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1、2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第54炼 数列求和（含通项公式与求和习题第54炼 数列求和问题数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和。考查学生的观察能力与辨析能力。所以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点，并在练习中熟悉解法一、基础知识：1、根据通项公式的特点求和：（1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： （3）错位相减法：通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法方
2、法详解：以为例，设其前项和为 先将写成项和的形式 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列 ，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。 然后两式相减： 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出即可 所以 对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可
3、以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和（4）裂项相消：通项公式特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多方法详解：以为例 裂项：考虑（这里），在裂项的过程中把握两点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的结构相同，且分母为相邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式进行比较并调整（调整系数），比如本题中，在调整系数使之符合通项公式即可 求和：设前项和为 ，求和的关键在于确定剩下的项。通过观察可发现正项中没有消去，负项中没有消去。所以一
4、般来说，裂开的项中有个正项，个负项，且由于消项的过程中是成对消掉。所以保留项中正负的个数应该相同。(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。例： 可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加 2、根据项的特点求和： 如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇
5、偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即： 两式相加可得： 二、典型例题例1：已知函数，求： 思路：观察可发现头尾的自变量互为倒数，所以考虑其函数值的和是否具备特点。即，所以考虑第个与倒数第个放在一起求和，可用倒序相加法解： 小炼有话说：此类
6、问题要抓自变量之间的联系，并尝试发现其函数值的和是否有特点（常数或者与相关），本题求和的项就呈现出倒数关系。另外在求和过程中倒序相加的方法可以有效地避免项数的奇偶讨论。例2：设数列满足 （1）求数列的通项公式（2）令，求数列的前项和 解：（1） （2）思路：由（1）可得：，尽管整个通项公式不符合任何一种求和特征，但可以拆成，在求和的过程中分成三组分别求和，再汇总到一起。解： 例3：已知数列满足，且对于，设的前项和为，则_思路：原递推公式很难再有变化，考虑向后再写一个式子进行变形。，两式相减可得： ，由可得：，为周期是3的数列，所以求和时可先求出一个周期中项的和，再看中含多少周期即可。解：得：
7、为周期是3的数列 在中令 解得： 而 答案： 例4：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且（1）求数列与的通项公式（2）记，求证： 解：（1）设的公差为，的公比为则 即，解得： （2）思路：虽然所涉及数列通项公式不是“”形式，但观察到中的项具备“等差等比”的特点，所以考虑利用错位相减法求出 ，再证明等式即可解： 所证恒等式左边 右边 即左边右边所以不等式得证例5：已知数列为等差数列，其前项和为，且，数列 （1）求的通项公式（2）求数列的前项和 解：（1） （2）思路：由（1）可得：，所以在求和时首先要考虑项数是否大于5，要进行分类讨论，其次当，求和可分成组分别求和再汇总解：当时， 当时，
8、例6：（2014，桐乡市校级期中）：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列， （1）求数列的通项公式（2）若，求数列的前项和 解：（1）时， 时，符合上式 为等比数列 设的公比为，则 而 解得：或单调递增 （2）思路：由（1）可得：，观察到分母为两项乘积，且具备“依序同构”的特点，所以联想到进行裂项相消，考虑，刚好为，所以直接裂项然后相消求和即可解： 例7：已知等差数列的首项，公差，前项和为 （1）若成等比数列，求数列的前项和 （2）若对一切恒成立，求的取值范围（1）思路：先利用已知条件求出的通项公式，然后用错位相减法求和解：成等比数列，代入可得： 由可得： （2）思路：虽然不知道的通项公式，
