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1、学科网（北京）股份有限公司2024 年高考第二次联合模拟考试数学年高考第二次联合模拟考试数学（考试用时考试用时 120 分钟分钟，满分满分 150 分分）注意事项注意事项：1答卷前答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要改动如需要改动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号回答非选择题时回答非选择题时，将答案写在答题卡上将
2、答案写在答题卡上写在本试卷上无效写在本试卷上无效3考试结束后考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回将本试卷和答题卡一并交回一、选择题一、选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的1若1 i1 iz-=+，则z=（）A1B2C5D52已知椭圆2221142xymm+=的离心率为32，则2m=（）A2B4C2D2 23设nS是等比数列 na的前 n 项和，若22S=，346aa+=，则64SS=（）A2B74C3D1344从 1，2，3，4，5 这 5 个数中随机地取出
3、 3 个数，则该 3 个数的积与和都是 3 的倍数的概率为（）A15B25C310D7105已知函数 2ln2f xxaxeeaR=-+为偶函数，则 f x的最小值为（）A2B0C1Dln26已知函数 2sin106f xxww=+在区间0,上恰有两个零点，则实数w的取值范围是（）A4 10,3 3B5,33C4 10,3 3D5,33广西省2024年高考第二次联合模拟考试 数学试卷含答案学科网（北京）股份有限公司7记函数 yf x=的导函数为y，y的导函数为y，则曲线 yf x=的曲率3221yKy=+若函数为lnyx=，则其曲率的最大值为（）A23B22C2 39D2 338已知点 P 为
4、双曲线22:143xyC-=上的任意一点，过点 P 作双曲线 C 渐近线的垂线，垂足分别为 E，F，则PEF的面积为（）A43B24 349C127D48 349二、选择题二、选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 6 分分，部分选对的得部分分部分选对的得部分分，有选错的得有选错的得 0 分分9已知实数 a，b，c 满足abc，且0abc+=，则下列结论中正确的是（）A0ab+BacbcC11abbc-D294acbcc-10在锐角ABC中，角 A，B，C
5、 对边分别为 a，b，c，且4a=，3sin24cos24AA-=，则（）AABC的外接圆半径为 5B若4c=，则ABC的面积为19225C5320cosbcC-=DABACAB AC+-uuu ruuuruuu r uuur的取值范围为4,2 139-11已知函数 yf x=的定义域与值域均为Q+，且 22*xyfy ff xfytxfytNy+=+，则（）A 11f=B函数 f x的周期为 4C 2f xxxQ+=D2t=三、填空题三、填空题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 15 分分12已知集合2,1,4Am=+，2,1Bm=，若BA，则实数m=_学科网（北京）
6、股份有限公司13设实数 x，4yxy，满足 1，3，4，x，y，2y+的平均数与 50%分位数相等，则数据 x，y，2y+的方差为_14在三棱锥PABC-中，PAB，PBC，PAC，ABC的面积分别 3，4，12，13，且APBBPCAPC=，则其内切球的表面积为_四、解答题四、解答题：本题共本题共 5 小题小题，共共 77 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）已知函数 2252xf xxxe=-+（1）求曲线 yf x=在点 0,0f处的切线方程；（2）求 f x的单调区间与极值16（15 分）在正四棱柱1111ABCDABC D-
7、中，已知2AB=，14AA=，点 E，F，G，H 分别在棱1AA，1BB，1CC，1DD上，且22BFDHAE=，3CG=（1）证明：F，E，H，G 四点共面；（2）求平面ABCD与平面EGH所成角的余弦值17（15 分）某高科技企业为提高研发成果的保密等级，设置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密码保存相关资料，每周使用其中的一套密码，且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种已知第 1 周选择使用甲密码（1）分别求第 3 周和第 4 周使用甲密码的概率；（2）记前 n 周中使用了乙密码的次数为 Y，求 E Y18（17 分）已知抛物线2:C xy=，过点0,2E作直线交抛
8、物线 C 于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作抛物线 C 的切线交于点 P（1）证明：P 在定直线上；学科网（北京）股份有限公司（2）若 F 为抛物线 C 的焦点，证明：PFAPFB=19（17 分）设xR，用 x表示不超过 x 的最大整数，则 yx=称为取整函数，取整函数是法国数学家高斯最先使用，也称高斯函数该函数具有以下性质：yx=的定义域为 R，值域为 Z；任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即 01xxxx=+-2024 年高考第二次联合模拟考试年高考第二次联合模拟考试数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准一、选择题一、选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题
