《山东省济宁市第一中学2023-2024学年高三下学期3月月考试题 数学含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省济宁市第一中学2023-2024学年高三下学期3月月考试题 数学含解析.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、试卷第 1页，共 4页济宁市第一中学 2024 届高三 3 月份定时检测数学试题一、单选题一、单选题（每题每题 5 5 分，共分，共 4040 分分）1二项式4212xx的展开式中含2x项的系数为（）A32B32C12D122平面向量a，b满足|2a，3b，4ab，则b在a方向上的投影向量为（）A1512aB14aC38aD158a3若函数 cos(0)f xx的图象关于直线13x 对称，则（）A3B6C23D564从1,2,9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（）A13B49C718D13365已知正四棱锥PABCD各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为 4，体积为643，
2、则该球表面积为（）A9B36C4D436设抛物线22yx的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若30PQF，则PQ（）A23B33C34D327设1033ea，11ln10b，ln2.210c，则（）AabcBcbaCbcaDacb8已知 na是等差数列，sinnnba，存在正整数8t t，使得n tnbb，*nN.若集合*,nSx xb nN中只含有 4 个元素，则t的可能取值有（）个A2B3C4D5二、多选题二、多选题（每题每题 6 6 分，共分，共 1818 分分）9已知圆222212:(3)1,:()16CxyCxya，则下列结论正确的有（）A若圆1C和圆2C外离，则4
3、a#QQABJQAUogioAJAAARhCAQVQCkMQkBCAACoOhAAAsAAASRNABAA=#试卷第 2页，共 4页B若圆1C和圆2C外切，则4a C当0a 时，圆1C和圆2C有且仅有一条公切线D当2a 时，圆1C和圆2C相交10已知1z、2z都是复数，下列正确的是（）A若12zz，则12 zzB1 212z zz zC若1212zzzz，则1 20z z D1212zzzz11已知函数 sin2cos2xf xx，则（）A fx的最小正周期为B fx的图象关于点,0对称C不等式 f xx无解D fx的最大值为24三、填空题三、填空题(每题每题 5 5 分，共分，共 1515
4、分）分）12已知双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线与直线:250l xy垂直，则C 的离心率为.13甲袋中有 5 个红球和 3 个白球，乙袋中有 4 个红球和 2 个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用1A、2A表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用 B 表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B 的概率是.14如图，已知点P是棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D的底面ABCD内（包含边界）一个动点，若点P到点A的距离是点P到1BB的距离
5、的两倍，则点P的轨迹的长度为#QQABJQAUogioAJAAARhCAQVQCkMQkBCAACoOhAAAsAAASRNABAA=#试卷第 3页，共 4页四、解答题四、解答题（共共 7777 分分）15（13 分）在锐角三角形ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，3coscos2 sinaCcAbB(1)求角 B 的值；(2)若2 3b，求22ac的取值范围16（15 分）如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD是长度为2的底面圆的两条直径，ABCDO，且3SO，P为母线SB上一点(1)求证：当P为SB中点时，SA平面PCD；(2)若60AOC，二面角PCDB的余
6、弦值为3 2121，试确定 P 点的位置17（15 分）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防抢险救灾环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23，击中目标三次起火点必定被扑灭.(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.#QQABJQAUogioAJAA
7、ARhCAQVQCkMQkBCAACoOhAAAsAAASRNABAA=#试卷第 4页，共 4页18（17 分）已知双曲线C：222210,0 xyabab的离心率为2，点3,1在双曲线C上过C的左焦点 F 作直线l交C的左支于 A、B 两点(1)求双曲线 C 的方程；(2)若2,0M，试问：是否存在直线l，使得点 M 在以AB为直径的圆上?请说明理由(3)点4,2P，直线AP交直线2x 于点Q设直线QA、QB的斜率分别1k、2k，求证：12kk为定值19（17 分）已知函数 2 ln1,sinf xax xxx g xx(1)当1a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；(2)当0