9、但根据其等差数列特征可得： 所以，从而可将不等式的左边通过裂项相消求和，然后根据不等式恒成立解的范围即可解： 对一切均成立 设，由可得：为增函数 例8：已知数列，其中相邻的两个被隔开，第对之间有个，则该数列的前项的和为_思路：本题求和的关键是要统计一共有多少个1，多少个2相加。那么首先应该确定第的位置，（即位于第几对1中的第几个2），可将1个与之后个划为一组，则第组数中含有个数。即，可估算出，所以即该数列的第项位于第组第10个数。可分析前48组中含有48个1，含有个，在第49组中有1个1，9个2，所以前项和为 答案：2419小炼有话说：对于这种“规律性”（不含通项公式）的数列，首先要抓住此数列
10、中数排列的规律，并根据规律确定出所求和的最后一项的位置。再将求和中的项进行合理分组使之可以进行求和，再汇总即可。例9：已知是数列的前项和，且（1）求证：数列为等比数列（2）设，求数列的前项和解：（1） 可得： 即为的等比数列（2）思路：若要求和，需要先求出的通项公式。所以先利用（1）构造等比数列求出，从而得到，对于，处理方式既可以将进行奇偶分类，进而分组求和，也可放入到通项公式中进行求和解：由（1）可得：令代入 方法一：直接求和 设小炼有话说：本题虽然可以直接求和，但是过程和结果相对形式比较复杂方法二：分组求和当为偶数时当为奇数时 小炼有话说：本题在分组求和时要注意以下几点（1）相邻两项一组，
11、如果项数为奇数，那么会留出一项，项数为偶数，那么刚好分组。所以要对项数进行奇偶的分类讨论（2）在项数为偶数的求和过程中要注意的取值变化不再是，而是所以求和时的公比和求和的项数会对应发生改变。（3）在项数为奇数的求和中可利用前面的结论，简化求和过程方法三：分奇数项偶数项分别求和当为偶数时： 同理：当为奇数时 例10：已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列（1）求的通项公式（2）令，求数列的的前项和解：（1）成等比数列 即解得： （2）思路：由第（1）问可得：，考虑相邻项作和观察规律：为偶数时，然后再进行求和即可解：为偶数时， 为奇数时： 综上所述：小炼有话说：本题还可以直接从入手：尽管裂开
12、不是两项作差，但依靠在求和过程中也可达到相邻项相消的目的。进而根据项数的奇偶进行讨论求和。三、历年好题精选1、把等差数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，循环分为则第个括号内各数之和为（ ）A. B. C. D. 2、数列满足，则的前60项和为（ ）A. B. C. D. 3、（2016，山东青岛12月月考）设，则在中，正数的个数是（ ）A. B. C. D. 4、（2016，长沙一中月考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，公比为，数列中，是数列的前项和。若（为正偶数），则的值为（ ）A. B. C. D. 5、若数列满足，则数列的通项公式为_6、
13、（2015，新课标II）设是数列的前项和，且，则_7、（2015，江苏）数列满足，且，则数列的前 项和为_8、在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且（1）求（2）设数列满足，求的前项和9、（2015，广东文）设数列的前项和为，已知，且当时， （1）求的值（2）证明：为等比数列（3）求数列的通项公式10、（2015，天津）已知数列满足，且成等差数列（1）求的值和的通项公式（2）设，求数列的前项和11、（2014，湖南）已知数列满足 （1）若是递增数列，且成等差数列，求的值（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式12、（2014，全国卷）等差数列的前项和为，已知为
14、整数，且 （1）求的通项公式（2）设，求数列的前项和 13、（2015，山东）设数列的前项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.14、（2016，山东潍坊中学高三期末）在数列，中，已知，且，成等差数列，也成等差数列（1）求证：是等比数列；（2）若，求数列的前项和15、定义数列，且时，（1）当时，求（2）若，求证：习题答案：1、答案：B解析：由前面几组可得，组中项个数的循环周期为3，因为，所以第50组数含有两个元素。可知在一个周期中将占有中的6项，所以16个周期共占有96项，从而第49个括号里为 ，第50个括号里含有的项为 ，因为，所以，则2、答案：D解析：时，时，
15、 可得：3、答案：D解析：的周期，结合正弦函数性质可知：，且，因为单调递减，所以则为正，同理可得：也均为正数，以此类推，可知均为正数，共个4、答案：B解析：令，为的公差同理代入可得：，解得或设，同理可知，代入可得：5、答案：解析：设，即为等差数列 6、答案： 解析：，即，所以为公差是的等差数列，所以，即7、答案： 解析：，可得：，进行累加可得：，所以，即，故 8、解析：（1）设的公差和公比分别为，所以解得：或（舍）（2）当时，当时， 9、解析：（1）令，则 ，解得： （2）即 时，是公比为的等比数列当时，由可验证得： 综上可得：是公比为的等比数列（3）由（2）以及可得： 为公差是4的等差数列
16、10、解析：（1）依题意可知： 成等差数列即 或（舍） 当时， ，即 当时， ，即 综上所述： （2）由（1）可得： 设的前项和为 两式相减可得： 11、解析：（1）因为是递增数列 ，其中 由可得：，成等差数列 代入可得： 解得：或（舍）（2）因为为递增数列 因为 由可得： 同理：因为为递增数列 因为 综合可得： 12、解析：（1）由可知：，即 为整数 结合不等式可解得： （2） 13、解析：（1）由可得，而，则（2）由及可得.14、解析：（1）由，成等差数列，也成等差数列可得：是公比为的等比数列（2）由（1）可知，整理可得：是公比为的等比数列若为偶数，则若为奇数，则为偶数15、解析：当时，均
