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1、高二数学：圆专题一、圆的标准方程和一般方程1.【AB】方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是 _.半径是 _.【解析】由已知方程表示圆，则a2a2，解得 a2 或 a1.当 a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当 a1 时，原方程为 x2y24x8y50，化为标准方程为 (x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为 5 的圆.2.【A】圆心在直线x2y30 上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_ 【解析】 设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得222222(2)( 3),( 2)( 5),230.abrabrab解得21,2
2、,10.abr故所求圆的方程为 (x1)2(y2)210.2.【B】圆心在轴上，半径为 1，且过点（ 1，2）的圆的方程为（）ABCD【解析】设圆心坐标为，则由题意知，解得，故y22(2)1xy22(2)1xy22(1)(3)1xy22(3)1xy(0, )b2(1)(2)1ob2b精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 圆的方程为。3.【A】圆心在直线 y4x上，且与直线 l：xy10 相切于点 P(3，2)的圆方程为。【解析】设圆的
3、标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有b4a，(3a)2(2b)2r2，|ab1|2r，解得a1，b4，r2 2.3.【B】已知圆心在 x 轴上，半径为2的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线xy0相切，则圆 O 的方程是 _ 【解析】设圆心为 (a,0)(a0，y00，则切线方程为x0 xy0y1.分别令 x0，y0 得 A(1x0，0)，B(0，1y0)，|AB|1x021y021x0y01x20y2022.答案 C1 【B】已知集合 A( x，y)|x，y 为实数，且 x2y21，B( x，y)|x，y 为实精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎
4、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 数，且 xy1 ，则 A B 的元素个数为 ()A4 B3 C2 D1解析(数形结合法 )画图可得，故选 C.答案C2.【A】已知直线 l 过点(2,0)，当直线 l 与圆 x2y22x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是 ()A(22，2 2) B(2，2)C. 24，24D. 18，18解析：选 C易知圆心坐标是 (1,0)，圆的半径是1，直线 l 的方程是 yk(x2)，即 kxy2k0，根据点到直线的距离公式得|k2k|k211，即 k218，解得24k24.2.【
5、B】若直线 2xya0 与圆(x1)2y21 有公共点，则实数 a 的取值范围()A25a25 B25 a 25C5 a 5 D5a 5解析若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a2|51 ，解得 2 5 a 25.答案B3.【A】已知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是 ()精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - - A.2 B.4 C.6 D.8【解析】将圆的方程化为标准方程为(x
6、1)2(y1)22a,所以圆心为 (-1,1),半径 r2a,圆心到直线 xy20 的距离 d|112|22,故 r2d24,即 2a24,所以 a-4，故选 B.3. 【B】在平面直角坐标系xOy中，直线 3x4y50 与圆 x2y24 相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长等于 ()A3 3B2 3C. 3 D1圆 x2y24 的圆心 (0,0)，半径为 2，则圆心到直线3x4y50 的距离 d532421.故|AB|2 r2d22412 3.4.【A】若O：x2y25 与O1：(xm)2y220(mR)相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是 _解析：依
7、题意得 |OO1|5205，且OO1A 是直角三角形， SO O1A12|AB|2|OO1|12|OA| |AO1|，因此 |AB|2|OA| |AO1|OO1|2 52554.答案： 44. 【B】直线 ykx3 与圆(x2)2(y3)24 相交于 M、 N 两点，若|MN| 23，则 k 的取值范围是 ()A. 34，0B. 33，33C.3，3D.23，0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 解析如图，若 |MN|2 3，则由
8、圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d222(3)21. 直线方程为 ykx3，d|k233|1k21，解得k33.若|MN| 2 3，则33 k33.答案B5.【A】在平面直角坐标系xOy中，圆 C 的方程为 x2y28x150，若直线 ykx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则 k 的最大值是 _解析： 设圆心 C(4,0)到直线 ykx2 的距离为 d， 则 d|4k2|k21， 由题意知，问题转化为 d2 ，即 d|4k2|k212 ，得 0 k43，所以 kmax43.答案：435.【B】若 a，b，c 是直角三角形ABC 三边的长 (c 为
9、斜边 )，则圆 C：x2y24被直线 l：axbyc0 所截得的弦长为 _解析：由题意可知圆C：x2y24 被直线 l：axbyc0 所截得的弦长为2 4ca2b22，由于 a2b2c2，所以所求弦长为2 3.答案： 2 36.【AB】已知两圆x2y210 x10y0，x2y26x2y400，则它们的公共弦所在直线的方程为 _ ；公共弦长为 _解析：由两圆的方程x2y210 x10y0，x2y26x2y400，相减精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 21 页 - - - - -