8、,0ax时，若在 g x的图象上有一点列*11,1,2,3,22iiiAgin inNN，若直线1iiAA的斜率为1,2,3,ik in，（）求证：316g xf xx；（）求证：119niikn#QQABJQAUogioAJAAARhCAQVQCkMQkBCAACoOhAAAsAAASRNABAA=#-1-2-3-高三数学答题卡姓名：班级：考场：座号：选择题（共12小题，1-8题每小题5分，9-11题每小题6分，共58分）1 A B C D 6 A B C D 11 A B C D 2 A B C D 7 A B C D 3 A B C D 8 A B C D 4 A B C D 9 A B
9、 C D 5 A B C D 10 A B C D 填空题（共3小题，每小题5分，共15分）121314.15（13分）贴条形码区17（15分）16（15分）#QQABJQAUogioAJAAARhCAQVQCkMQkBCAACoOhAAAsAAASRNABAA=#-4-5-6-18.（17分）19.（17分）#QQABJQAUogioAJAAARhCAQVQCkMQkBCAACoOhAAAsAAASRNABAA=#济宁市第一中学 2024 届高三 3 月份定时检测 数学试题及参考答案 一、单选题一、单选题 1二项式4212xx的展开式中含2x项的系数为（）A32 B32 C12 D12【答案
10、】B【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】由二项式定理可知，4212xx的展开式的通项为 428 314411CC22rrrrrxrTxxx，令832r，解得2r，所以22223413C22Txx，所以二项式4212xx的展开式中含2x项的系数为32.故选：B.2平面向量a，b满足|2a，3b，4ab，则b在a方向上的投影向量为（）A1512a B14a C38a D158a【答案】C【分析】由题设条件，利用向量的模长公式求得a b，再利用b在a方向上的投影向量的公式2|cos,|bb aa baaaa 即可求得.【详解】由222()|2+|1324ababaa bba b可得32
11、a b，而b在a方向上的投影向量为23|cos,3248|bb aa baaaaaa .故选：C.3若函数 cos(0)f xx的图象关于直线13x 对称，则（）A3 B6 C23 D56【答案】C【分析】由余弦函数的对称性直接求解.【详解】因为 cos(0)f xx的图象关于直线13x 对称，所以3kkZ，得3kk Z，因为0，所以23.故选：C.4从1,2,9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（）A13 B49 C718 D1336【答案】C【分析】求所有组合个数，列举和为质数的情况，古典概型求概率.【详解】这九个数字中任取两个，有29C种取法，和为质数有 1,2,1,4,2
12、,3,1,6,2,5,3,4,2,9,3,8,4,7,5,6,4,9,5,8,6,7，8,9共 14 种情况，因此所求概率为29147C18.故选：C.5已知正四棱锥PABCD各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为 4，体积为643，则该球表面积为（）A9 B36 C4 D43【答案】B【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.【详解】如图，设P在底面ABCD的射影为H，则PH 平面ABCD，且H为,AC BD的交点.因为正四棱锥底面边长为 4，故底面正方形的面积可为16，且14 22 22AH，故1641633PH，故4PH.由正四棱锥的对
13、称性可知O在直线PH上，设外接球的半径为R，则4OHR，故2284RR，故3R，故正四棱锥PABCD的外接球的表面积为4 936，故选：B.6设抛物线22yx的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若30PQF，则PQ（）A23 B33 C34 D32【答案】A【分析】由题意得30QFM，结合正切定义以及1FM 可得QF，进一步即可求解.【详解】如图所示：M为准线与x轴的交点，因为30PQF，且PFPQ，所以30,120PFQQPF，因为/FMPQ，所以30QFM，而3tan3013QMQMQMMF，所以2 33QF，所以332cos302323QFPFPQ.故选：A.7设103
14、3ea，11ln10b，ln2.210c，则（）Aabc Bcba Cbca Dacb【答案】B【分析】由题意可得1a，1b，1c，即可得ab，ac，再比较b与c的大小关系，借助对数运算转化为比较91.1与2的大小关系，结合放缩计算即可得.【详解】100331eea，11ln110b，ln2.2110c，故ab，ac，要比较11ln10与ln2.210的大小，即比较1011ln10与ln2.2的大小，等价于比较101.1与2.2的大小，等价于比较91.1与2的大小，又98441.11.11.11.11.211.11.2 221.11.441.11.41.1 1.962，故91.12，即11ln
