《吉林省长春市2024届高三下学期三模数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吉林省长春市2024届高三下学期三模数学试题含答案.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学试题 第 1 页（共 5 页）长春市 2024 届高三质量监测（三）数 学 本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确 粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹 的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书 写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正 带、刮纸刀。一、选
2、择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过(1,1)A，(1,1)B，(0,2)C三个点的圆的方程为 A.22(1)(1)2xy B.22(1)(1)2xy C.22(1)1xy D.22(1)1xy 2.已知向量(2,4)a，(3,1)b，则“2k”是“()()kkabab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数2,0()(2),0 xxf xf xx，则(3)f A.1 B.2 C.4 D.8 4.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关
3、规定：100mL血液中酒精含量达到 2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（结果取整数，参考数据：lg30.48，lg70.85）A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知复数21,zz满足1212|3,25 izzzz，则|21zz A.3 B.2 3 C.3 2 D.3 3#QQABLQYUoggoQIAAARhCQQVyCgAQkAEACAoOhBAEsAAACBNABAA=#数学试题 第
4、2 页（共 5 页）6.为了迎接 2025 年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生 35 人，女生 25 人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为21s，22s，该班成绩的方差为2s，则下列判断一定正确的是 A.222122sss B.222122sss C.222127512sss D.222127512sss 7.已知随机事件A，B满足1()3P A，3(|)4P A B，7(|)16P B A，则()P B A.14 B.316 C.916 D.4148 8.函数)(xfy 及其导函数)(xfy在区间,a b上的图象如图所示，已知两图
5、象有且仅有一个公共点(0,1)，则 A.函数e()xyf x的最大值为1 B.函数e()xyf x的最小值为1 C.函数()exf xy 的最大值为1 D.函数()exf xy 的最小值为1 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.已知()sin()f xAx（0A，0，02）的部分图象如图所示，则 A.()f x的最小正周期为 B.()f x满足5()()03f xfx C.()f x在区间5,36的值域为 1,3 D.()f x在区间(,2)2上有 3 个极值点
6、Oyx1ab数学试题 第 3 页（共 5 页）10.设等比数列 na的公比为 q，其前 n 项和为nS，前 n 项积为nT，满足11a，781a a，87101aa.则 A.01q B.791a a C.nT的最大值为7T D.nS的最大值为7S 11.某圆锥的侧面展开图是圆心角为23，面积为3的扇形，则 A.该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为322 B.若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为32 C.若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为332 D.若该圆锥内部有一个正方体1111ABCDABC D，且底面ABCD在
7、圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为964的球与正方体表面交线的长度为5 69 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.已知(0,)，且1sincos5，则sin2_.13.直线l与抛物线yx42交于BA,两点，若6|AB，则AB中点M到x轴距离的最小值是_.14.有序实数组12(,)nx xx（2n且*nN）称为n维向量，12|nxxx为该向量的范数.已知n维向量12(,)nx xxa，其中0,1,2ix，1,2,.,in，记范数为奇数的n维向量a的个数为nA，则4A ；21nA .（用含n的式子表示）#QQABLQYUoggoQIAAARhCQQ
