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1、1函数与导数函数与导数函数与导数问题是高考数学的必考内容。从近几年的高考情况来看，在大题中考查内容主要有主要利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式及函数零点等内容。此类问题体现了分类讨论、转化与化归的数学思想，难度较大。题型一：利用导数研究函数的单调性题型二：利用导数研究函数的极值题型三：利用导数研究函数的最值题型四：利用导数解决恒成立与能成立题型五：利用导数求解函数的零点题型六：利用导数证明不等式题型七：利用导数研究双变量问题题型八：利用导数研究极值点偏移问题题型九：隐零点问题综合应用题型十：导数与数列综合问题函数与导数函数与导数-2024年高考数学大题突破年高考数学大题突破2题型一：
2、利用导数研究函数的单调性题型一：利用导数研究函数的单调性1(20242024 河南郑州河南郑州 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)已知函数 f(x)=x22+ax-(ax+1)lnx在x=1处的切线方程为y=bx+52(a,bR).(1)求a，b的值；(2)证明：f x在 1,+上单调递增.1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.2、求函数单调区间的步骤(1)确定函数f x的定义域；(2)求fx(通分合并、因式分解)；(3)解不等式fx0，解集在定义域内
3、的部分为单调递增区间；(4)解不等式fx0，解集在定义域内的部分为单调递减区间3、含参函数单调性讨论依据：(1)导函数有无零点讨论(或零点有无意义)；(2)导函数的零点在不在定义域或区间内；(3)导函数多个零点时大小的讨论。31(20242024 安徽六安安徽六安 高三统考期末高三统考期末)已知函数 f x=x3+ax-6 aR.(1)若函数 f x的图象在x=2处的切线与x轴平行，求函数 f x的图象在x=-3处的切线方程；(2)讨论函数 f x的单调性.2(20242024 辽宁辽宁 校联考一模校联考一模)已知 f x=sin2x+2cosx.(1)求 f x在x=0处的切线方程；(2)求
4、 f x的单调递减区间.4题型二：利用导数研究函数的极值题型二：利用导数研究函数的极值1(20242024 湖南长沙湖南长沙 高三长沙一中校考开学考试高三长沙一中校考开学考试)已知直线y=kx与函数 f(x)=xlnx-x2+x的图象相切.(1)求k的值；(2)求函数 f x的极大值.1、利用导数求函数极值的方法步骤(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)=0的所有实数根；(3)观察在每个根x0附近，从左到右导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值；如果在f(x)=0的根x=x0的左右侧f(x)的符号不变，则不是极值点根
5、据函数的极值(点)求参数的两个要领：列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.52(20242024 广东汕头广东汕头 统考一模统考一模)已知函数 f x=ax-1x-a+1lnx aR.(1)当a=-1时，求曲线y=f x在点 e,f e处的切线方程；(2)若 f x既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.3(20222022 河南河南 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f(x)=ex-ax312，其中常数aR R.(1)若 f x在 0,+上是增函数，求实数a的取值范围；(
6、2)若a=4，设g(x)=f(x)+x33-x2-x+1，求证：函数g x在-1,+上有两个极值点.6题型三：利用导数研究函数的最值题型三：利用导数研究函数的最值1(20242024 江苏泰州江苏泰州 高三统考阶段练习高三统考阶段练习)已知函数 f x=x4+ax3，xR R(1)若函数在点 1,f 1处的切线过原点，求实数a的值；(2)若a=-4，求函数 f x在区间-1,4上的最大值函数f(x)在区间a,b上连续，在(a,b)内可导，则求函数f(x)最值的步骤为：(1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个