15、2.2ln1010，即bc，故cba.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较b与c的大小关系，可借助对数运算转化为比较91.1与2的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.8已知 na是等差数列，sinnnba，存在正整数8t t，使得n tnbb，*nN.若集合*,nSx xb nN中只含有 4 个元素，则t的可能取值有（）个 A2 B3 C4 D5【答案】C【分析】考虑3t不符合题意，4,6,7,8t 时，列举出满足条件的集合，再考虑5t 时不成立，得到答案.【详解】当3t时，n tnbb，根据周期性知集合最多有 3 个元素，不符合；当4t 时，4nnbb，取26nan，此时3 131
16、,2222S，满足条件；当5t 时，5nnbb，即sin5sinnnada，2,5kdkZ，在单位圆的五等分点上不可能取到 4 个不同的正弦值，故不满足；当6t 时，6nnbb，取36nan，此时1 1,1,12 2S，满足条件；当7t 时，7nnbb，取272nan，此时35sin,1,sin,sin141414S，满足条件；当8t 时，8nnbb，取548nan，此时33sin,sin,sin,sin8888S，满足条件；故选：C 二、多选题二、多选题 9已知圆222212:(3)1,:()16CxyCxya，则下列结论正确的有（）A若圆1C和圆2C外离，则4a B若圆1C和圆2C外切，则
17、4a C当0a 时，圆1C和圆2C有且仅有一条公切线 D当2a 时，圆1C和圆2C相交【答案】BCD【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】21212123,0,0,9,1,4CCaC Carr.若1C和2C外离，则2121295C Carr，解得4a 或4a-，故 A 错误；若1C和2C外切，21295C Ca，解得4a ，故 B 正确；当0a 时，122113,C Crr C和2C内切，故 C 正确；当2a 时，1213135,CCC和2C相交，故 D 正确.故选：BCD 10已知1z、2z都是复数，下列正确的是（）A若12zz，则12 zz B1 212z
18、zzz C若1212zzzz，则1 20z z D1212zzzz【答案】BD【分析】利用特殊值判断 A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断 B、D.【详解】对于 A：令12iz、212iz ，则125zz，显然不满足12 zz，故 A错误；对于 C：令11 iz 、21 iz ，则122zz，122izz，所以1212zzzz，但是211 i 1 i2z z，故 C 错误；设1izab，2i(,R)zcd a b c d，所以12iiiz za bc dac bdadbc，则12izzacbdadbc 222222acbdadbcacbdadbc，又2222222212zzabcd
19、acbdadbc，所以1212zzzz，故 B 正确；12izzacbdadbc，又12iiizzabcdacbdadbc，所以1212zzzz，故 D 正确.故选：BD 11已知函数 sin2cos2xf xx，则（）A f x的最小正周期为 B f x的图象关于点,0对称 C不等式 f xx无解 D f x的最大值为24【答案】BD【分析】对 于 选 项 A:验 证 fxf x是 否 成 立 即 可 判 断；对 于 选 项 B:验 证 2fxf x 是否成立即可判断；对于选项 C:利用0f 即可验证 f xx有解；对于选项 D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断.【详解】对于选项 A:
20、sin sin,2cos2 2cos2xxfxf xxx不是 f x的周期，故 A 错误;对于选项 B:sin 2sin2,2cos2 22cos2xxfxf xf xxx 关于,0对称，故B 正确；对于选项 C:0,ff xx 有解，故 C 错误；对于选项 D:22sinsin2sin121 2sinxxf xxx，若sin0 x，则 0f x，若sin0,x 则 112122 22sinsinf xxx，当且仅当12sinsinxx，即2sin2x 时，原式取等，故 D 正确.故选:BD.第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明 三、填空题三、填空题 1
21、2 已知双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线与直线:250l xy垂直，则C 的离心率为 .【答案】5【分析】借助斜率与垂直的关系可得ba，即可得离心率.【详解】由直线:250l xy的斜率为102，故有112ba ，即2ba，则2215bea.故答案为：5.13甲袋中有 5 个红球和 3 个白球，乙袋中有 4 个红球和 2 个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用1A、2A表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用 B 表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，
