，AB4，以顶点B为直角顶点的等腰RtBEF绕点B旋转，BEBF，连接AE，CF(1)求证：ABECBF(2)如图2，连接DE，当DEBE时，求SBCF的值(SBCF表示BCF的面积)(3)如图3，当
7、RtBEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与钱段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值14(2021广西南宁二中九年级开学考试)(1)感知：如图，在正方形ABCD中，E为边AB上一点(点E不与点AB重合)，连接DE，过点A作，交BC于点F，证明：(2)探究：如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点(点E，F不与正方形的顶点重合)，连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O若E为AB中点，求GH的长(3)应用：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BF，AE相交于点G若，图中阴影部
8、分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为_，的周长为_15(2022重庆大渡口九年级阶段练习)如图，四边形ABCD是菱形，其中，点E在对角线AC上，点F在射线CB上运动，连接EF，作，交DC延长线于点G(1)试判断的形状，并说明理由；(2)图中，当时，以点B为原点，射线BC为正半轴建立平面直角坐标系平面内是否存在一点M，使得以点M、E、F、G为顶点的四边形与菱形ABCD相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；记点F关于直线AB的轴对称点为点N若点N落在的内部(不含边界)，求CF的取值范围备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练专题07 特殊平行四边形的综合问题
9、 【典型例题】1(2021广东广州市第二中学南沙天元学校八年级期末)在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点连接AE，过点B作BFAE于F交AD于H(1)如图1，过点D作DGAE于G，求证：AFBDGA；(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FEDF；(3)如图3，AB1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)由正方形的性质得ABAD，BAD90，证明BAFADG，然后由AAS证AFBDGA即可；(2)如图2，过点D作DKAE于K，DJBF交BF的
10、延长线于J，先证ABHDAE(ASA)，得AHDE，再证DJHDKE(AAS)，得DJDK，JHEK，则四边形DKFJ是正方形，得FKFJDKDJ，则DF,FJ，进而得出结论；(3)如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PTCD于T，PKAD于K，设PTb，由(2)得ABHDAE(ASA)，则AHDE，再由直角三角形斜边上的中线性质得PDPHPE，然后由等腰三角形的性质得DH2DK2b，DE2DT，则AHDE12b，证出PKQK，最后证点P在线段QR上运动，进而由等腰直角三角形的性质得QRDQ(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABAD，BAD90DGAE，BFAEAF
11、BDGA90FAB+DAG90，DAG+ADG90BAFADG在AFB和DGA中AFBDGA(AAS)(2)证明：如图2，过点D作DKAE于K，DJBF交BF的延长线于J由题意知BAHADE90，ABADCDBFAEAFB90DAE+EAB90，EAB+ABH90DAEABH在ABH和DAE中ABHDAE(ASA)AHDE点E为CD的中点DEEC CDAHDH DEDHDJBJ，DKAEJDKEKFJ90四边形DKFJ是矩形JDKADC90JDHKDE在DJH和DKE中DJHDKE(AAS)DJDK，JHEK四边形DKFJ是正方形FKFJDKDJDFFJFH+FEFJHJ+FK+KE2FJDF
12、(3)解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PTCD于T，PKAD于K，设PTb由(2)得ABHDAE(ASA)AHDEEDH90，点P为EH的中点PDEHPHPEPKDH，PTDEPKDKDTPTD90四边形PTDK是矩形PTDKb，PKDT PHPDPE，PKDH，PTDEPT是DEH的中位线DH2DK2b，DE2DTAHDE12bPK DEb，QKDQDKbPKQKPKQ90PKQ是等腰直角三角形 KQP45点P在线段QR上运动，DQR是等腰直角三角形QRDQ点P的运动轨迹的长为【点睛】本题考查了三角形全等，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，等腰三角形