7、是最大值，最小的一个是最小值；(3)实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。71(20242024 安徽黄山安徽黄山 统考一模统考一模)已知函数 f x=32x2-4ax+a2lnx在x=1处取值得极大值(1)求a的值；(2)求 f x在区间1e,e上的最大值2(20242024 陕西西安陕西西安 统考一模统考一模)已知函数 f(x)=ex-a3x3-x22-2ax(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)若y=f(x)的最小值为1，求a8题型四：利用导数解决恒成立与能成立题型四：利用导数解决恒成立与能成立1(20242024 湖北荆州湖北荆州 高三
8、沙市中学校考阶段练习高三沙市中学校考阶段练习)设函数 f x=1-ax2-ax+aex.(1)当a=1时，求曲线 f x在点 1,f 1处的切线方程；(2)当x0时，若 f xa恒成立，求实数a的取值范围.对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成
9、立与存在性问题的区别91(20232023 宁夏银川宁夏银川 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)已知函数 f(x)=x2-a(lnx+1).(1)讨论 f x的单调性；(2)若存在x 1,e，使得f(x)+ax+a2，求实数a的最大值.2(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测)已知函数 f x=ex-1+ax aR.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若函数g x=ln ex-1-lnx，且 f g x f x在 0,+上恒成立，求实数a的取值范围.10题型五：利用导数求解函数的零点题型五：利用导数求解函数的零点1(20242024 江苏南通江苏南通 高三统考开学考试高三统考开学
10、考试)已知函数 f(x)=ax+bx+2ln(1-x)，曲线y=f x在-1,f-1处的切线方程为y=2ln2-3(1)求a，b的值；(2)求 f x的单调区间，并证明 f x在-,0上没有零点导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征(包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等)，需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。111(20242024 湖北襄阳湖北
11、襄阳 高三枣阳一中校联考期末高三枣阳一中校联考期末)已知函数 f x=xlnx-12x2，其导函数为 fx(1)求 f x单调性；(2)求g x=fx+cosx零点个数2(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测)已知函数 f x=ex+mx2x-lnx.(1)若m=1，求函数 f x的单调区间；(2)若函数g x=f x-m-1lnx有两个零点，求实数m的取值范围.12题型六：利用导数证明不等式题型六：利用导数证明不等式1(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=2xlnx-x+2.(1)求函数 f x的极值；(2)求证：x-1f x-1x0.利用导数证明
12、或判定不等式问题：1通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；2利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.131(20242024 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=xlnx(1)求曲线y=f(x)在点 1,f 1处的切线方程；(2)求证：f x f(x)14题型七：利用导数研究双变量问题题型七：利用导数研究双变量问题1(20242024 江苏江苏 校联
13、考模拟预测校联考模拟预测)已知函数 f x=ex+x2-x lnx+a-1，其中aR，e为自然对数的底数(1)函数g x=f xx，求g x的最小值 a；(2)若x1,x2x1x2为函数 f x的两个零点，证明：x2-x159+ln9162(20232023 云南昆明云南昆明 高三昆明一中校考阶段练习高三昆明一中校考阶段练习)设a，b为函数 f x=xex-m(m0)的两个零点(1)若当x1x恒成立，求实数m的取值范围；(2)证明：ea+eb116题型八：利用导数研究极值点偏移问题题型八：利用导数研究极值点偏移问题1(20242024 浙江绍兴浙江绍兴 高三统考期末高三统考期末)已知函数 f(
