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1、2023年江苏省盐城市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1. 下列数中，属于负数的是（ ）A. 2023B. C. D. 02. 在平面直角坐标系中，点在（ ）A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）A B. C. D. 4. 下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）A. 5，7，12B. 7，7，15C. 6，9，16D. 6，8，125. 2023年5月21日，盐城市家长学校总校五月课堂正式开讲，直播点击量达105
2、000人次数据105000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 6. 由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 小华将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：当时，；当时，有最小值；点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9. 在英文句子“Happy Te
3、achers Day！”中，字母“”出现的频数为_.10. 因式分解：_.11. 在中，分别为边，的中点，则的长为_cm.12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为_13. 我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为_.14. 如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段
4、表示“铁军”雕塑的高，点，在同一条直线上，且，则线段的长约为_m.（计算结果保留整数，参考数据：） 15. 如图，在中，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为_. 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_. 三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：.18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来. 19. 先化简，再求值：，其中，.20. 随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇
5、有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）. （1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_（2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率21. 如图，（1）求证：；（2）用直尺和圆规作图：过点作，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）22. 盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的37年间，将濒临灭绝的39头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的7033头某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图（注：麋鹿总头数=人工驯养头数+野生头数） 解答下列问题：（1）在扇形统计图中
6、，哺乳类所在扇形的圆心角度数为_；在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数的中位数为_头（2）填表：年份201720182019202020212022人工驯养麋鹿头数3473353136663861_3917（3）结合以上统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法23. 课堂上，老师提出了下面的问题：已知，试比较与的大小小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较与的大小小华：，老师：分式大小比较能用“作差法”吗？（1）请用“作差法”完成老师提出的问题（2）比较大小：_（填“”“”或“”）24. 如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，于点，且平分 （1）判断与位置关系，并说明理由；（2
7、）若，求的半径长25. 某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）（1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价（2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价26. 定义：若一次函数的图象
8、与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数【初步理解】（1）现有以下两个函数：；，其中，_为函数的轴点函数（填序号）【尝试应用】（2）函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值【拓展延伸】（3）如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值 27. 综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.【活动猜想
9、】（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_.【问题解决】（2）如图3，当，时，求证：点，在同一条直线上.【深入探究】（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，试探究三条线段，之间满足的等量关系，并说明理由.2023年江苏省盐城市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1. 下列数中，属于负数的是（ ）A. 2023B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】根据小于0的数即为负数解答可得【详解】是负数，和是正数，0既不是正数也不是负
10、数故选：B【点睛】本题主要考查正数和负数，熟练掌握负数的概念是解题的关键2. 在平面直角坐标系中，点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答【详解】点（1，2）所在的象限是第一象限故选：A【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（，）；第二象限（，）；第三象限（，）；第四象限（，）3. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转
11、，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心【详解】解：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心由定义可判定A、C、D选项的图形不是中心对称图形，故不符合题意；B选项的图形是中心对称图形，符合题意故选：B【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟知中心对称图形的定义是解题的关键4. 下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）A. 5，7，12B. 7，7，15C. 6，9，16D. 6，8，12【答案】D【解析】【分析】根据三角形的三边
12、关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意；B、，不能构成三角形，故此选项不合题意；C、，不能构成三角形，故此选项不合题意；D、，能构成三角形，故此选项符合题意故选：D【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数5. 2023年5月21日，盐城市家长学校总校五月课堂正式开讲，直播点击量达105000人次数据105000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以
13、解答【详解】解：数据105000用科学记数法表示为 故选：A【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键6. 由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下： 故选：D【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图7. 小华将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D
14、. 【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可【详解】解：如图：设交于点， ，故选：C【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键8. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：当时，；当时，有最小值；点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】【分析】结合函数图象逐个分析即可【详解】由函数图象可得：当时，或；故错误；当时，有最小值；故正确；点在直线上，直线与函
15、数图象有3个交点，故错误； 将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故正确；故选：C【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9. 在英文句子“Happy Teachers Day！”中，字母“”出现的频数为_.【答案】【解析】【分析】根据频数定义可得答案【详解】在英文句子“Happy Teachers Day！”中，字母“”出现的频数为，故答案为：【点睛】此题主要考查了频数，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数10. 因式分解：_.【答案】【解析】【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案【详解
16、】解：x2xy= x(xy).故答案：【点睛】提公因式法因式分解是本题的考点，通过观察正确找出公因式是解题的关键.11. 在中，分别为边，的中点，则的长为_cm.【答案】【解析】【分析】由于、分别为、边上的中点，那么是的中位线，根据三角形中位线定理可求【详解】如图所示， 、分别为、边上的中点，是的中位线，；又，；故答案为：【点睛】本题考查了三角形中位线定理三角形的中位线等于第三边的一半12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为_【答案】【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率
17、就是阴影区域的面积与总面积的比值【详解】解：设小正方形的边长为1，则总面积为9，其中阴影部分面积为5，飞镖落在阴影部分的概率是，故答案为：【点睛】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率13. 我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为_.【答案】7人【解析】【分析】
18、设共有x人，价格为y钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解【详解】解：设共有x人，价格为y钱，依题意得：，解得：，答：物品价格为53钱，共同购买该物品的人数有7人,故答案为：7【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解14. 如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，在同一条直线上，且，则线段的长约为_m.（计算结果保留整数，参考数据：） 【答案】【解析】【分析】由，可得，可推得，由三角函数求出即可【详解】，又，解得，故答案为：【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出的长是解题关键15.
19、 如图，在中，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为_. 【答案】【解析】【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可【详解】解：在中，由旋转的性质得，是等边三角形，点的运动路径的长为故答案为：【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形16. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_. 【答案】6【解析】【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据
20、，进一步列式即可求出k的值.【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则， 轴于点，的面积是，则，即，解得，故答案为：6【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键.三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：.【答案】【解析】【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂分别化简，进而得出答案【详解】原式【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来. 【答案】，数轴见详解【解析】【分析】根据解一元一次
21、不等式的步骤解答即可【详解】去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1：在数轴上可表示为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中19. 先化简，再求值：，其中，.【答案】，【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可【详解】当，时，原式【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开20. 随着盐城交通快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路
22、线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）. （1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_（2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；（2）列表表示出所有的可能性，再根据概率公式计算即可【小问1详解】从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为，故答案为：【小问2详解】列表如下：CDEAACADAEBBCBDBE共有6种等可能的结果，其中两段路程都选省级公路只有，共1种，小华两段路程都选省级公路的概率【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
23、件A出现m种结果，那么事件A的概率21. 如图，（1）求证：；（2）用直尺和圆规作图：过点作，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立；（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可【小问1详解】证明：，；【小问2详解】解：所作图形如图， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键22. 盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的37年间，将濒临灭绝的39头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的7033头某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图（注：麋鹿总头数
24、=人工驯养头数+野生头数） 解答下列问题：（1）在扇形统计图中，哺乳类所在扇形的圆心角度数为_；在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数的中位数为_头（2）填表：年份201720182019202020212022人工驯养麋鹿头数3473353136663861_3917（3）结合以上的统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法【答案】（1）， （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）先计算哺乳类所占百分比，再计算该部分扇形圆心角的度数；（2）先排序，再计算中间的两个数的平均数；（3）从人工驯养和野生保护两个方面表述即可【小问1详解】解：在扇形统计图中，哺乳类所占的百分比为：，哺乳类所在扇形的圆心角
25、度数为：；在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数按从小到大顺序排序为：，近6年野生麋鹿头数的中位数为，故答案为：，；【小问2详解】解：，故答案为：；【小问3详解】加强对野生麋鹿的保护的同时，提高人工驯养的技术【点睛】本题考查了扇形统计图和拆线统计图，中位数，掌握从图形中获取信息的方法是解题的关键23. 课堂上，老师提出了下面的问题：已知，试比较与的大小小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较与的大小小华：，老师：分式大小比较能用“作差法”吗？（1）请用“作差法”完成老师提出的问题（2）比较大小：_（填“”“”或“”）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据作差法求的值即可得出答案；
26、（2）根据作差法求的值即可得出答案【小问1详解】解：，；【小问2详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法24. 如图，在中，是上（异于点，）一点，恰好经过点，于点，且平分 （1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的半径长【答案】（1）见解析 （2）的半径长为【解析】【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；（2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可【小问1详解】证明：连接，如下图所示， 是的平分线，又，即，又过半径的外端点B，与相切；【小问2详解】解：设，则，在中，
27、即，解得故的半径长为【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键25. 某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）（1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价（2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他
28、发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价【答案】（1）甲商店硬面笔记本的单价为16元 （2）乙商店硬面笔记本的原价18元【解析】【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解【小问1详解】解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得，解得，经检验，是原方程的根，且符合题意，故甲商店硬面笔记本单价为16元；【小问2详解】设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的
29、单价为元，由题意可得， 解得， 根据题意得，解得，为正整数，分别代入，可得，由单价均为整数可得，故乙商店硬面笔记本的原价18元【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程26. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数【初步理解】（1）现有以下两个函数：；，其中，_为函数的轴点函数（填序号）【尝试应用】（2）函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值【拓展延伸】（3）如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线
30、段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值 【答案】（1）；（2）或；（3）或或【解析】【分析】（1）求出函数与坐标轴的交点，再判断这两个点在不在二次函数图象上即可；（2）求出函数与坐标轴的交点，再由求出点坐标，代入二次函数解析式计算即可；（3）先求出，的坐标，再根据的顶点在矩形的边上分类讨论即可【详解】（1）函数交轴于，交轴于，点、都在函数图象上为函数的轴点函数；点不在函数图象上不是函数的轴点函数；故答案为：；（2）函数交轴于，交轴于，函数的轴点函数和都在上，或当时，把代入得，解得，当时，把代入得，解得，综上，或；（3）函数交轴于，
31、交轴于，以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形，,函数（为常数，）的轴点函数和在上，整理得的顶点坐标为，函数的顶点在矩形的边上可以分三种情况讨论：当与重合时；当在上时；当在上时；当与重合时，即，解得；当在上时，整理得，解得此时二次函数开口向下，则整理得：，由整理得，解得，当在上时，整理得，解得此时对称轴左边y随x的增大而增大，整理得：代入、后成立，综上所述，或或【点睛】本题综合考查一次函数与二次函数，解题的关键是理解轴点函数的定义27. 综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.【活动猜想】（
32、1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_.【问题解决】（2）如图3，当，时，求证：点，同一条直线上.【深入探究】（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，试探究三条线段，之间满足的等量关系，并说明理由.【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3），证明见解析；（4），理由见解析【解析】【分析】（1）由折叠可得：，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；（2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论；（
33、3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；（4）过点作于，设交于，设，利用解直角三角形可得，即可得出结论【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形理由：设与交于点，如图，由折叠得：，四边形是矩形，四边形是菱形故答案为：菱形（2）证明：四边形是矩形，如图，设与交于点，过点作于，由折叠得：，即，即，点，在同一条直线上（3）当时，始终有与对角线平行理由：如图，设、交于点，四边形是矩形，设，则，由折叠得：，即，；（4），理由如下：如图，过点作于，设交于，由折叠得：，设，由（3）得：，四边形是矩形，即【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大