8、VyCgAQkAEACAoOhBAEsAAACBNABAA=#数学试题 第 4 页（共 5 页）四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13 分）在ABC中，ABC、所对的边分别为abc、，sin3 cosaBbA，A的角平分线交BC于点D，且1AD.（1）求A的大小；（2）若2 5a，求ABC的面积.16.（15 分）已知函数()eexxxf xa，aR.（1）当0a 时，求曲线()yf x在1x 处的切线方程；（2）当1a 时，求()f x的单调区间和极值；（3）若x R，1()exf x，求a的取值范围.17.（15 分）已知1F，2F
9、分别为双曲线C：223xy（0）的左、右焦点，过2F的直线l与双曲线C的右支交于,A B两点.当l与x轴垂直时，1ABF面积为12.（1）求双曲线C的标准方程；（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D.试判断2|DFAB是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.18.（17 分）由正棱锥截得的棱台称为正棱台，如图正四棱台1111ABCDABC D中，11122ABAB，M为BC中点，点P满足11(1)2APABADAA ，其中(0,1).（1）证明1D PAC；（2）若平面1AMC与平面ABCD所成角的余弦值为37，且23，求直线DP与平面1AMC所成角的正弦值.A
10、DCBA1D1C1B1M数学试题 第 5 页（共 5 页）19.（17 分）入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”.南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天.某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台 10 天销售优惠券情况.日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量 y(千张)1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：10112.210iiyy，101118.73iiit y，1021385iit.（1）由于同时在线人数过
11、多，购票平台在第 10 天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第 10 天数据，求y关于t的回归方程（精确到 0.01），并估计第 10 天的正常销量；（2）假设每位顾客选择A套餐的概率为25，选择B套餐的概率为35，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为nP，求nP；（3）记（2）中所得概率nP的值构成数列nP*()nN.求数列nP的最值；数列收敛的定义：已知数列na，若对于任意给定的正数，总存在正整数0N，使得当0n N时，|naa，（a是一个确定的实数），则称数列na收敛于a.根据数列收敛的定义证明数列n
12、P收敛.回归方程yabx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221niiiniix ynx yxnxb，aybx.#QQABLQYUoggoQIAAARhCQQVyCgAQkAEACAoOhBAEsAAACBNABAA=#数学答案 第 1 页（共 5 页）长春市 2024 届高三质量监测（三）数 学 一、单项选择题：一、单项选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 C A B D D D A C 二、多项选择题：二、多项选择题：9 10 11 AD ABC ACD 2024 长春三模阅卷标准说明会 三、填空题三、填空题:（本大题共（本大题共 4 小小 题题,每小题每小题 5 分分,共共 20
13、 分分,把答案填在答卷纸的相应位置上）把答案填在答卷纸的相应位置上）12.2425 13.2 14.40；21312n 四、解答题：四、解答题：15.（本小题满分 13 分）【试题解析】（1）因为sin3 cosaBbA，由正弦定理可得sinsin3sincosABBA 3 分 sin0B，所以sin3cosAA，故tan3A，23A6 分（2）由题意可知ABDACDABCSSS，即1112sinsinsin232323cbbc，化简可得bcbc，9 分 在ABC中，由余弦定理得22222(21cos222bcabcbcaAbcbc）从而2()220122bcbcbc，解得5bc 或4bc （
14、舍）12 分 所以11sin5 sin120225 34ABCSbcA 13 分 16.（本小题满分 15 分）【试题解析】（1）当0a 时，()exxf x，则1()exxfx，(1)0f，（2 分）1(1)ef，所以切线方程为1ey 3 分（2）当1a 时，()eexxf xx，21e()(1)eeexxxxxfxx4 分 令2()1exg xx，2()12e0 xg x#QQABLQYUoggoQIAAARhCQQVyCgAQkAEACAoOhBAEsAAACBNABAA=#数学答案 第 2 页（共 5 页）故()g x在R上单调递减，而(0)0g，因此0是()g x在R上的唯一零点 即