17、为等比数列由可得为偶数时为奇数时，（2）由可得： 为公比是2的等比数列 第55炼 数列中的不等关系一、基础知识：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差
18、（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。比如：含的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前项和也可看做数列等等。4、对于某数列的前项和，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：，所以的增减由所加项的符号确定。进而把问题转化成为判断的符号问题二、典型例题例1：已知数列，前项和满足 （1）求的通项公式 （2）设，若数列是单调递减数列
19、，求实数的取值范围 解：（1） 时， 当时，符合上式 （2）思路：由（1）可得：，由已知为单调递减数列可得对均成立，所以代入通项公式得到关于的不等式，即只需，构造函数或者数列求出的最大值即可解：是递减数列 ，即 只需 构造函数：设 则 所以在单调递增，在单调递减 时， 即 构造数列：设数列的通项公式 时，即当时， 所以的最大项为 例2：已知等差数列中，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是（ ）A. B. C. D. 思路：若恒成立，要找，则需先确定的通项公式得到：，所以，发现无法直接求和，很难变为简单的表达式，所以考虑将视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：，进而单调递减
20、，所以，从而 答案：B例3：已知数列满足，若为等比数列，且（1）求（2）设，记数列的前项和为 求 求正整数，使得对于，均有解：（1） 或（舍）（2） 思路：实质是求取到最大值的项，考虑分析的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。对于而言，的增减受符号的影响，所以将问题转化为判断的符号。可估计出当取得值较大时，会由正项变为负项。所以只要寻找到正负的分界点即可解：当时，可验证，从而可得设，则当时，递减时， 时，均有例4：已知数列的前项和为且，数列满足：，其前项和为（1）求（2）令，记的前项和为，对，均有，求的最小值解：（1）为公差是的等差数列 时，符合上式 为等差数列设前
21、项和为 （2）思路：依题意可得：，可求出，从而，若最小，则应最接近的最大最小值（或是临界值），所以问题转化成为求的范围，可分析其单调性。单调递增。所以最小值为，而当时，所以无限接近，故的取值范围为中的离散点，从而求出的最小值解：设，可知递增，当时， 若最小，则 例5（2014，黄州区校级模拟）数列的前项和，数列满足 （1）求数列的通项公式（2）求证：当时，数列为等比数列（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若数列中只有最小，求的取值范围解：（1） 符合上式 （2）考虑即 数列为等比数列（3）思路：由（2）可求得通项公式，但不知其单调性，但可以先考虑必要条件以缩小的取值范围。若要最小，则最起
22、码要比小，从而先求出满足的必要条件（也许最后结果是其子集），在这个范围内可判定为递增数列，从而能保证最小由（2）可得：是公比为的等比数列 若要最小，则必然要即 则，所以为递增数列，符合最小的条件所以小炼有话说：在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件，可先写出其必要条件适当缩小其取值范围，往往会给解题带来新的突破口例6：（2014，文登市二模）各项均为正数的数列 ，其前项和为，满足 ，且 （1）求数列的通项公式（2）若，令，设数列的前项和为，试比较与的大小解：（1） （舍）或是公比为2的等比数列，解得： （2）思路：由（1）可得，进而可求出，比较大小只需两式作差，再进行化简通分可得。
23、利用函数或构造数列判断出的符号即可解： 设 ，可得 为减函数 例7：（2014，湖南模拟）已知各项都为正数的数列的前项和为，且对任意的，都有（其中，且为常数），记数列的前项和为 （1） 求数列的通项公式及（2）当时，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前项，记的前项和为 ，若存在，使得对任意，总有恒成立，求实数的取值范围解：（1） 可得： 即为公差是的等差数列在令得：解得： （2）思路：本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题，先求的表达式。由已知可得：时，要解决，首先要解出等比数列的通项公式。时，进而 显然抽去的应为，所以，得到， ，所以要处理的恒成立不等式为：。
24、再利用最值逐步消元即可解：时，进而成公比为的等比数列，即的公比为，且 而由（1），当时，所以恒成立的不等式为：，所以设 可得为递增函数 所以对任意的均成立即设 为减函数 小炼有话说：本题在处理恒成立问题时，两个阶段对变量量词的不同导致取最大还是最小值要明确区分。第一阶段是存在，也就是说只要有满足不等式即可，所以只要最小值比右边小，就意味着已经存在这样的；第二阶段是对任意的，不等式均要成立，所以只要最大值满足不等式，剩下的函数值也必然能满足不等式。例8：已知数列的前项和，数列满足 （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式 （2）设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数，使得对任意，都有