14、x)=x-lnx+exx.(1)讨论函数的单调性；(2)若方程 f(x)=a有两个解x1,x2，求证：x1x21.1、和型x1+x22a)问题的基本步骤：首先构造函数g x=f x-f 2a-x，求导，确定函数y=f x和函数y=g x的单调性；确定两个零点x1ax2，且f x1=f x2，由函数值g x1与g a的大小关系，得g x1=f x1-f 2a-x1=f x2-f 2a-x1与零进行大小比较；再由函数y=f x在区间a,+上的单调性得到x2与2a-x1的大小，从而证明相应问题；2、积型x1x212(20242024 江西江西 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)已知函数g x=1
15、-2lnx-ax2(a0)，且g x的极值点为x0.(1)求x0；(2)证明：2g x0+22a；(3)若函数g x有两个不同的零点x1,x2，证明：1x21+1x222g x0+2.18题型九：隐零点问题综合应用题型九：隐零点问题综合应用1(20242024 广西南宁广西南宁 南宁三中校联考一模南宁三中校联考一模)已知函数 f x=lnx-ax+a,g x=x-1ex-a-ax+1 aR(1)若 f x0，求a的值；(2)当a 0,1时，证明：g x f x隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性
16、明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.191(20242024 山东山东 高三实验中学校联考开学考试高三实验中学校联考开学考试)已知函数 f x=mx2-x+1e-x(1)当m0时，求 f x的单调区间；(2)若函数g x=ex+f xex-2恰有两个零点，求实数m的取值范围2(20242024 广东广东 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)已知函数 f x=2x-a.(1)若曲线y=f x在点 a,f a处的切线过点 4,2，求a的值；(2)若 f xaex-1恒成
17、立，求a的取值范围.20题型十：导数与数列综合问题题型十：导数与数列综合问题1(20242024 云南昆明云南昆明 昆明一中校联考一模昆明一中校联考一模)已知函数 f x=alnx+1-x(1)若 f x0，求实数a的值；(2)证明：当n2 nN N*时，nln22ln33ln44lnnn1；(3)证明：12+13+1n0，求实数a的取值范围；(2)求证：ln2+ln87+ln1817+ln2n22n2-11-12n+1.2(20242024 四川德阳四川德阳 统考模拟预测统考模拟预测)f x=cosx+mx2-1(xR R).(1)当m12时，证明：f x0；(2)证明：1tan1+12ta
18、n12+13tan13+1ntan1nn-2n2n+1.221(20242024 山东聊城山东聊城 高三统考期末高三统考期末)已知函数 f x=2x-2 a+2x+alnx(aR R).(1)当a=0时，求曲线 f x在 1,f 1处的切线方程；(2)讨论函数 f x的单调性.2(20242024 江苏江苏 徐州市第一中学校联考模拟预测徐州市第一中学校联考模拟预测)已知函数 f(x)=ax-elogax-e，其中a1(1)若a=e，证明 f(x)0；(2)讨论 f(x)的极值点的个数233(20222022 河南河南 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f(x)=xex-mx2(1)求曲线y=
19、f(x)在(0,f(0)处的切线方程；(2)若函数g(x)=f(x)-ex在x=0处取到极小值，求实数m的取值范围4(20242024 重庆重庆 高三重庆一中校考开学考试高三重庆一中校考开学考试)已知 f(x)=ex+sinx，g(x)=aln(x+1)-1(1)若 f(x)在(0,f(0)处的切线也与g(x)的图象相切，求a的值；(2)若 f(x)+g(x)0在x(-1,+)恒成立，求a的取值集合245(20242024 浙江浙江 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)设函数 f x=exax-lnx-1xa0.(1)a=e时，求曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程；(2)证明：f x
