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1、分类剖析半角旋转问题本文所述“半角旋转问题”是指，A角的大小和位置固定时，B角的顶点与A角的顶 点重合，且数量是A角的一半，当B角绕公共顶点旋转时，所产生的几何问题.这些数学题 的解决能够考察学生对全等、相似等基本知识技能的掌握，以及对转化、数形结合等数学思 想的应用，所以半角旋转问题成为2016年中考中的热点.笔者撷取部分题目，分类作出分析, 供各位读者参考.一、45。角在90。角内的旋转例1 (2016年淄博中考题)如图1,正方形ABC。的对角线交于。，点M、N分别为 BC、CO边上的动点(不与点3、C、。重合)，AM、AN分别交80于点、尸，且 NM4N = 45。始终不变.求证需哗AM
2、 2(2)求证:(3)请探索:在NM4N旋转过程中，当N8AW等于多少度时，4FMN =,写出你的探索结论，并加以说明.B m C分析 由NM4N = 45。和NC4O = 45。，可得NM4C = NN4O,继而可证NMAC: NFAD ，所以AM AC 2再根据NM4N = 45。，sinZMA7V = =,进而可得2 AM/MAC =/NAD.DN由 于 tan ZNAD = ,乂 AD = AB ,而 且 NAFB; VNFD ,所 以 ADDN DN NF=，又因为VAEW为等腰直角三角形，所以Ab = Mb,所以AD AB AFFNtan ZNAD =.MF在 RNMFN中，tan
3、 ZFMN = ,所以 ZMAC = ZFMN,故MF4FMN + /BAM = 45，所以当 ZMAC = ZBAM =22.5 时，/FMN = ZBAM= 22.5.注 本题首先要观察NM4N在围绕A点旋转过程中两组始终相等的角，然后结合待证 结论和题目隐含的条件NA)8 = NACM证明VMAC: 7FAD,而且无论M、N怎样运 动，VM4C和VE4D始终保持相似.这种相似也可称之为动态相似，动态相似是半角旋转 现象的一个突出的特点，也是在解决这类问题中表现出的通性通法.通性通法是有效解题教 学的根本保证.例2 (2016年扬州中考题)已知正方形A3CO的边长为4 , 一个以点A为顶点
4、的45。角 绕点A旋转，角的两边分别与边BC、。的延长线交于点E、尸，连结7设CE = a, CF = b.(1)如图2,当NEAb被对角线AC平分时，求。、Z7的值；(2)当V4E/是直角三角形时，借助图3求。、的值；如图4,探索NE4/绕点A旋转的过程中。、满足的关系式，并说明理由.分析当NEAR被对角线AC平分时，可证。 =。/=4。= 4四.当丫4瓦是直角三角形时，可分为两种情况:第一种NAEb = 90。，VFCEWEBA,可得。=4, /? = 8; 第二种NAFE = 90。，7ECFWFDA,可得。=8, = 4.而在NE4/绕点A旋转的过4 r CF4、万 程中，都有VACE
5、: VFC4,=,即、一 二 ,故可得。匕=32.CF AC b4 及注 例2是在例I基础上，将、N两点的活动范围扩大为在射线BC、CO上运动 得到的.本题的解题突破口还是要找到半角旋转现象中始终相等的角，与例1不同的是，解 决第问用到全等而非形似，是增加条件“VAE/是直角三角形时”的特殊情况.而解决第 (3)问则保持了与解决例I时相同的方法一一动态相似.半角旋转作为一种广义数学结构、数 学模型具有内部的等价性、关联性、差异性，研究其等价性和关联性有助于学生快速寻找解 题思路.研究差异性，有助于学生迅速调整解题思路，避免进人思维定式，所以对半角旋转的精致研究不可或缺.二、60。角在120。角
