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1、叼a/1 + x2 -l-Vl + 2sin2x + l解.1、lim= limiotan - x%一(121 0 - 2一x-2sin x 1小223I2厂-lim 2 lim2- c c lim 2 -a-o jcxjc2 3 -V-o xlim(M + /)sinx = lim。+ *)7 I2、x0x0,2xl+lim- q=e x-0 -= g 一- 0 四、设函数 /(x) = x xwu ，a，x = 0a/1 + x2 -I , Vl + 2sin2x-l2- lim9)tan x1 otan - xo6t2x i7 1o x , x ,. x+e 1x . e1 -1nxli
2、mlim +lini_ p XTO sm Xio s,n X XTO Xo其中g(x)具有二阶连续导数，三、求下列函数的极限：1、11m J一，2sin2, ； 2、lim(x + )ootan x og(0) = Lg(0) = L问:1) 为何值时，/(x)在x = 0处连续；2)求/(x)并讨论/(x)高等数学(2008-2009 )期中试题一、已知函数/(x)是周期为5的周期函数，它在x = 0的某邻域内满足关系式：/I + ln(l + 4%)- 2/(1 sin 3%) = 10% + tai? x,且 /(%)在 x = 1 处可导，求 /f(l 1)。解.在 x = 0 处对
3、/I + ln(l + 4x)- 2/(1-sin 3x) = 10x + tan2x 两边求导得/(1) 1 + ln(l + 4x)- 2(1- sin 3x)=10 + 2 tanx 即dx* dxx=0cos xx=041+ 6/=10故 f( 1)=尸=1。二、设y = #(x_)，且当九=1 时,y = u2+eu9求：/(x)和/(2)。解./(I ) = /+e。令i =%得/(1)=(1一x)2+e-。八2) = -2(1-幻-= 2一/。在x = 0处的连续性。 e x解.1)lim f (x) = limXT() X=加以中XT 01-x=短(0) + 1 = 0,故 =
4、0时，f(x)在x = 0处连续。2)当xwOH寸，fx)=，/、 -x g(%) ex(gx) + ex)-g(x) + eAx2xg(x) + xex - g(x) + exx2当x = 0时，-(0) = lim跳也二 xf0 X limg(? + e , =limga|_e =；(g(0)_l)。 xo2xx-o22xgx) + xe lim /(%)= lim-x -g(x) + ex2-x_limA-0烟 = g (g(0) -1)=/(0)可见，/(x)在x = 0处连续。五、求下列函数的导数：1、设了 =，求y ； 2、设y = y(x)是由方程组x 2f 3 ta Q 、皿
5、dy,所确ZL白J函数，求;3、e sin y + 1 = 0dx设 y = /cos2x,求)J)； 4、求曲线y = + ln(l + /)的渐近线。 x解.1、 v =(sinx,sin x、 In ln e xIn xln esin x /i i sinx) In xlnx )z . nxsmx1 i sinx In+x x/ 、x xcosx-sinxvsinxX2InxL sinx In+x x(cosx 1 Y -In xsinx %)dx 入 入2、 2t 2 , dt把y看成x的函数，对evsin， y + l = O两边求导得ey smt + ey cost- - = 0,
6、Wfil = e CSf , 从而 dtdtdt 1 -ey sintdt 2(/-1)(1 - ey sin t)dx _包= dxey cost293、y jc c os x g%2(i + cos2x)。y()=ix2(l + cos2x)(/,)v(x) = x2, u(x) = 1 + cos2x, M(x) = 2x, M(x) = 2, u)(x) = 0(女2), “)(x) = 2Z cos(2x + -)y()_ 2t x2 cos(2x + 2i nxcos(2x + -) + 27 (九-l)cos(2x + 4、limx-0+ ln(l + /) xHm ln(l +
7、 e) = oo, x-0垂直渐近线：x = 0.L + ln(l + e) a - v 一 hm 一1 ln(l + /)八八=lim + lim；= ，b= lim工X x s%工-oo左渐近线：y = 0。工+ ln(l + /)c _x _a - lim- limX-4+00X=0右渐近线：y = x。六、设曲线y = /(x)过原点且在原点与X轴相切，其中/(X)具有二阶连续导数，且/(0)。0。(1)求丁 = /(x)在原点处的曲率半径R； (2)证明x2=R。解.(1)曲线y = /(x)过原点且在原点与x轴相切得/(0)=尸(0) = 0。工一|/(0)|(2)x2吧 2/(x
8、)雪穴与二|广(。)|七、设了在-2a,2a上具有二阶导数，且|/(x)上，又4。/(0) = ,/()= 尸(0) = -1。证明：(1) V%2,2有|1 + 八到2。,2。 ； (3)于(a+ Z?)| o证明./(x)在-2,20上具有二阶导数，则/(x)和(x)都在-2,20上连续。又/(0)= ()=仃(0) = T，,(X) ,根据中值定理 4(1) Vxw2兄2A |1 +广(刈=|尸3-尸(0)| = |/01 c1x 2a 4a2(2) a + b = 2a + f(a) - /(O) = 2a + )a (。 (0,)u)。21。由(1), f() o 因此一 + /?
9、,故 a + Z? 2a,2a。(3)(2)已得+23a a , a . z x 从而/? 一，又由(1),f(a + b)=b + f(a + b)-f(a) = bf3) + 1|(另在。和。+ 人之间)aO4八、在抛物线y = 4-上的第一象限部分求一点，过p点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形的面积最小。解.在第一象限0x2, y = 2x。x =，处的切线：y = 4 J2/(x 1)。与坐标4 +产轴的交点：(0,4 + r),(,0)o面积S =+2，+ +最小值不在端点)342RSr = -t2+2-,令9=0得1 =百。根据问题的实际，这就是最小值点。此时丁 =1。故P =(亮|)。