20、至多只有一个零点.6(20232023 江苏盐城江苏盐城 高三盐城中学校联考阶段练习高三盐城中学校联考阶段练习)设函数 f x=k x-1ex+x，其中e为自然对数的底数，kR R(1)若 f x为R R上的单调增函数，求实数k的取值范围；(2)讨论 f x的零点的个数.257(20242024 甘肃平凉甘肃平凉 校考模拟预测校考模拟预测)已知函数 f x=xlnx(1)判断 f x的单调性；(2)设方程 f x-2x+1=0的两个根分别为x1,x2，求证：x1+x22e8(20232023 广东深圳广东深圳 高三深圳中学校考阶段练习高三深圳中学校考阶段练习)已知函数 f x=x2+2ax+2
21、a2ex.(1)若a=0，求 f x的单调区间；(2)若 f x有两个极值点，分别为x1和x2x1x2，求f x1-f x2ex1-ex2的最小值.269(20242024 山东烟台山东烟台 高三统考期末高三统考期末)已知函数 f x=ln x+1-ax2+xx+1(a1).(1)讨论函数 f x的单调性；(2)求证：1n+1+1n+2+12nln(n+1)271(20232023 全国全国 统考高考真题统考高考真题)已知函数 f x=1x+aln 1+x(1)当a=-1时，求曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程(2)若函数 f x在 0,+单调递增，求a的取值范围2(20232023
22、全国全国 统考高考真题统考高考真题)已知函数 f x=ax-sinxcos2x,x 0,2(1)当a=1时，讨论 f x的单调性；(2)若 f x+sinx0，求a的取值范围283(20232023 全国全国 统考高考真题统考高考真题)已知函数 f(x)=ax-sinxcos3x,x 0,2(1)当a=8时，讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)0时，f x2lna+326(20232023 全国全国 统考高考真题统考高考真题)(1)证明：当0 x1时，x-x2sinx0时，f x1；(3)证明：560时，f(x)ln(n+1)10(20222022 全国全国 统考高考真题统考高考真题)已
23、知函数 f(x)=ax-1x-(a+1)lnx(1)当a=0时，求 f(x)的最大值；(2)若 f(x)恰有一个零点，求a的取值范围1函数与导数函数与导数函数与导数问题是高考数学的必考内容。从近几年的高考情况来看，在大题中考查内容主要有主要利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式及函数零点等内容。此类问题体现了分类讨论、转化与化归的数学思想，难度较大。题型一：利用导数研究函数的单调性题型二：利用导数研究函数的极值题型三：利用导数研究函数的最值题型四：利用导数解决恒成立与能成立题型五：利用导数求解函数的零点题型六：利用导数证明不等式题型七：利用导数研究双变量问题题型八：利用导数研究极值点偏移
24、问题题型九：隐零点问题综合应用题型十：导数与数列综合问题题型一：利用导数研究函数的单调性题型一：利用导数研究函数的单调性1(20242024 河南郑州河南郑州 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)已知函数 f(x)=x22+ax-(ax+1)lnx在x=1处的切线方程为y=bx+52(a,bR).(1)求a，b的值；(2)证明：f x在 1,+上单调递增.【思路分析】(1)求出函数的导函数，依题意可得f1=bf 1=b+52，即可得到方程组，解得即可；(2)令g x=x-1x-2lnx，x 1,+，利用导数说明函数的单调性，即可得到当x 1,+时g x0，即当x 1,+时 fx0，即可得证.
25、2【规范解答】(1)因为 f(x)=x22+ax-(ax+1)lnx，所以 f(x)=x+a-alnx-ax+1x=x-1x-alnx，依题意可得f1=bf 1=b+52，即1-1-aln1=b12+a-a+1ln1=b+52，解得b=0a=2.(2)由(1)可得 f(x)=x22+2x-(2x+1)lnx，则 f(x)=x-1x-2lnx，令g x=fx=x-1x-2lnx，x 1,+，则gx=1+1x2-2x=x-12x20，所以g x在 1,+上单调递增，又g 1=0，所以当x 1,+时g x0，即当x 1,+时 fx0，所以 f x在 1,+上单调递增.1、求切线方程的核心是利用导函数
