《12-13期末.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12-13期末.docx（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2012-2013高数上册期末试题解一、(5分)若lim g(x) = 0 ,且在X。的某去心邻域内g(x) W 0,lim= A,x。g(x)则lim广(x)必等于0,为什么？Xf小证:lim f(x)= lim g(x)XTXoXfXo g(x)lim lim g(x)=4- 0 = 0。XTX。gx Xf X。aex + bex - c二、(8 分)设广(x) = 0x-07limX-0aex + bex- csin2xi . ae + be c , . ae be xlim；= limx-OV2x0 2x得。=2。=lia + be 202方tip又由 1 im = 1, 1 im 2
2、x = 0 有 d-b = 1 im(ae - bex) = 0, a = b 才o2xxf 0x-0再由解a+ 6 = 2得a = b - 1 o当 a = 6 = 1, c = 2 时、八 x I 八-X Q* . -x Q- X-Xie+e 2 e+e 2- e elim fx) = lim；= lim；= iimodsin2x30/2xex+ e-x9=lim= = 1 = /(O)o 22F(x)在x = 0处连续。三、(6分)设F(x)在x = a处二阶可导，且手包)=尸(M = 0,广(=1,求极限limx fa广(x) sin (x - a)(I - 03解：limx Taf(
3、x) sin (x - h)3=limxf(x) sin (x - a)_3a 1. fX)(X - a) e lim(x a)四、（5分）解：lim2 0+e37 lim xia6一 3aV a)指出F(x)=12_1 +exf(x)-a)2_ e3a一542 xra (x - a)了的间断点及其类型。1 +ex=0, lim = 1 ,所以 F(x)= x-0-11 +exfx) - fa)!吧(一)11 +ex有第一类跳跃间断点伍、（5分）设r均是x的可微函数，y（x） = In J/ +力2 ,求力。解：dy - y/u2 +)=1 12 u2 + v2du2 + /U -2dU +U
4、 + V小如。六、（5分）求函数/（x）=dt在e, e2上的最大值。 + 15t，/ In x解：/(x)=-2x + 1e, e2，/（X）在e, e2上严格单调增加。/（外在e, e2上的最大值“ 2、 仔 in Z 7S) = 7人(t - I)22In tdIn tt - 1e2r2 1-dtI t(t - 1)2e2 - 1+ InIn/(x) = fJex In t（其实1In tt - 1X+ Ine)oIn x i x 1+ InIn (e 1) + 1七、(5分)求 八二解:dx，二”,一 dtxG _ 1 - Lg_ 1，1 dt ，= secx2 tt2 - 1osec
5、 x tan x 7nLdx =sec x tan x3八、(5分)求微分方程y + 3/cos 2x的通解。解：所给方程不含y。记0=则y=o原方程变为 dxdp , Q F 3p dxcos 2x这是一阶线性非齐次方程。P(x)=3, 0(x)cos 2x oJ P(x)dx - 3xr / 、f Pxdxj 0(x)e dx -cos 2xexdx = f cos 2xde3x3 J1e31e31一 e333x3x一 e13coscoscos2x2x2x打3 J打9 Jcos 2x +2-e92sin 2xe3xdxsin 2xde”43* sin 2x9e3x cos 2xdxp =
6、ex13e：*3p - cos13一 e133xsin 2xcos 2x2+ e3% sin 2% - 3C13U2&2x + sin2x 131J 1133 . osin 2x -26cos 2 + sin13、2x + Cxex713cos 2xCxex + C2微分方程y + 3/ = cos 2x的通解为p3 .sin262xcos 2x + CxeZx + C?131九、(5分)若在的某去心邻域内F(x) o(x),且lim o(x) = 0 ,试证明lim /(x) = 0 oo证：设在(x(p 5)内/*(x) 0由 1 im a(x) = 0,存在 S 8,当 0 x - x(
7、)%oo(x) = a(x) - 0| f此时广(x) - 0 2(x) x。十、(5分)设y = p(x)由方程p = f2x + (p)所确定，其中F和。都是可导函数,求/。解：df 2x+ 0(y) = fflx + (y)&(2x + 0(y)=ff2x + 0(y)(2 办 + ”(p)办)y = f2x + dy)两边微分得解得dy = fr2x + 0(y )(2dx + (p)方)2ff2x + 0(y)力=1 - *2x + *) j(y) dx,二2彳2x + *_71 -快 十 0iy)z/(y)、(6 分)设Mx) = lim 1 + -,求广(x)。f 00t解：广(
8、x) = lim x 1 + -t f oo-f- b 7x lim 1方一8，-|4xiY+ -4 Y xefx) =+ 4x/xf(x) = 8e4 + 16xe十二、（6分）求函数y = （x - 1六/7的极值。解：y =（X 1）疗到处连续。yr =+ (x - 1)2 j. 3x0,0,0,02 -525,2极大值y(0) = 0,极小值y - (535A十三、（8分）求由不等式sir? x y cos377I所确定区域的面积。解：区域的面积71力=(cos3 x - sin3 x)dx -714 cos3 xdx - f4 sin3 xdxoJo=(1- sin2V cos Xs
9、inxsir? x + cosxcos3十四、（8分）设/V）在0,1上连续，在（0,1）内可导，且0） = 0,对任意X ek,1）有f（x） w 0,证明存在。e（0,1）使空军 =- 6 （n为自然数）。 f0o记夕（x） = F（x）F（l 幻。则显然分（x）在0,l上连续在（0,1）内可导。/(0) = #0)51) = 0 =/ 50)=分根 据 罗 尔 中 值 定 理， 存 在（0,1） 使F(c) = F(W(c)F(l 一 c) 一 F(c)尸(1 c) = 0 即nfr(c) ff(l - c)Ac)/(I - c)r(0) In-oa证:f+8. X=tdx =Jo xd
10、t(2 0) o(F(c) w 0 )。p+8十五、(8分)设F(x)在0,+oo)上连续，0 0。由F(x)在0,+8)上连续和局部保号性，存在5 0使得 Mx) (0 W x W 5)。此时2疔(幻,r(0).dx dx = +ooJo xJo 2xr+8 /？(x)与收敛矛盾。类似地，Ao) 0,y 0)。222227JoJy = F(x)的参数方程弧长,1ds Js:r = cos t1. .(0 t ) 0y2, , 1x = sin t, y - -7= cos tV2in2 t + cos2 tdt = -= Jl + sin2 tdt7 = f Jl + cos2xdx-I71s = j= p Jl + sin2 tdt -2V2-I71 =f2 71 + cos2 tdt = f V1 + cos2 tdt4i Jo2V2Jo1s2V2