13、的性质等知识解题的关键在于对知识的综合灵活运用【专题训练】二、 选择题1(2021湖南师大附中梅溪湖中学二模)如图，在菱形ABCD中，点F在线段CD上，连接EF，且CBE+EFC180，DF2，FC3则DB()A6BC5D【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质可得BD=2DE，BC=CD=5，从而得到CBE=CDB，再由CBE+EFC180，可得CBE=CDB=DFE，从而得到DEFDCB，可得到，解得 ，即可求解【详解】解：在菱形ABCD中，BD=2DE，BC=CD=DF+FC=2+3=5，CBE=CDB，CBE+EFC180，DFE+EFC180，CBE=DFE，CBE=CDB=DFE，
14、CDB=EDF，DEFDCB， ， ，解得： ， 故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，菱形的性质定理是解题的关键2(广西壮族自治区玉林市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题)如图，在中，点，分别是，的中点，则下列四个判断中错误的是( )A四边形是平行四边形B若，则四边形不一定是矩形C若四边形是菱形，则是等腰三角形D若四边形是正方形，则是等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解【详解】解：点，分别是，的中点，四边形是平行四
15、边形，故正确；若，四边形是矩形，故错误；若四边形是菱形，则，是等腰三角形，故正确，若四边形是正方形，则，是等腰直角三角形，故正确，故选：【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定，熟练运用这些性质是解本题的关键3(2022重庆南开中学八年级开学考试)如图所示，在长方形中，在线段上取一点，连接、，将沿翻折，点落在点处，线段交于点将沿翻折，点的对应点恰好落在线段上，且点为的中点，则线段的长为( ) A3BC4D【答案】A【解析】【分析】设长为，根据图形沿着某条边折叠所得的两个图形全等，得出A=AB=CD=D，利用AAS再证，F即是AD的中点，已知
16、再根据边之间的长度关系列出等式，解方程即可【详解】解：设F长为，沿翻折，点落在处，沿翻折，使点的对应点落在线段上，A=AB=CD=D，在ABF和DCF中，(AAS)，=，AF=DF，点为的中点，得，经检验是方程的解，并符合题意，故选：A【点睛】本题考查图形折叠问题，矩形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理等知识，掌握以上知识是解题关键4(2021广东东莞市石龙第二中学模拟预测)如图，CBCA，ACB90，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FGCA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：ACFG；SFAB：S四边形CBFG1：2；ABCABF
17、；AD2FQAC，其中正确的是()ABCD【答案】D【解析】【分析】由正方形的性质得出FAD90，AD=AF=EF，证出CAD=AFG，由AAS证明FGAACD，得出AC=FG，正确；证明四边形CBFG是矩形，得出SFAB=FBFG=S四边形CBFG，正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出ABC=ABF，正确；证出ACDFEQ，得出对应边成比例，得出ADFE=AD2=FQAC，正确【详解】解：四边形ADEF为正方形，FAD=90，AD=AF=EF，CAD+FAG=90，FGCA，CAD=AFG，在FGA和ACD中，FGAACD(AAS)，AC=FG，故正确；BC=AC，FG=BC，FGC
18、A，四边形CBFG是矩形，CBF=90，故正确；CA=CB，故正确；，ACDFEQ，AC：AD=FE：FQ，ADFE=AD2=FQAC，故正确；正确的有故选：D【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识利用数形结合的思想是解答本题的关键二、填空题5(四川省成都市高新区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题)如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 _cm2【答案】4【解析】【分析】首先根据菱形的性质可得BODO，ACDB，AOCO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案【详
19、解】解：四边形ABCD是菱形，BODO，ACDB，AOCO，BD2cm，BO1cm，ABcm，AO2(cm)，AC2AO4cmS菱形ABCD(cm2)故答案为：4【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系6(2021广东南海二模)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF6cm，且tanBAF，则折痕AE长是_【答案】【解析】【分析】由折叠的性质得AFAD，EFDE，由矩形的性质得AFADBC，DCAB，BCD90，再由解得AB的值，由勾股定理得AF，知AD，CF的值，设EFDExcm，则CEABDE(8x)cm