25、解：（1） 即是公差为1的等差数列 在令得： （2）思路：由（1）可得：，所以等同于，化简可得： ，而的奇偶将决定的符号，所以要进行分类讨论解：由（1）可得：则等价于： 当为奇数时，恒成立不等式为：所以只需当为偶数时，恒成立不等式为：所以只需 例9：已知数列前项和为，且 （1）求的通项公式 （2）设，若集合恰有个元素，则实数的取值范围 解：（1） （2）思路：由（1）所得通项公式可利用错位相减法求 ，进而得到，要读懂集合恰有4个元素的含义，根据描述的特点可知：集合中的元素应该为从大到小排前4项的序数，所以只需判断出的单调性，并结合单调性选出较大的前4项，便可确定的取值。解： 两式相减可得： 下
26、面考虑的单调性 时，即时，所以 而 从大到小排的前4项为： 例10：（2015，天元区校级模拟）已知数列满足 （1）当时，求数列的前项和 （2）若对任意，都有成立，求的取值范围解：（1） 可得： 中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4当时， 当为奇数时， 所以当为偶数时 为奇数时 （2）思路：考虑将不等式转化为的不等式，由（1）可得的奇数项，偶数项各为等差数列，所以只要通过分类讨论确定的奇偶，即可把均用表示，再求出范围即可解：由（1）可得：的奇数项，偶数项各为等差数列，且公差为4当为奇数时， 化简后可得： 所以只需设 解得：或当为偶数时，同理：， 化简可得：即设可得：综上所述：或三、
27、历年好题精选1、已知数列的前项和为，且（1）若，求数列的前项和（2）若，求证：数列是等比数列，并求其通项公式（3）记，若对任意的恒成立，求实数的最大值2、已知数列是首项的等比数列，其前项和中成等差数列（1）求数列的通项公式（2）设，若，求证： 3、已知数列满足：，且（1）证明：数列为等比数列（2）求数列的通项公式（3）设（为非零整数），试确定的值，使得对任意，都有成立4、已知数列中，（为非零常数），其前项和满足（1）求数列的通项公式（2）若，且，求的值（3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出的取值范围；若不存在，请说明理由5、（2016，无锡联考）数列
28、的前项和为，且对一切正整数都有（1）求证：（2）求数列的通项公式（3）是否存在实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由6、已知函数，数列满足（1）求的通项公式（2）令，若对一切成立，求最小正整数7、（2016，贵阳一中四月考）已知数列的前项和为，且，数列满足，对任意，都有（1）求数列的通项公式（2）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围8、设数列为数列的前项和，且（1）求的通项公式（2）设，数列的前项和，若存在整数，使得对任意的都有成立，求的最大值习题答案：1、解析：（1）（2）由可知，代入可得：时，代入可得：，即是公比为的等比数列在中，令可得
29、：（3）可知为递减数列 为递增数列即的最大值为2、解析：（1）成等差数列（2）由（1）可得： 为递增数列综上所述：3、解：（1） 是公比为的等比数列（2）当时，即当时， 是公差为的等差数列即（3）由（2）可得： 恒成立不等式为：当为奇数时，当为偶数时， 4、解析：（1）由已知令，则，所以 当时，验证可知符合通项公式（2）可得 （3）由可得若，则，不符题意，舍去若，则的最大项恰为第项因为该不等式对任意均成立解得：5、解析：（1） 即（2）由（1）可知，两式相减可得：中奇数项，偶数项分别成公差是4的等差数列中令令可得：综上所述可得：（3）恒成立的不等式为： 设，由可知为递减数列解得：6、解析：（1
30、）由已知可得：为首项是1，公差是的等差数列（2）当时，可验证当时，满足上式所以对一切均成立最小正整数为7、解析：（1） 可得：，验证时，符合上式由可知为等比数列 （2）故恒成立不等式为：化简可得：。所以只需设8、解析：（1） 是公差为1的等差数列在令得： （2）由（1）可得： 设 为递增数列 即的最大值为第56炼 数列中的整数问题一、基础知识：1、整数的基本性质：（1）整数的和，差，积仍为整数（2）整数的奇偶性：若，则称为奇数；若，则称为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律： 奇数奇数偶数 奇数偶数奇数 偶数偶数偶数 奇数偶数偶数 偶数偶数偶数 奇数奇数奇数（3）若，且，则 （4）已知
31、，若，且，则只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若，称能被整除，则有： 为的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4），例如：若，则的取值只能是。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，
32、则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个： 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点： 所解得变量非整数，或不符合已知范围 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前项和的项数，均为正整数。二、典型例题：