6、内的旋转例3 （2016年湘潭中考题）如图5.菱形ABCD,已知NR4O = 120。，ZEGF = 60, NEG尸的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交3C、CD于点E、F.（2）知识探究：如图7,当顶点G运动到AC中点时，探究石C、C厂与3C的数量关系;CGt，请直接写出线段C、Cb与8C的数量关系（不需写出证明过程）；（3）问题解决：求EC的长度.如图8,已知菱形边长为8, BG = 7, 6 = 1.2,当Z2时,分析 当顶点G运动到与A点重合时，可证VACEmVAOF,继而可得。尸= CE, 所以C+b = 8C;当顶点G运动到AC中点时满足EC + CF =BC,其证明过
7、程如2下，过G作GH/AB交BC于H ,所以CHBC .由于GC = GH ，2NGHC = NGCF = &）。, AEGH = ZCGF , 所 以 VGHE 封GCF, 所 以1ACC + Cb = C=28C.仿照此证法可得，在定点G的运动过程中，若上二f,则有 2CGEC + b =，BC.而当菱形边长为 8,8G = 7, C = 1.2,且，2 时，过 3作 8W_LAC, 2垂足为M,根据勾股定理，可求GM = 1, GC = 3,又EC = 1.8.注本题中半角旋转所产生的是动态全等，而动态相似和动态全等产生的区别在于半角 旋转所在的具体环境不同，也即半角旋转所附着的特殊图形
8、的性质不一样，这是半角旋转差 异性的具体表现.在解决问题时要及时察觉这些差异性，并由此而思考在解题方法上应该继 续坚持什么，调整什么，这样才能发挥半角旋转模型的现实意义和数学价值.例4 (2016年湖州中考题)数学活动课上，某学习小组对有一内角为120。的平行四边形 ABCD NE4O = 120。)进行探究.将一块含60。的直角三角板如图放置在平行四边形 ABCO所在平面内旋转，且60。角的顶点始终与点。重合，较短的直角边分别交线段A3、AD于点E、尸(不包括线段端点).(1)初步尝试如图 9,若 AD = A6,求证:VBCE邕VAC/; AE+AF = AC.图9图10(2)类比发现如图
9、 10, AD = 2AB,过。作C”_LAO于点H,求证:=(3)深入探究人尸+ 34户如图11,若AO = 345,探究得的值为常数，则/=AC分析 若AO = A8,四边形48CD即为菱形，又因/84。= 120。，所以NB4C = NO = 60。， AC = CD ,又因为 /ECF = /ECA + ZACF = 60。,而 zL4CF + ZFCD = 60,可得 NACE = NC就此可证 VACE二VOb , AE=DF , 所以=当AD = 24B时，过C作C” _L A力于点”，则可证NAC力= 90。.设。“二力，则 C = 2b, C=，由 NECF = NC4 =
10、60。，可证 VR?”： VEC4,Ap Ar 继而有= =-,AD = 3AB,过C作CG_LAB,垂足为G,过C作CN_LAO FH CH2垂足为N,设,DN = c,则力C = 2c, BC = 6c, NC = 后.又因NGCB = 30。，所以GB = 3c, GA = c, GC = 3限,根据勾股定理，有AcVgCrAG?=2缶,又因 为 4GCN = /GCF + /NCF = 3。, /ECF = /ECG+/GCF = 。, 所 以 4ECG = 4FCN ,所以 YECG : YFCN ,空=空=之 = 3 .所以 G = 3f7V , FN NC 辰AE + 3AF = EG-AG-3AF = EG-AG + 3(AN-FN)= EG-AG+3AN-3NFAE + 3AF _ 14cAC 2币 J D图11= 3AN-AG=3x5c-c=i4c,所以f 二注本题中通过控制特殊四边形一组临边比值的方式,让半角旋转现象所附着的数学背 景图形条件不断减弱，在解题方法上呈现出由动态全等到动态相似的一系列变化.题干条件 的变化对解题有一定影响，但是不影响通性通法的继承性，如通过第(2)问中要求“过C作 C”于点”“，自然想到解决第(3)问也要构造同样的辅助线继续构造相似.就此也可 以看出只有辩证的使用半角旋转现象才能有事半功倍的效果.