20、，然后在RtEFC中，由勾股定理求出x的值，在RtADE中，由勾股定理得，计算求解即可【详解】解：由折叠的性质得：AFAD，EFDE四边形ABCD为矩形AFADBC，DCAB，BCD90由勾股定理得(cm)ADBC10(cm)CFBCBF4(cm)设EFDExcm，则CE(8x)cm在RtEFC中，由勾股定理得x242+(8x)2解得：x5DE5cm在RtADE中，由勾股定理得(cm)故答案为：cm【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切解题的关键在于找出线段的数量关系，多次运用勾股定理求解7(2021广东佛山市三水区三水中学附属初中二模)如图，RtABC中，C=90，AC=3
21、，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PEAC于E，PFBC于F，则线段EF的最小值是_【答案】【解析】【分析】证四边形PECF是矩形，根据矩形的性质得出EF=CP，根据垂线段最短得出CPAB时，CP最短，然后根据三角形的面积公式求出此时CP值即可【详解】解：连接CP，ACB=90，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，PEAC，PFBC，PEC=PFC=ACB=90，四边形EPFC是矩形，EF=CP，当CPAB时，CP最小，即EF最小，根据三角形面积公式得：ACBC=ABCP，CP=，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识点；能求出
22、EF最短时P点的位置是解此题的关键8(2021广东东莞二模)如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE1， P、Q分别是边BC，CD的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ的周长最小时，四边形AEPQ的面积是_【答案】#【解析】【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E，再确定点A关于DC的对称点A，连接AE即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积【详解】解：如图所示：作E关于BC的对称点E，点A关于DC的对称点A，此时四边形AEPQ的周长最小，ADAD3，BEBE1，AA6，AE4DQAE，D是AA的中点， ， DQAE2，B
23、PAA，BEPAEA，即 ，BP，S四边形AEPQS正方形ABCDSADQSPCQSBEP 故答案为：【点睛】此题考查轴对称、相似三角形的判定及性质、平行线的性质等知识，利用轴对称作出辅助线确定得出P、Q的位置是解题关键三、解答题9(2021广东一模)如图，在矩形ABCD中，AD2AB，点E是AD的中点，连接BE，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交DC于点F，连接EF(1)求证：EGFEDF；(2)若点F是CD的中点，BC8，求CD的长【答案】(1)见解析(2)4【解析】【分析】(1)由翻折和矩形的性质可知EGFD90，EGED，可通过HL证明RtEGFRtEDF；(2)根据点F是CD
24、的中点知：CFCD，BF，在RtBCF中，利用勾股定理即可列出方程(1)证明：将ABE沿BE折叠后得到GBE，BGEA，AEGE，四边形ABCD是矩形，AD90，EGFD90，点E是AD的中点，EAED，EGED，在RtEGF与RtEDF中，RtEGFRtEDF(HL)(2)由(1)知RtEGFRtEDF，GFDF，点F是CD的中点，GFDFCF，在矩形ABCD中，C90，ABCD，又由折叠可知ABGB，GBCD，BFGB+GF，在RtBCF中，由勾股定理得：，CD0，CD【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应边相等是解题的关键10(2022
25、湖南长沙市湘一立信实验学校八年级期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，ABAC，AB3，BC5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动连接PO并延长交BC于点Q设点P的运动时间为t秒(1)则CQ的长度为 (用含t的式子表示)；(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；(3)当点O在线段AP的垂直平分线上时，求t的值【答案】(1)5t；(2)当t秒时，四边形ABQP是平行四边形；(3)【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可证APOCQO，则APCQ，再利用即可得出答案；(2)由平行四边形性质可知APBQ，当APBQ时，四边形ABQP是平行四边形，