33、例1：已知数列的通项公式为，若为数列中的项，则_思路：，中的项为大于等于（）的奇数，所以考虑将向奇数形式变形：，可得应该为大于等于4的偶数，所以或，解得（舍）或 答案： 小炼有话说：（1）本题的亮点在于对的变形，在有关整数的问题里，通常可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在上。（2）本题对的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到应为奇数，而，而的奇因数只有和，同样可确定的值。例2：已知等差数列 的公差，设的前项和为 （1）求的通项公式（2）求的值，使得 例3：已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式（
34、2）设，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）符合 （2）思路：按照奇偶分段，所以要确定的奇偶。观察可发现无论为何值，均为一奇一偶，所以只需要对的奇偶进行分类讨论，解出符合条件的即可解：当为奇数时，为偶数解得：当为偶数时，为奇数解得：（舍）综上所述：例4：已知各项均为整数的数列满足，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列（1）求数列的通项公式（2）求出所有的正整数，使得 解：（1）设前6项的公差为，则 成等比数列， 解得： 时， ，则 时， （2）思路：由于数列分为两部分，当时，即为公比是的等比数列，所以考虑对于数列的前几项可进行验证，后成等比数列，从而可
35、进行抽象的计算，看是否能够找到符合条件的。解：由（1）可得：则当时， 当时，当时，当时，当时，假设存在，使得则有即： ，从而无解时，不存在这样的，使得综上所述：或 例5：已知数列的前项和为，且满足，（）.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.解：（1）在中，令，得： 再令，得：（2）由 ，可得：可得： 从第二项开始成等比关系，公比为 而符合上式 （3）思路：所成立的等式为，考虑将进行分离得到：，再利用为整数可得为整数，从而求出符合条件的，再求出。解：由（2）得： 且 只需，即经计算可得：时， 解得： 共有
36、三组符合题意： 小炼有话说：（1）在第（2）问中，要注意的取值范围变化，并且要把所能取到的最小值代入到递推公式中以了解递推公式从第几项开始满足。（2）二元不定方程在求解时，参变分离是一种方式，通过变形让两变量分居不等号的两侧，这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题），来求得变量的解例6：已知数列是各项均不为0的等差数列，是其前项和，且满足，令，数列的前项和为 （1）求数列的通项公式及 （2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由。解：（1） 且 （2）思路：先假定存在满足条件的，则由可得，无法直接得到不等关系，考虑变形等式：，分离参数可得：，以为突
37、破口可解出的范围，从而确定的值后即可求出 解：假设存在，则 即 即解得： ，代入可得：，解得： 存在，使得成等比数列例7：已知各项均为正数的数列满足：，且（1）设，求数列的通项公式（2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数解：（1）是公比为2的等比数列（2）思路：由（1）可得，的通项公式可求但是比较复杂，不利于求出，但观察发现可将中的项重新组合，进而能够和找到联系。，求和可得，若为整数，则能被整除，而，考虑可将写成，通过二项式定理展开并找到最小的正整数解： 若为整数，因为 即 能被整除 所以可得时，能被整除的最小值是 例8：已知为等差数列，前项和为，若（1）求（2）对，将中落入区间内项的个数记
38、为 求 记，的前项和记为，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）设的公差为 解得： （2） 思路：由可得：，则所解方程变形为：，得到关于的不定方程，可考虑对进行变量分离，以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数），得到，即，然后代入解出符合条件的即可解：由可得：由可得： 时，解得：（舍）时，解得：（舍）时，解得：存在这样的，满足所给方程小炼有话说：1、本题中的方程，并没有在一开始就将代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为先化简变形，变形完成之后再代入。可简化不必要的运算2、本题在解的不定方程所用的方法为变量分离法，将两个只含某一字母的式子用等号连接，则两边式子的范围应当一致。以其中一个式子作为突破口（比如），再结合变量必须取整数的条件，便可用不等关系将变量所能取的值确定下来。例9：已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有： ，若，则：（1）求数列的通项公式（2）试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由解：（1） 可得： 令，则 令，则 令，则 所以有：，解得： （2）思路：首先要把命题翻译为等式，将其他项可设为，设存在某项，则，设，则同除以，就会出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立解：假设存在某项及数列中的其他项