26、求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.2、求函数单调区间的步骤(1)确定函数f x的定义域；(2)求fx(通分合并、因式分解)；(3)解不等式fx0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式fx0，解集在定义域内的部分为单调递减区间3、含参函数单调性讨论依据：(1)导函数有无零点讨论(或零点有无意义)；(2)导函数的零点在不在定义域或区间内；(3)导函数多个零点时大小的讨论。1(20242024 安徽六安安徽六安 高三统考期末高三统考期末)已知函数 f x=x3+ax-6 aR
27、.(1)若函数 f x的图象在x=2处的切线与x轴平行，求函数 f x的图象在x=-3处的切线方程；(2)讨论函数 f x的单调性.【答案】(1)15x-y+48=0；(2)答案见解析【分析】(1)先求导函数再求斜率最后写出切线方程；(2)分类讨论列表根据导函数求单调性.【解析】(1)fx=3x2+a.由题意 f2=12+a=0，解得a=-12，所以 f x=x3-12x-6，f-3=3，f-3=153f x在x=-3处的切线方程为15x-y+48=0(2)fx=3x2+a.当a0时，fx0，f x在R上单调递增.当a0时，由 fx=0得x=-a3，f x在R上的变化情况如下表：x-,-a3-
28、a3-a3,-a3-a3-a3,+fx+0-0+f x极大值极小值由上表可得 f x在-,-a3上单调递增，在-a3,-a3上单调递减，在-a3,+上单调递增.综上，当a0时，增区间为-,+，无减区间；当a0，解得x0=1，所以k=0.(2)由(1)知，f(x)=lnx-2x+2，设g(x)=lnx-2x+2，求导得g(x)=1x-2，令g(x)=0，得x=12，当x 0,12时，g(x)0，当x12,+时，g(x)0，又g1e2=-2e20,g(1)=0，则存在x11e2,12,g(x1)=0，当x(0,x1)(1,+)时，f(x)0，从而 f(x)在(0,x1),(1,+)上单调递减，在(
29、x1,1)上单调递增，所以 f(x)存在唯一极大值 f(1)=0.1、利用导数求函数极值的方法步骤(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)=0的所有实数根；(3)观察在每个根x0附近，从左到右导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值；如果在f(x)=0的根x=x0的左右侧f(x)的符号不变，则不是极值点根据函数的极值(点)求参数的两个要领：列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.2(20242024 广东汕头广东
30、汕头 统考一模统考一模)已知函数 f x=ax-1x-a+1lnx aR.5(1)当a=-1时，求曲线y=f x在点 e,f e处的切线方程；(2)若 f x既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.【答案】(1)y=1e2-1x-2e；(2)(0,1)(1,+).【分析】(1)把a=-1代入，利用导数的几何意义求出切线方程.(2)求出函数 f(x)的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出a的范围.【解析】(1)当a=-1时，函数 f(x)=-x-1x，求导得 f(x)=1x2-1，则 f(e)=1e2-1，而 f(e)=-e-1e，所以曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y-
31、e-1e=1e2-1(x-e)，即y=1e2-1x-2e.(2)函数 f(x)=ax-1x-(a+1)lnx的定义域为(0,+)，求导得 f(x)=a+1x2-a+1x=ax2-(a+1)x+1x2=(ax-1)(x-1)x2，当a0时，ax-10，得0 x1，由 f(x)1，则函数 f(x)在(0,1)上递增，在(1,+)上递减，函数 f(x)只有极大值 f(1)，不合题意；当a0时，由 f(x)=0，得x=1或x=1a，若01a1，由 f(x)0，得0 x1，由 f(x)0，得1ax1，即0a0，得0 x1a，由 f(x)0，得1x0)，利用导数求出函数h x的最小值即可；(2)要证函数g