26、建立一个关于t的方程，解方程即可求出t的值；(3)在RtABC中，由勾股定理求出AC的长度，进而求出AO的长度，然后利用的面积求出EF的长度，进而求出OE的长度，而AE可以用含t的代数式表示出来，最后在中利用勾股定理即可求值(1)四边形ABCD是平行四边形，OAOC，ADBC，PAOQCO，AOPCOQ，APOCQO(ASA)，APCQt，BC5，BQBC-CQ=5t；故答案为：5t；(2)APBQ，当APBQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t5t，t ，当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形；(3)t ，如图，在RtABC中，AB3，BC5，AC= AOCOAC2， 345EF，OE是AP
27、的垂直平分线，AEAPt，AEO90，由勾股定理得：AE2+OE2AO2， 或(舍去)当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及动点问题，掌握平行四边形的判定及性质，以及勾股定理是解题的关键11(2022云南省昆明市第二中学九年级期末)如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与边、分别交于点、，连结、(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，求的长；(3)连结，若，求的值【答案】(1)四边形是菱形理由见解析(2)(3)【解析】【分析】(1)由矩形的性质及线段垂直平分线的性质，可证得，从而得AE=CF，即可证得四边形AFCE是平行四边形，进而可得四边形A
28、FCE是菱形；(2)设，由四边形AECF是菱形及勾股定理可求得m，从而可得BC的长，由勾股定理可求得AC的长，从而可得OC的长，再由勾股定理求得OF的长，最后求得EF的长；(3)设，由矩形的性质及BECE，易得，由相似三角形的性质可得关于a、b的方程，即可求得的值，从而求得结果(1)四边形是菱形理由如下：四边形是矩形，是的垂直平分线，在和中， ，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；(2)，设，四边形是菱形，EF=2 OE=2OF，ACEF，在中，四边形是矩形，在RtOCF中，由勾股定理得： ，(3)设，则，四边形是矩形，或(舍去)，【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的
29、判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解方程等知识，熟练运用这些知识是解决问题的关键根据问题的特点设元是本题的特点12(2022成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校九年级期末)如图，在矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm和1cm，FQBC，分别交AC、BC于点P和点Q，连接EF、EP(s)(0t4)(1)t为何值时四边形ABEF是矩形？四边形ABEF能否为正方形？并说明理由(2)连接DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值(3)运动时间t为何值时，EFAC？【答案】(1
30、)t=时，四边形ABEF是矩形；四边形ABEF不能为正方形，理由见解析.(2)t值为2；(3)运动时间t为s时，EFAC.【解析】【分析】(1)由四边形ABEF是矩形，可得：AFBE，然后分别用含有t的式子表示A与BE即可求t的值；若四边形ABEF为正方形，则AB=BE=AF，即可判断；(2)由四边形EQDF为平行四边形，可得：DFEQ，然后分别用含有t的式子表示DF与EQ即可求t的值；(3)先确定出AC10，进而得出ACB的余弦值，利用三角函数得出CP，CG，即可得出PG，再判断出PFGEFQ，建立方程即可得出结论，(1)解：在矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm，点E由点B出发沿BC方向
31、向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，t秒后，BE=2t，AF=AD-DF=8-t，四边形ABEF是矩形，BE=AF，即2t=8-t，解得t=，故t=时，四边形ABEF是矩形；四边形ABEF不能为正方形.理由：当t=时，BE=AF=，故四边形ABEF不能为正方形.(2)解：在矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm，ABCD6cm，ADBC8cm，BADADCDCBB90，由勾股定理得：AC10，FQBC，FQC90，四边形CDFQ是矩形，DFQC，DCFQ6cm，t秒后，BE2t，DFQCt，EQBCBEQC83t，四边形EQDF为
32、平行四边形，FDEQ，即：83tt，解得：t2，故t值为2；(3)解：在矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm，根据勾股定理得，AC10cm，BDBCD90，FQBC于Q，四边形CDFQ是矩形，CQDF，由运动知，BE2t，DFt，CQt，CEBCBE82t，AF8t，EQCECQ83t，在RtABC中，cosACB，在RtCPQ中，cosACB，CPt，EFAC，CGE90ABC，ACBFEQ90，ACBBAC90，FEQBAC，ABCEQF，即，EQ，83t，解得：ts，故运动时间t为s时，EFAC.【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，动点问题，相似三角形