15、：0是()fx在R上的唯一零点6 分 当x变化时，()fx，()f x的变化情况如下表：x(,0)0(0,)()fx 0 ()f x 极大值 ()f x的单调递增区间为：(0,)；递减区间为：(,0)8 分()f x的极大值为(0)1f，无极小值.9 分（3）由题意知1xxxxeaee，即1xxxxeeae，即21xxaee，（1 分）设21()xxm xee，则 2222221 2()xxxxexexm xee，11 分 令()0m x，解得21x，当1(,),()0,()2xm xm x 单调递增，当1(,),()0,()2xm xm x单调递减，（2 分）所以max1111()()222
16、m xmeee，14 分 所以12ae.15 分 17.（本小题满分 15 分）【试题解析】（1）双曲线223xy可化为 2213xy，1 分 112112 32|(2)41222333ABFSFFAB，即3.4 分 双曲线C的标准方程为 2213yx.5 分（2）设直线l的方程为2xty（0t），11(,)A x y，22(,)B xy，联立双曲线C与直线l：22332xyxty消去x可得：22(31)1290tyty，因此1221231tyyt，112931y yt.7 分 数学答案 第 3 页（共 5 页）进而可得122431xxt，即AB中点M为2226(,)31 31ttt，9 分
17、线段AB的中垂线为2262()3131tyt xtt，10 分 则28(,0)31Dt，（1 分）即2222866|2|3131tDFtt.12 分 22222121222212966|1()41()4|313131ttABtyyy ytttt，14 分 即2|DFAB为定值 1.15 分 18.（本小题满分 17 分）【试题解析】（1）方法一：ABBA2111,1122 222AA ABAA AD 2 分 1121AAADAD 11111(1)()(1)22D PD AAPABADAA 4 分 1111(1)()(1)()22D P ACABADAAABAD 221111(1)()(1)(1
18、)22ABADAB AAAD AA 118(1)8()4(1)0226 分,1ACPD即.1ACPD7分（1）方法二：以底面ABCD的中心O为原点，以OM方向为y轴，过O点平行于AD向前方向为x轴，以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有 2,2,0A，2,2,0B，2,2,0C，2,2,0D，122,22Ah，122,22Ch，122,22Dh，0,2,0M 2 2,2 2,0AC#QQABLQYUoggoQIAAARhCQQVyCgAQkAEACAoOhBAEsAAACBNABAA=#数学答案 第 4 页（共 5 页）1223 23 2
19、(1)0,2 2,02 2,0,0,0,2 2,22222APh 13 22,22D Ah 113 23 23 23 2,2222D PD AAPhh 5 分 故10AC D P ，所以1D PAC7 分（2）设平面ABCD的法向量为0,0,1n 设平面1AMC的法向量为,x y zm，2,2 2,0AM ，13 2 3 2,22ACh 则有100AMAC mm，即22 203 23 2022xyxyhz，令2 2xh，则2 2,2,3hhm9 分 又题意可得2233cos,7829hhm n，可得2h 11 分 因为23，经过计算可得40,0,3P，122,222D，142,2,3D P 1
20、3 分 将2h 代入，可得平面1AMC的法向量4 2,2 2,3m15 分 设直线DP与平面1AMC所成角的为 84424 13sincos,91162232899DP m17 分 19.（本小题满分 17 分）【试题解析】（1）剔除第 10 天数据后的 9112.2 100.42.499iiyy新，12959t新 91118.73 10 0.4114.73iiit y新；9221385 10285iit新 1 分 所以2114.739 5 2.46732859 56000b 故673110352.4560006000a，所以0.111.84yx.3 分 数学答案 第 5 页（共 5 页）据此
21、可估计第 10 天的正常销量约为 2.94 千张.4 分 （2）由题意可知1223355nnnPPPn，其中125P，22231955525P 6 分 则112335nnnnPPPPn，8 分 所以1nnPP是以首项为21192925525PP，公比为35的等比数列，故21932255nnnPPn成立，9 分 则有 012112219333.25555nnnnnPPPPPP 213319939553254054015nn 10 分 故1193940540nnPP，即1935533=4058885nnnP 12 分 （3）当 n 为偶数时，53353 3088588 5nnnP单调递减，最大值为21925P；当 n 为奇数时，53353 3088588 5nnnP单调递增，最小值为125P；综上：数列 nP的最大值为1925，最小值为25.14 分 证明：对任意0总存在正整数0358log()13N，（其中 x表示取整函数）当358log()13n时，358log()35333 33 3|()|()|()8858 58 5nnnP.17 分#QQABLQYUoggoQIAAARhCQQVyCgAQkAEACAoOhBAEsAAACBNABAA=#