32、(x)在(-1,+)上有两个极值点，只需证g(x)=0在(-1,+)上有两个不等实根，令p x=g(x)，利用导数研究出函数的零点即可.【解析】(1)因为 f x在(0,+)上是增函数，所以 f(x)=ex-ax240在(0,+)上恒成立，即a4exx2恒成立，只需a4exx2min，设h(x)=exx2(x0)，则h(x)=(x-2)exx3，当x(0,2)时，h(x)0，所以函数h(x)在(0,2)上单调递减，函数h(x)在(2,+)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(2)=e24，所以a4e24，解得ae2.故实数a的取值范围是-,e2；(2)要证函数g(x)在(-1,+)上有两个极值
33、点，只需证g(x)=0在(-1,+)上有两个不等实根，由题意，当a=4时，g(x)=ex-x2-x+1，则g(x)=ex-2x-1，令p(x)=ex-2x-1，则p(x)=ex-2，由p(x)0，得xln2，由p(x)0，得xln2，所以p(x)在(ln2,+)上单调递增，在(-1,ln2)上单调递减，又因为 p(0)=0，p(1)=e-30，所以存在x1=0，x2(1,2)，使得p(x1)=0，p(x2)=0，所以x1,x2是函数 f(x)的两个极值点，即g(x)在(-1,+)上有两个极值点.题型三：利用导数研究函数的最值题型三：利用导数研究函数的最值1(20242024 江苏泰州江苏泰州
34、高三统考阶段练习高三统考阶段练习)已知函数 f x=x4+ax3，xR R(1)若函数在点 1,f 1处的切线过原点，求实数a的值；(2)若a=-4，求函数 f x在区间-1,4上的最大值【思路分析】(1)代入求出切点，求导，利用导数的意义求斜率，再由点斜式写出直线方程求出；(2)求导，分析单调性，求出最值即可.【规范解答】(1)切点 1,1+a，fx=4x3+3ax2，k=f1=4+3a7切线y-1+a=4+3ax-1过 0,0，-1-a=4+3a-1，a=-32(2)a=-4，f x=x4-4x3，fx=4x3-12x2=x24x-12=0，x=0或3，则当-1x0或0 x3时，fx0,当
35、3x0,f x在-1,3上为减，在 3,4为增，f-1=1+4=5，f 4=44-443=0，f xmax=5函数f(x)在区间a,b上连续，在(a,b)内可导，则求函数f(x)最值的步骤为：(1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；(3)实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。1(20242024 安徽黄山安徽黄山 统考一模统考一模)已知函数 f x=32x2-4ax+a2lnx在x=1处取值得极大值(1)求a的值；(2)求 f x在区间1e,e上的最大值【答案】(
36、1)3；(2)-212【分析】(1)求导，然后令 fx=0求出x，代入x=1验证是否符合题意即可；(2)求导，确定函数在区间1e,e上的单调性，进而可求最大值.【解析】(1)由已知 fx=3x-4a+a2x=3x2-4ax+a2x=3x-ax-ax令 fx=0得x=a或x=a3，当a=1时，令 fx0得0 x1，令 fx0得13x0得0 x3，令 fx0得1x0，得1ex1，函数 f x单调递增，令 fx0，得1x12、a0以及0a12分类讨论即可求解.【解析】(1)f(x)=ex-x22,f(1)=e-12,f(x)=ex-x,f(1)=e-1，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线
37、方程y-e-12=(e-1)(x-1)，即2(e-1)x-2y+1=0(2)f(x)=ex-a3x3-x22-2ax,f(0)=1,f(x)=ex-ax2-x-2a,f(0)=1-2a，令k(x)=f(x)=ex-ax2-x-2a，则k(x)=ex-2ax-1，令l(x)=k(x)=ex-2ax-1，则l(x)=ex-2a，当a=12时，f(x)=ex-16x3-x22-x,f(x)=ex-x22-x-1，则k(x)=ex-x-1,l(x)=ex-1，当x0时，l(x)0,k(x)在(-,0)上单调递减，当x0时，l(x)0,k(x)在0,+)上单调递增，k(x)k(0)=0,k(x)在(-,
38、+)上单调递增，且k(0)=0，所以，当x0时，k(x)0,f(x)0时，k(x)0,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增，所以 f(x)min=f(0)=1所以a=12成立，当a12时，当0 xln2a时，l(x)0,l(x)在(0,ln2a)上单调递减，l(x)l(0)=0，k(x)=f(x)=ex-ax2-x-2a在(0,ln2a)上单调递减，因为 f(x)f(0)=1-2a0，所以 f(x)在(0,ln2a)上单调递减，此时 f(x)f(0)=1，舍去9当a0时，当x0时，k(x)=ex-2ax-1 f(0)=1-2a0,f(x)在(-,0)上单调递增，f(x)f(0)=1，舍去