10、- - - - - 并整理得公共弦所在直线的方程为2xy50.圆心(5,5)到直线 2xy50 的距离为1052 5，弦长的一半为502030，得公共弦长为 2 30.答案： 2xy502307.【AB 】 过点(3 ， 1)作圆22(2)(2)4xy的弦，其中最短的弦长为 _ 【 解 析 】半 径 为2r， 圆 心 为2,2， 圆 心 到 点1 ,3的 距 离2212322d, 所求最短弦长为2222222【答案】228.【A】已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点 A(m,0)，B(m,0)(m0).若圆 C上存在点 P，使得 APB90 ，则 m的最大值为 ()A.7 B.6 C.5
11、 D.4【解析】若 APB90 ，则点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆，其方程为x2y2m2.由题意知圆 C：(x3)2(y4)21 与圆 O：x2y2m2有公共点，所以 |m1| |OC| m1，易知 |OC|5，所以 4 m6 ，故 m 的最大值为 6.故选 B.五、圆上到直线距离为定值的点的个数问题1.【AB】已知圆O：225xy，直线l：cossin1xy（02）.设圆O上到直线l的距离等于 1 的点的个数为k，则k.【解析】 半径为 R=5,圆心到直线 l 的距离 d=22151.2sincos故数形结合 k=4.【答案】 4.2.【AB】已知圆 C：222430 xyxy和直线
12、l ：10 xy，则圆 C 到直线 l 的距离为2的点共有（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - - A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个解:将圆 C 方程配方得：22(1)(2)8xy圆 C 的圆心坐标和半径分别是： C （1， 2） ，R=2 2. 圆 心C到 直 线 l的 距 离| 121|22d,故与直线 l 平行且距离为2的两条直线12,l l中,一条与圆 C相切,另一条与圆 C相交(如图所示 ),故圆 C 到直线 l
13、的距离为2的点共有 3 个.3.【AB】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 x2y24 上有且只有四个点到直线12x5yc0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 _解析画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x5yc0 的距离为 1，该圆半径为 2 即圆心 O(0,0)到直线 12x5yc0 的距离 d1，即 0|c|131，13c13.答案(13,13)4.【AB】若圆 x2y2r2(r0)上仅有 4 个点到直线 xy20 的距离为 1，则实数 r 的取值范围为 ()A(21， ) B(21, 21)C(0, 21) D(0, 21)解析： 选 A计算得圆心到直线l 的距离为2221，如图
14、直线 l：xy20 与圆相交， l1，l2与 l 平行，且与直线l 的距离为 1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离21.5.【AB】若圆(x5)2(y1)2r2(r0)上有且仅有两点到直线4x3y20 的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 距离等于 1，则实数 r 的取值范围为 ()A.4，6 B.(4，6) C.5，7 D.(5，7)【解析】用圆的几何性质求解.因为圆心 (5，1)到直线4x3y20 的距离为|2
15、032|55， 又圆上有且仅有两点到直线4x3y20 的距离为 1， 则 4r0，即 a5.又圆关于直线 y2xb 成轴对称，2 2b，b4.aba41.2.【A】已知圆1C：22(2)(3)1xy，圆2C：22(3)(4)9xy，M 、N 分别是圆1C、2C上的动点， P 为x轴上的动点，则PMPN 的最小值为( )A.425B.117C.226D.17【解析】选 A.由题意知 ,圆1C：22(2)(3)1xy，圆2C：22(3)(4)9xy的圆心分别为)4, 3(),3 ,2(21CC,且421PCPCPNPM,点)3 ,2(1C关于x轴的对称点为)3,2(C,所以252221CCPCPC
16、PCPC,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 即425421PCPCPNPM.2.【B】若圆 C 的半径为 1，其圆心与点 (1,0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为 _ 【解析】由题意知圆 C 的圆心为 (0,1)，半径为 1，所以圆 C 的标准方程为x2(y1)21.七、直线与圆的综合应用1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点)3 , 0(A，直线42:xyl。设圆 C的半径为1，圆心在 l 上。（1）【AB】 若
17、圆心 C 也在直线1xy上， 过点 A作圆 C 的切线，求切线的方程；（2） 【A】 若圆 C 上存在点 M ， 使MOMA2， 求圆心 C 的横坐标a的取值范围。【解析】(1)由题设知 ,圆心 C 是直线 y=2x-4和 y=x-1的交点 ,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在 .设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3,由题意 ,2|31|1kk= 1, 解得 k=0 或-34,故所求切线方程为y=3 或 3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点 M(x,y), 因为 MA=2MO,精品
18、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 所以22222)3(yxyx,化简得4)1(22yx,所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心 ,2 为半径的圆上 .由题意知 ,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点 ,则 2-1CD 2+1,即 122(23)aa3.由 5a2-12a+80, 得 aR;由 5a2-12a0, 得 0 a125.所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为 0, 125.2.【AB】在平面直角坐
