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1、 山东省烟台市、德州市2024届高三下学期高考诊断性考试数学试题1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D.2.若，则（ ）A.100 B.110 C.120 D.1303.若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ）A.1 B.2 C.3 D.44.若，则（ ）A. B. C. D.5.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数
2、为（ ）A.3 B.6 C.10 D.156.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A.若，则B.若与所成的角相等，则C.若，则D.若，则7.已知定义在上的奇函数满足，当时，则（ ） A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（ ）A. B. C. D.二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为复数，下列结论正确的有（ ）A.B.C.若，则D.若，则或10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为
3、整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ）A. B.C.事件与事件相互独立 D.11.给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）A.存在，使得恒成立 B.存在，使得恒成立C.对任意，总存在，使得 D.对任意，总存在，使得三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为_.13.在三棱锥中，且分别是的中点，则三棱锥外接球的表面积为_，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为_.（本小题第一空2分，第二空3分.）14.若函数在上佮有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为_.四解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明
4、过程或演算步骤.15.（13分）已如曲线在处的切线与直线垂直.（1）求的值：（2）若恒成立，求的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱中，为的中点，平面.（1） 求证：；（2）若，求二面角的余弦值.17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比
5、赛结束.已知甲乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲乙两人在各环节各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲乙两人得分之和大于100分的概率：（2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.18.（17分）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.（1）求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点分
6、别作直线的垂线.垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值.19.（17分）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.（1）用表示点的横坐标和纵坐标：（2）设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值：（3）若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题ACBCBDAA二、选择题9ABD10BCD11BC三、填空题12413，14四、解答题15解：（1），2分直线
7、的斜率，由题意知，4分即，所以5分（2）的定义域为6分因为，所以设，则8分9分当时，所以在单调递增，当时，所以在单调递减，11分所以所以13分16解：（1）因为，所以，1分因为，所以在DBO中，由余弦定理，所以3分在ADO中，由勾股定理，4分因为平面ABC，平面ABC，所以5分因为，所以平面6分因为平面，所以;7分（2）由（1）可知，OA，OD，两两垂直，以O为坐标原点，OA，OD，方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系8分因为，所以9分则，10分可得，设为平面的一个法向量，则，取，则，故，12分由题意可知，为平面的一个法向量，13分因为，所以二面角的余弦值为15分17解：
8、（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率4分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率7分（3）X的可能取值为2，3，4，5一一因为甲任意一题得15分的概率为，所以任意一题乙得15分的概率为，8分，12分所以X的分布列为X2345P13分所以15分18解：（1）由题意知，又因为，2分解得所以，双曲线C的方程为3分设直线l的方程为，联立消x可得，4分不妨设，则，且，5分所以7分9分（2）设直线AP的方程为，则直线DM：，联立，解得，11分用替换上式中的k可得13分故15分因为，当且仅当时，“”成立，所以，故的最大值为17分19解：（1）由题意可得，所以，2分所以，4分（2）证明：由复合函数求导公式，所以7分所以，因为所以为定值110分（3）由题意，13分因为，所以，所以（c为常数），15分，所以OE的长度为817分学科网（北京）股份有限公司