39、；当0a12时，当ln2ax0,k(x)在(ln2a,0)上单调递增，k(x)f(0)=1-2a0,f(x)在(ln2a,0)上单调递增，此时，f(x)0恒成立，构造函数g x=x2ex+x2+x-1,利用导数求解函数的最值即可求解.【规范解答】(1)a=1时，f x=-x+1ex，则 f 1=0，fx=-ex-x+1exex2=x-2ex，故 f1=-1e，所以直线方程为y=-1ex-1，即x+ey-1=0；(2)f 0=a，当x0时，f x的最大值为a，f xa对于x0恒成立，则1-ax2-ax+aexa，即 1-ax2-ax+aaex，a ex+x2+x-1x2，当x=0时，不等式成立，
40、当x0,ex-10,ex+x2+x-10，即ax2ex+x2+x-1对于x0恒成立，令g x=x2ex+x2+x-1,，则gx=x x-21-exex+x2+x-12，于是当x 0,2时，gx0，g x递增；在x 2,+，gx0恒成立，则 f(x)在(0,+)上单调递增；当a0时，令 f(x)=0，解得x=2a2，当0 x2a2时，f(x)2a2时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当a0时，f(x)在(0,+)上单调递增；当a0时，f(x)在 0,2a2上单调递减，在2a2,+上单调递增.(2)存在x1,e，使得f(x)+ax+a2，即存在x1,e，使得x2-a(lnx+1)+ax+a2，则
41、存在x1,e，使得a(lnx-x)x2-2x，令g(x)=lnx-x,x1,e，则g(x)=1x-1=1-xx0恒成立，即函数g(x)在1,e上单调递减，有g(x)g(1)=-10恒成立，因此a-x2-2xx-lnx，即a-x2-2xx-lnxmax,x1,e，令u(x)=-x2-2xx-lnx,1xe，11求导得u(x)=-(2x-2)(x-lnx)-1-1x(x2-2x)(x-lnx)2=-(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2，令h(x)=x+2-2lnx,1xe，求导得h(x)=1-2x=x-2x，则当1x2时，h(x)0，此时h(x)单调递减，当20，此时h(x)单调递增，即
42、h x在 1,2上单调递减，在 2,e上单调递增，则h xh 2=2 2-ln20，即当x 1,e时，ux0恒成立，因此函数u x在 1,e上单调递减，u(x)max=u(1)=1，所以a1，即实数a的最小值为12(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测)已知函数 f x=ex-1+ax aR.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若函数g x=ln ex-1-lnx，且 f g x f x在 0,+上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)-1,+【分析】(1)求得 fx=ex+a，分a0和a0，令h x=xex-ex+1，得到h x在 0,+上单调递增，求得xex
43、-ex+10，结合0ex-1xex，得到g x0恒成立，则 f x在R上单调递增；当a0，可得xln-a；令 fx0，可得x0时，f x f 0=0，所以ex-1x0，所以ln ex-1lnx，所以g x0，令h x=xex-ex+1(x0)，则hx=xex0在 0,+上恒成立，则函数h x在 0,+上单调递增，所以h xh 0=0，所以xex-ex+10，因为x0，可得0ex-1xex，所以lnex-1xlnex，所以g x0时，0g xx，由(1)知，当a0时，f x在R上单调递增，因为g xx，所以 f g x f x，符合题意；当a0时，函数 f x在 ln-a,+上单调递增，因为0g
44、 xx，所以要使 f g x f x成立，则ln-a0，解得-1a0，所以当x0，当-1x0或0 x1时 f(x)0，所以 f x的单调递增区间为-,-1，单调递减区间为-1,0，0,1；因为 f x在-,-1上单调递增，在-1,0上单调递减，x-,0时，f(x)f(-1)=-2-1+2ln2=-3+2ln21时，hx0，当0 x0，故h x在 0,1上单调递增，在 1,+上单调递减，h x在x=1处取得极大值，也是最大值，又h 1=1+ln1-1=0，故 fx0恒成立，则 f x=xlnx-12x2在 0,+上单调递减；(2)g x=1+lnx-x+cosx，定义域为 0,+，gx=1x-1