19、标系xOy中，已知圆 P 在x轴上截得线段长为 2 2 ，在 y轴上截得线段长为2 3。（1）求圆心 P 的轨迹方程；（2）若 P 点到直线 yx的距离为22，求圆 P的方程【解析】 （1）设,P x y ，圆 P 的半径为 r.由题设22222,3.yrxr从而2223yx.故 P 点的轨迹方程为221yx.(2)设00002(,),.22xyp xy由已知得又 P 点在双曲线221yx上，从而得0022001,1,xyyx000220001,0.1.1,xyxyyx得此时圆的半径 r=3.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
20、 - - - - - - - -第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 000220001,0.1.1,xyxyyx得此时，圆的半径 r=3.故圆 P 的方程为222213-13xyxy或3.已知圆 C 的方程为22(4)4xy，点O是坐标原点。直线:lykx与圆 C 交于,M N两点。（1） 【AB】求 k 的取值范围；（2） 【A】设(, )Q m n是线段 MN 上的点，且222211|OQOMON。请将n表示为m的函数。【解析】 （1）将ykx代入22(4)4xy中，得22(1)8120( )kxkx由22( 8 )4(1) 120kk，得23k所以 k 的
21、取值范围是(,3)( 3,)U.（2）因为 M、N 在直线 l 上，可设点 M、N 的坐标分别为1122(,),(,)x kxxkx则22222212(1),(1)OMkxONkx ，又22222(1)OQmnkm .由222211|OQOMON，得22222212211(1)(1)(1)kmkxkx，即21212222221212()2211xxx xmxxx x，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 由( )式可知，12281k
22、xxk，122121x xk，所以223653mk因为点 Q 在直线ykx上，所以nkm，代入223653mk中并化简，得225336nm.由223653mk及23k，可知203m，即(3,0)(0,3)mU.根据题意，点 Q 在圆 C 内，则0n，所以223631518055mmn.于是n与m的函数关系为2151805mn(3,0)(0,3)mU.4. 【AB】已知点 P(2,2)，圆 C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点 .(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积 .【
23、解析】 (1)圆 C 的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设 M(x,y),则CM(x,y4)，MP(2x,2y).由题设知 CM MP0，故 x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是 (x1)2(y3)22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心，2为半径的圆 .由于|OP|OM|， 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上， 从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为13，故 l 的方程为 y13x83.又|OM|OP|2 2，O 到 l
24、的距离为4 105，|PM|4 105，所以 POM 的面积为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 165.5 【AB】已知：圆 C：x2y28y120，直线 l：axy2a0.(1)当 a 为何值时，直线l 与圆 C 相切；(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且 AB2 2时，求直线 l 的方程解析将圆 C 的方程 x2y28y120 配方得标准方程为x2(y4)24，则此圆的圆心为 (0,4)，半径为 2.(1)若
25、直线 l 与圆 C 相切，则有|42a|a212.解得 a34.(2)过圆心 C 作 CDAB，则根据题意和圆的性质，得|CD|42a|a21，|CD|2|DA|2|AC|222，|DA|12|AB|2.解得 a7 或 a1.故所求直线方程为7xy140 或 xy20.6.【AB】已知圆 C：x2y22x4y40，是否存在斜率为1 的直线 l，使以 l被圆截得的弦 AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由解析假设存在斜率为 1 的直线 l，满足题意，则OAOB.设直线 l 的方程是 yxb，其与圆 C 的交点 A，B 的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)
26、则y1x1y2x21，即 x1x2y1y20精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 由yxb，x2y22x4y40消去 y 得：2x22(b1)xb24b40，x1x2(b1)，x1x212(b24b4)，y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b212(b24b4)b2bb212(b22b4)把 式代入 式，得 b23b40，解得 b1 或 b4，且 b1 或 b4都使得 4(b1)28(b24b4)0 成立故存在直线l
27、满足题意，其方程为yx1 或 yx4.7已知圆 C 的方程为 x2y24.(1)【AB】求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程；(2)【AB】直线 l 过点 P(1,2)，且与圆 C 交于 A、B 两点，若 |AB|2 3，求直线 l的方程；(3)【A】圆 C 上有一动点 M(x0，y0)，ON(0，y0)，若向量 OQOMON，求动点 Q 的轨迹方程解析(1)显然直线 l 的斜率存在，设切线方程为y2k(x1)，则由|2k|k212，得 k10，k243，从而所求的切线方程为y2 和 4x3y100.(2)当直线 l 垂直于 x 轴时， 此时直线方程为x1， l 与圆的两个交
28、点坐标为 (1， 3)和(1，3)，这两点的距离为 2 3，满足题意；当直线 l 不垂直于 x 轴时，设其方程为 y2k(x1)，即 kxyk20，设圆心到此直线的距离为d(d0)，则 2 32 4d2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 得 d1，从而 1|k2|k21，得 k34，此时直线方程为3x4y50，综上所述，所求直线方程为3x4y50 或 x1.(3)设 Q 点的坐标为 (x，y)，M 点坐标是 (x0，y0)，ON(0，y0)，OQOMON，( x，y)(x0,2y0) xx0，y2y0.x20y204，x2y224，即x24y2161.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - - -