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1、垂径定理的应用15（2023东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为O的直径，弦ABCD，垂足为E，CE1寸，AB10寸，则直径CD的长度为 26寸【答案】26【分析】连接OA，设O的半径是r寸，由垂径定理得到AE=12AB5寸，由勾股定理得到r2（r1）252，求出r，即可得到圆的直径长【解答】解：连接OA，设O的半径是r寸，直径CDAB，AE=12AB=12105寸，CE1寸，OE（r1）寸，OA2OE2AE2，r2（r1）252，r13，直径CD的长度为2r
2、26寸故答案为：26【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接OA构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程垂径定理的应用40（2023永州）如图，O是一个盛有水的容器的横截面，O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 16cm【答案】16【分析】过点O作ODAB于点C，交O于点D，连接OA，由垂径定理可得ACBC，然后在RtAOC中根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长【解答】解：如图，过点O作ODAB于点C，交O于点D，连接OA，AC=BC=12AB，由题意知，OA10cm，CD4cm，OC6cm，在RtAOC中，AC=
3、OA2OC2=10262=8cm，AB2AC16cm，故答案为：16【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时需熟练掌握勾股定理垂径定理的应用38（2023广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）A20mB28mC35mD40m【答案】B【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD=372，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案【解答】解：由题意可知，AB37m，CD7m，设主桥拱半径为Rm，ODOCCD（R7）m，OC是半径，OCAB，ADBD=12A
4、B=372m，在RtADO中，AD2+OD2OA2，（372）2+（R7）2R2，解得R=15655628故选：B【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题39（2023荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OBAC于D若AC3003m，BD150m，则AC的长为（）A300mB200mC150mD1003m【答案】B【分析】先根据垂径定理求出AD的长，由题意得ODOABD，在RtAOD中利用勾股定理即可求出OA的值，然后再利用三角比计算出AC所对的圆心角的度数，由弧长公式求出AC的长即可
5、【解答】解：如图所示：OBAC，AD=12AC1503m，AOC2AOB，在RtAOD中，AD2+OD2OA2，OAOB，AD2+（OABD）2OA2，(1503)2+（OA150）2OA2，解得：OA300m，sinAOB=ADOA=32，AOB60，AOC120，AC的长=120300180=200m故选：B【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出AD的长，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式垂径定理的应用43（2023山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列
6、车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为60若圆曲线的半径OA1.5km，则这段圆曲线AB的长为（）A4kmB2kmC34kmD38km【答案】B【分析】由圆的切线可得OACOBC90，进而可证明A、O、B、C四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得AOB60，再根据弧长公式计算可求解【解答】解：过点A，B的两条切线相交于点C，OACOBC90，A、O、B、C四点共圆，AOB60，圆曲线AB的长为：601.5180=12（km）故选：B【点评】本题主要考查圆的切线的性质，点与圆的位置关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算，证明A、O、B、C四点共圆求解AOB的度数是解题的关键