45、-sinx，当x 0,2时，gx=1x-1-sinx单调递减，且g12=2-1-sin120，g1=-sin10，g2=2-1-sin2=2-20，当x x0,2时，gx0，g2=1+ln2-2，由(1)知，1+lnx-x0在 0,+上恒成立，当且仅当x=1时，等号成立，故g2=1+ln2-20，又当x趋向于0时，g x=1+lnx-x+cosx趋向于-，由零点存在性定理得在 0,1和 1,2上，各存在一个零点，当x2,32时，由(1)知，1+lnx-x0恒成立，此时cosx0恒成立，故g x=1+lnx-x+cosx0在x2,32恒成立，故此时函数无零点，当x32,+时，g x=1+lnx-
46、x+cosx2+lnx-x，14令w x=2+lnx-x，则wx=1x-10，则w x在x32,+上单调递减，其中w32=2+ln32-32，由于32e2，故ln32lne2=2，所以w32=2+ln32-324-320，故x32,+时，g x=1+lnx-x+cosx0)，利用导数求单调性和值域，可得实数m的取值范围.【解析】(1)由题意得，f x=ex+x2x-lnx，函数定义域为 0,+，f(x)=ex+2xx-ex-x2x2-1x=xex-ex+x2-xx2=exx-1+x x-1x2=ex+xx-1x2,令 fx0，解得x1；令 fx0，解得0 x0)，则hx=exx-1lnx-x+
47、1x2(lnx-x)2，令 x=lnx-x+1，则x=1-xx，当x 0,1时，x0；当x 1,+时，x0；当x 1,+时，hx0，h x在 0,1上单调递增，在 1,+上单调递减，h xh 1=-e，且当x0以及x+时，h x-，故当m-e时，直线y=m与函数y=h x的图象有两个不同的交点，即函数g x有两个不同的零点，实数m的取值范围是-,-e.题型六：利用导数证明不等式题型六：利用导数证明不等式151(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=2xlnx-x+2.(1)求函数 f x的极值；(2)求证：x-1f x-1x0.【思路分析】(1)求出函数的导数
48、后讨论其符号可得函数的单调区间;(2)设g x=f x-1x，利用导数可证当0 x1时，g x1时，g x0，故可证题设中的不等式.【规范解答】(1)由题意得，x 0,+，fx=2lnx+1，令 fx0，解得xe-12；令 fx0，解得0 x0，解得x1；令hx0，解得0 x0，gx0，g x在 0,+上单调递增.又g 1=0，当0 x1时，g x0，x-10；当x1时，g x0，x-10，x-1g x0.综上所述，x-1f x-1x0.利用导数证明或判定不等式问题：1通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；2利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数
49、的最值问题，从而判定不等关系；3适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.161(20242024 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=xlnx(1)求曲线y=f(x)在点 1,f 1处的切线方程；(2)求证：f xx2+x【答案】(1)y=x-1；(2)证明见解析【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可；(2)首先将题意转化为证明lnx-x-10，令g x=lnx-x-1，利用导数求出函数的最大值即可证明.【解析】(1)因为 f 1=0，所以切点为 1,0.又 fx
50、=lnx+1，所以k=f1=ln1+1=1，所以切线为y=x-1.(2)要证 f xx2+x，只需证：xlnxx2+x，即证：lnx-x-10，所以gx=1x-1=1-xx，x0，令gx=1-xx=0，解得x=1.所以当x 0,1时，gx0，g x为增函数，当x 1,+时，gx0，g x为减函数.所以g xmax=g 1=-20，所以lnx-x-10恒成立，所以 f x f(x)【答案】(1)f x在区间 0,e12-a上单调递减，在 e12-a,+上单调递增；(2)证明见解析【分析】(1)根据导函数的符号确定原函数的单调性即得；(2)先将求证式进行等价转化成ex-2xx2lnx(对数单身狗，