33、的判定与性质，综合性较强，难度适中13(2021广东南海二模)如图1，已知正方形ABCD，AB4，以顶点B为直角顶点的等腰RtBEF绕点B旋转，BEBF，连接AE，CF(1)求证：ABECBF(2)如图2，连接DE，当DEBE时，求SBCF的值(SBCF表示BCF的面积)(3)如图3，当RtBEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与钱段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值【答案】(1)见解析(2)2或6(3)【解析】【分析】(1)由“SAS”可证ABECBF；(2)由“SSS”可证ADEABE，可得DAEBAE45，可证AHEH
34、，由勾股定理可求BE的长，即可求解；(3)先确定点P的位置，过点B作BQCF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90，EBF90ABC，ABECBF，又BEBF，ABBC，在ABE和CBF中，ABECBF(SAS)；(2)解：如图2，过点E作EHAB于H，ABECBF，SABESCBF，ADAB，AEAE，DEBE，ADEABE(SSS)，DAEBAE45，EHAB，EABAEH45，AHEH，BE2BH2+EH2，10EH2+(4EH)2，EH1或3，当EH1时SABESBCFABEH412，当EH3时SABESBCFA
35、BEH436，SBCF的值是2或6；(3)解：如图3，过点P作PKAE于K，由(1)同理可得ABECBF，EABBCF，BAE+CAE+ACB90，BCF+CAE+ACB90，AGC90，AGCADC90，点A，点G，点C，点D四点共圆，ACDAGD45，PKAG，PGKGPK45，PKGKPG，MP+PGMP+PK，当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小，如图4，过点B作BQCF于Q，BEBF，EBF90，BQEF，EF2，BQEQFQ，CQ，CECQEQ，MKAE，CEAE，MKCE，又M是CD的中点，DC2DM，MPCE【点睛】本题主要考查勾
36、股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键14(2021广西南宁二中九年级开学考试)(1)感知：如图，在正方形ABCD中，E为边AB上一点(点E不与点AB重合)，连接DE，过点A作，交BC于点F，证明：(2)探究：如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点(点E，F不与正方形的顶点重合)，连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O若E为AB中点，求GH的长(3)应用：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BF，AE相交于点G若，图中阴影部分的面积与正
37、方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为_，的周长为_【答案】(1)见解析；(2)；(3)，【解析】【分析】感知：由正方形的性质得出ADAB，DAEABF90，证得ADEBAF，由ASA证得DAEABF(ASA)，即可得出结论；探究：分别过点A、D作，分别交BC、AB于点N、M，由正方形的性质得出，ABCD，DABB90，推出四边形DMEF是平行四边形，MEDF1，DMEF，证出DMGH，同理，四边形AGHN是平行四边形，GHAN，ANDM，证得ADMBAN，由ASA证得ADMBAN，得出DMAN，推出DMGH，由E为AB中点，得出AEAB2，则AMAEME1，由勾股定理得出DM，即可得出结
38、果；应用：S正方形ABCD9，由阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，由SAS证得ABEBCF，得出BEABFC，SABGS四边形CEGF，则SABG，FBC+BEA90，则BGE90，AGB90，设AGa，BGb，则，2ab6，由勾股定理得出a2+b2AB232，a2+2ab+b215，即(a+b)215，得出a+b，即可得出结果【详解】证明：四边形ABCD是正方形，在和中，(ASA)，探究：解：分别过点A、D作，分别交BC、AB于点N、M，如图所示：四边形ABCD是正方形，四边形DMEF是平行四边形，同理，四边形AGHN是平行四边形，
39、在和中，(ASA)，E为AB中点，应用：解：AB3，S正方形ABCD339，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，阴影部分的面积为：96，空白部分的面积为：963，在ABE和BCF中，ABEBCF(SAS)，BEABFC，SABGS四边形CEGF，SABG3，FBC+BEA90，BGE90，AGB90，设AGa，BGb，则ab，2ab6，a2+b2AB232，a2+2ab+b232+615，即(a+b)215，而 a+b，即BG+AG，ABG的周长为+3，故答案为：，【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助