22、则事件 B 的概率是 .【答案】1742【分析】根据全概率公式即可求解.【详解】因为225412122277CC531062(),(),(|),(|)88C21C217P AP AP B AP B A，所以1211225103217()()()()(|)()(|)8218742P BP ABP A BP A P B AP A P B A,故答案为：1742 14如图，已知点P是棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D的底面ABCD内（包含边界）一个动点，若点P到点A的距离是点P到1BB的距离的两倍，则点P的轨迹的长度为 【答案】49【分析】根据题意，得到2PAPB，以A为原点，建立平面直
23、角坐标系，设(,)P x y，结合2PAPB，求得点P的轨迹是以8(,0)3M为圆心，半径为43r 的圆弧EF，再由扇形的弧长公式，即可求解.【详解】在正方体1111ABCDABC D中，可得1BB 平面ABCD，因为PB平面ABCD，所以1BBPB，则点P到1BB的距离等于点P到点B的距离，即2PAPB，在底面ABCD中，以A为原点，以,AB AD所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可得(0,0),(2,0)AB，设(,)P x y，由2PAPB，可得22222(2)xyxy，整理得22816()39xy，即点P的轨迹是以8(,0)3M为圆心，半径为43r 的圆弧EF，
24、又由82233BMAMAB，可得1cos2BMBMFMF，所以3BMF，即EF所对的圆心角为3，所以点P的轨迹的长度为圆弧长为44339.故答案为：49.四、解答题四、解答题 15 在 锐 角 三 角 形ABC中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，3coscos2 sinaCcAbB(1)求角 B 的值；(2)若2 3b，求22ac的取值范围【答案】(1)3B (2)20,24 【分析】（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可；（2）利用正弦定理得到4sin,4sinaA cC，则222216sin16sinacAC，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值.【详解】（1
25、）因为3coscos2 sinaCcAbB，由正弦定理边化角可得3 sincossincos2sinsinACCABB，所以3sin3sin2sinsinACBBB，又sin0B，所以3sin2B，又B为锐角，则3B；（2）由正弦定理2 34sinsinsin32acbACB，则4sin,4sinaA cC，所以222216sin16sin8 1 cos28 1 cos2acACAC，168cos28cos2168cos28cos2 3ACAA 13168cos28cos2sin222AAA 164 3sin24cos2AA 168sin 26A，因为在锐角三角形ABC中02032AA，得62
26、A，所以52666A，则1sin 2126A，20168sin 2246A 所以22ac的取值范围为20,24.16 如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD是长度为2的底面圆的两条直径，ABCDO，且3SO，P为母线SB上一点 (1)求证：当P为SB中点时，SA平面PCD；(2)若60AOC，二面角PCDB的余弦值为3 2121，试确定 P 点的位置【答案】(1)证明见详解(2)P是线段BS靠近点B的四等分点 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，设BPBS ，01，求解平面PCD和平面BCD的法向量，根据二面角PCDB的余弦值为3 2121求，
27、即可得 P 点的位置.【详解】（1）连接PO，因为P，O分别为SB，AB的中点，所以PO为BSA的中位线，所以/SAPO，又PO平面PCD，SA 平面PCD，所以SA平面PCD；（2）如图：过点O作OFAB交圆O与F，以O为坐标原点，OA，OF，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则0,0,3S，1,0,0A，1,0,0B，13,022C，13,022D，所以1,3,0CD ，1,0,3BS ，设BPBS ，01，则1,0,3P，所以33,322PC，设平面PCD的法向量为,nx y z，则00n CDn PC ，所以30333022xyxyz，令3y，则3x，1z，即13,
28、3,n，易知平面BCD的一个法向量为0,0,3OS ，则223 113 21cos,21113 1212n OSn OSn OS ，解得14（负值舍去），所以P是线段BS靠近点B的四等分点.17我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防抢险救灾环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23，击中目标三次起火点
29、必定被扑灭.(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.【答案】(1)分布列见解析，125(2)102125 【分析】（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；（2）根据条件概率以及全概率公式求解可得【详解】（1）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0,1,2,3 32131141120,1C512555125P XP X，232341484642C,3551255125P XP X.X的分布列如下：X 0 1 2 3 P 1125 12125 48125 64125 44123,3555XBE X.（2）击中一次
30、被扑灭的概率为121134116C552125P 击中两次被火扑灭的概率为222341232C553125P 击中三次被火扑灭的概率为334645125P 所求概率63264102125125125125P.18 已知双曲线C：222210,0 xyabab的离心率为2，点3,1在双曲线C上 过C的左焦点 F 作直线l交C的左支于 A、B 两点(1)求双曲线 C 的方程；(2)若2,0M，试问：是否存在直线l，使得点 M 在以AB为直径的圆上?请说明理由(3)点4,2P，直线AP交直线2x 于点Q设直线QA、QB的斜率分别1k、2k，求证：12kk为定值【答案】(1)22188xy；(2)不存
31、在，理由见解析；(3)证明见解析 【分析】(1)根据题意列式求,a b c，进而可得双曲线方程；(2)设1122:4,l xmyA x yB xy，联立方程，利用韦达定理判断MA MB 是否为零即可；(3)用,A B两点坐标表示出直线AP，得点Q坐标，表示出12,k k，结合韦达定理，证明12kk为定值【详解】（1）由双曲线2222y:1xCab的离心率为2，且3,1M在双曲线C上，可得222229112abceacab，解得228,8ab，双曲线的方程为22188xy（2）双曲线C的左焦点为4,0F，当直线l的斜率为 0 时，此时直线为0y，与双曲线C左支只有一个交点，舍去；当直线l的斜率不
32、为 0 时，设:4l xmy，联立方程组2248xmyxy，消x得221880mymy，易得0，设1122,A x yB xy，则12122288,011myyy ymm，可得11m，11222,2,MAxyMBxy，则211212122222MA MBxxy ymymyy y 22212122281161244411mmmy ym yymm，即0MA MB，可得MA与MB不垂直，不存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上（3）由直线1:24AP ykx，得12,22)Qk，2121222222222ykykkxmy，又11111224PAyykkxmy，1212112112121222222
33、2222ymymyykyykkkmymymymy 2111112224222myymymk ymymy，1112ykmy，1112k myy，且1212yymy y，1212121212122222m yyyykkmymyyyy，即12kk为定值 19已知函数 2 ln1,sinf xax xxx g xx(1)当1a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；(2)当0,0ax时，若在 g x的图象上有一点列*11,1,2,3,22iiiAgin inNN，若直线1iiA A的斜率为1,2,3,ik in，（）求证：316g xf xx；（）求证：119niikn【答案】(1)210
34、xy (2)（）证明见解析；（）证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）（）令 3sin6xh xxx，即证 0h x 在0 x 时恒成立，借助导数，多次求导后即可得；（）计算可得111112sin2cos122iiiik，由（）可得2cos12xx ，即可得12311cos1022ii，借助放缩法可得1112211712sin2cos112262iiii，结合等比数列求和公式及放缩即可得证.【详解】（1）当1a 时，2 ln1fxx x，11f，所以 2ln2fxx，曲线 yf x在点1,1处切线的斜率为 12f，所以切线方程为121yx，即210 xy；（2）（）要证
35、 316g xf xx，即证0 x 时，3sin6xxx，令 3sin6xh xxx，即证 0h x 在0 x 时恒成立，因为 2cos12xh xx，令 2cos12xm xx，则 sinm xxx，令 sinn xxx，则 1 cos0,n xxn x 在0,内单调递增，所以 sin000n x ，即 0,m xm x在0,内单调递增，所以 cos00 10m x ,即 0,h xh x在0,内单调递增，所以 0sin0006h x，即得证；（）*iN时，1111111122sinsin1122222iiiiiiiiggk 11111111111122sincossin2sin2cos12
36、2222iiiiiii，由（）知，2cos102xm xx，即2cos12xx ，则12311cos1022ii，所以111112311112sin2cos12sin2 112222iiiiii 1112213322111112sin1212226 22iiiiiii 22222244221171117111116 22626262iiiii ，224682211117111177111162416 2222661212414nninniknnn 1771716172184721449nnnnn，即得证.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由（）中得到2cos12xx ，从而得到12311cos1022ii，从而借助放缩法，得到2271162iik.