9、 5 分分，共共 40 分分题号12345678答案CADBADCB二、选择题二、选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分题号91011答案ADBCDACD三、填空题三、填空题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 15 分分122-13149 1498四、解答题四、解答题：本题共本题共 5 小题小题，共共 77 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1）由 2252xf xxxe=-+学科网（北京）股份有限公司可知 223xfxxxe=-，所以 0033fe=-=-，又 02f=，所以
10、 f x在点 0,0f处的切线方程为320 xy+-=（2）223 e1 23 exxfxxxxx=-=+-，f x的定义域为R由 0fx=，得32x=，或1x=-，当1x，f x单调递增；当312x-时，0fx时，0fx，f x单调递增；所以函数 f x的单调递增区间为,1-和3,2+；单调递减区间为31,2-故函数 f x在1x=-处取得极大值，极大值为91fe-=；在32x=处取得极小值，极小值为3232fe=-16（1）证明：如图：在正四棱柱1111ABCDABC D-中，分别以AB，AD，1AA为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系则：0,0,1E，2,0,2F，2,2,3G
11、，0,2,2H所以0,2,1FG=uuu r，0,2,1EH=uuur，所以FGEH=uuu ruuur四边形FEHG为平行四边形，故 F，E，H，G 四点共面学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知，0,0,0A，10,0,4A，0,2,1EH=uuur，2,2,2EG=uuu r，平面ABCD的法向量为10,0,4AA=uuur，设平面EGH的法向量为,mx y z=r，则00m EHm EG=uuurruuu rr，所以202220yzxyz+=+=，令1y=，则2z=-，1x=，所以1,1,2m=-r，11186cos,346m AAm AAm AA-=-uuurruuurruuur
12、r故平面ABCD与平面EGH所成角的余弦值为6317解：（1）设第 k 周使用甲密码的概率为ka，因为11a=，20a=，所以313a=，433120139aaa=+-=，答：第 3 周和第 4 周使用甲密码的概率分别为13和29（2）因为第 k 周使用甲密码的概率为ka，则第1k+周使用甲密码的概率为1113kkaa+=-，整理得1111434kkaa+-=-，因为11a=，所以113044a-=，学科网（北京）股份有限公司所以数列14ka-是以34为首项，公比为13-的等比数列，所以1131443kka-=-，即1311434kka-=-+设第 k 周使用甲密码的次数为1,2,kXkn=，
13、则kX服从0 1-分布，所以1212nnE XE XXXE XE XE X=+=+121139131144163413nnnnnaaa-=+=+=-+所以前 n 周中使用甲密码次数的均值9111634nnE X=-+，又因为乙、丙、丁地位相同，所以 31134163nnE XnE Y-=+-18证明：（1）设211,A x x，222,B x x，则22121212ABxxkxxxx-=+-，直线AB的方程为21121yxxxxx-=+-，即1212yxxxx x=+-又因为直线AB过点0,2E，所以122x x-=，即122x x=-设直线PA的方程为211yxk xx-=-，与抛物线方程2
14、yx=联立，解得1xx=或1xkx=-又因为直线PA与抛物线相切，所以11xkx=-，即12kx=所以直线PA的方程为21112yxxxx-=-，即2112yxxx=-同理直线PB的方程为2222yxxx=-由21122222yxxxyxxx=-=-，解得1212,2xxPx x+，即12,22xxP+-故点 P 在直线2y=-上（2）证明：cosFA FPPFAFA FP=uuu r uuu ruuu ruuu r，cosFB FPPFBFBFP=uuu r uuu ruuu ruuu r学科网（北京）股份有限公司注意到两角都在0,内，可知要证PFAPFB=即证FA FPFB FPFAFB=
15、uuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r而2111,4FAx x=-uuu r，129,24xxFP+=-uuu r所以22121119174124416xxFA FPxxx+=-=-+uuu r uuu r，又22221111144FAxxx=+-=+uuu r所以2121741716144xFA FPFAx-+=-+uuu r uuu ruuu r，同理74FB FPFB=-uuu r uuu ruuu r即有FA FPFB FPFAFB=uuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r，故PFAPFB=19解：（1）令1575xn nZ-=，则57
16、15nx+=，103940nn+=又由高斯函数的定义有10390140nn+-解得：1133010n-，则0n=或1n=当0n=时，则715x=；当1n=时，则45x=；（2）设 rn=，设19100r+，20100r+，21100r+，91100r+中有 k 个为1n+，73k-个 n，073k，据题知：731546k nk n-+=，则有35773kn-=+，解得:35k=，7n=所以568100r+，578100r+，即743100744r故100743r=证明（3）：据题形式，可构造不等式，当3n 时，有1124424n nnnn+-设1403,nqrrqZ+=+，学科网（北京）股份有限公司则有114424n nrrqqn+-从而114424n nrrn+-又当1n=，2 时，经检验原式成立，故对一切的自然数 n，原式成立