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1、第七第七讲讲 速算与巧算（二）速算与巧算（二）第一部分：趣味数学第一部分：趣味数学 老寿星老寿星 两百多年以前，在清代乾隆五十年的时候，乾隆皇帝在乾清宫摆下千叟宴，3900 多位老年人应邀参加宴会。其中有一位客人的年纪特别大。这位年龄特大的老寿星有多大岁数呢？乾隆帝说了，不过不是明说，而且是出了一道对联的上联：花甲重开，外加三七岁月。大臣纪昀（“昀”读“yn”）在一旁凑热闹，也说一说这位老寿星的岁数，当然也不是明说，而是对出了下联：古稀双庆，又多一个春秋。对联里讲些什么呢？这位老者的岁数究竟是多少？先看上联。花甲就是甲子，一个甲子是 60 年时间。“花甲重开”，是说经过了两个甲子，就是 120
2、 年，这还不够，还要“外加三七岁月”，3 和 7 相乘，是 21 年，所以总数是 602+37=141。可见乾隆皇帝是说，这位老人家 141 岁。再看下联。“古稀”是 70 岁。唐代诗人杜甫曲江二首诗中说，“人生七十古来稀”。当然，我们现在生活条件和医疗条件好了，七十自称小弟弟，活到八十不稀奇，可是直到半个世纪以前，能活 70 岁还是值得骄傲和令人羡慕的，往往要好好地庆贺一番。“古稀双庆”，是说这位老先生居然有两次庆贺古稀，度过了两个 70 年，并且不止这些，还“又多一个春秋”，总数是 702+1=141。可见纪昀是在变个花样说，不错，这位老年人是 141 岁。第二部分：奥数小练第二部分：奥数
3、小练 乘除巧算乘除巧算 1、乘法凑整 2024四年级下册数学思维训练讲义-第七讲 速算与巧算（二）思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：例如：425100=，8 1251000=，520100=123456799111111111=（去 8 数，重点记忆）7 11 131001=（三个常用质数的乘积，重点记忆）理论依据：乘法交换率、乘法结合率、乘法分配率、积不变规律 2、乘、除法混合运算的性质（1）商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变即：()()()()0abanbnambmm=，0n （2）在连除时，可以交换
4、除数的位置，商不变即：abcacb=（3）在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）例如：abcacbbca=（4）在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则 去括号情形：括号前是“”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变即()()abcabcabcabc=括号前是“”时，去括号后，括号内的“”变为“”，“”变为“”即()()abcabcabcabc=添加括号情形：加括号时，括号前是“”时，原符号不变；括号前是“”时，原符号“”变为“”，“”变为“”即()()()()abcabcabcabcabcabcabcabc=（5）两个数之积除以两个数之积，可以分别
5、相除后再相乘即()()()()()()abcdacbdadbc=上面的性质都可以推广到多个数的情形。【例题【例题 1 1】计算 32525【思路导航思路导航】在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这一性质，可以使这道计算题简便。32525 =（3254）（254）=1300100 =13 练习练习 1 1：计算：计算。1.45025 2.52525 3.3500125 【例题【例题 2 2】计算 2512548【思路导航思路导航】经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中，如果先把 25 与 4 相乘，可以得到 100；同时把 125 与 8 相乘，可以得到 1000；再把
6、100 与 1000 相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。2512548 =（254）（1258）=100000 练习练习 2 2：1.计算：1253225 2.计算：1200254 3.计算：1208060 4.计算：2512548 【例题【例题 3 3】计算（1）（360+108）36 （2）（45075）15【思路导航思路导航】两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的和（或差）。利用这一性质，可以使这道题计算简便。（1）（360+108）36 （2）（45075）15 =36036+10836 =450157515 =10+3 =
7、305 =13 =25 练习练习 3 3：1.计算：（1）（360+108）36 （2）（45075）15 2.计算：1999999 999+【例题【例题 4 4】计算下面各题。（1）1239616 （2）200（254）【思路导航思路导航】这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点，采用加括号或去括号的方法，使计算简便。其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号，添、去括号不变号；括号前是除号，添、去括号要变号。（1）1239616 （2）200（254）=123（9616）=200254 =1236=738 =84=32 练习练习 4 4：1.你会应用
8、计算性质吗？并计算。(1)123 155；(2)125 1625(3)5600257（）(4)450546 2.计算：571111 151521（）（）（）第三部分：数学史话第三部分：数学史话 发现摆的运动规律 有一次，伽利略信步来到他熟悉的比萨大教堂，他坐在一张长凳上，目光凝视着那雕刻精美的祭坛和拱形的廊柱。忽然，教堂大厅中央的巨灯晃动起来，是修理房屋的工人在那里安装吊灯。这本来是件很平常的事，吊灯像钟摆一样晃动，在空中划出看不见的圆弧。可是，伽利略却像触了电一样，目不转睛地跟踪着摆动的吊灯，同时，他用右手按着左腕的脉，计算着吊灯摆动一次脉搏跳动的次数，以此计算吊灯摆动的时间。数学家的故事伽
9、利略 这样计算的结果，伽利略发现了一个秘密，这就是吊灯摆一次的时间，不管圆弧大小，总是一样的。一开始，吊灯摆得很厉害，渐渐地，它慢了下来，可是，每摆动一次，脉搏跳动的次数是一样的。伽利略的脑子里翻腾开了，他想，书本上明明写着这样的结论，摆经过一个短弧要比经过长弧快些，这是古希腊哲学家亚里士多德的说法，谁也没有怀疑过。难道是自己的眼睛出了毛病，还是怎么回事。他像发了狂似的跑回大学宿舍，关起门来重复做这个试验。他找了不同长度的绳子、铁链，还有不知从哪里搞到的铁球、木球。在房顶上，在窗外的树枝上，着迷地一次又一次重复，用沙漏记下摆动的时间。最后，伽利略不得不大胆地得出这样的结论：亚里士多德的结论是错
10、误的，决定摆动周期的，是绳子的长度，和它末端的物体重量没有关系。而且，相同长度的摆绳，振动的周期是一样的。参考参考答案：答案：练习练习 1 1：1.18 2.21 3.28 练习练习 2 2：1.分析：由数字“125，25”及符号“连乘”的特征，可以想到“8，4”，结合上章所学，因为他们的乘积是整千、整百数。而 3248，所以，可以将一个乘数“32”拆成需要的几个因数。即：12532251258425 （1258）（254）1000100 100000 2.分析：观察题目发现有两个显著的特征：一是连除；二是 25 和 4 的积是 100 所以我们有两种方法：可以用 25 去除以被除数 1200
11、，也可以先用 4 除以被除数 1200，即 1200254 484 12 或 12004253002512 3.分析：观察题目的数字和符号特征，都是第二级运算。计算时，可以先算60，再算40，就像是“带着符号搬家”因而：12080601206080280160 技巧：四则运算中，若是同级运算，可以“带着符号搬家”（符号在前，数字在后）4.分析：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中，如果先把 25 与 4 相乘，可以得到100；同时把 125 与 8 相乘，可以得到 1000；再把 100 与 1000 相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。2512548 =（254）（
12、1258）=100000 练习练习 3 3：1.分析：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的和（或差）。利用这一性质，可以使这道题计算简便。（1）（360+108）36 （2）（45075）15 =36036+10836 =450157515 =10+3 =305 =13 =25 2.分析：方法一：19999999991000999999999+=+1000999 10001000=+=(9991+)1000000=方法二：19999999991999999+=+(10001)1999999000999=+=(1999999)9990001000000+=练习练习 4 4：1.分析：(1)利用“添括号”的性质，123 155123155123 3369=（）(2)利用“带着符号搬家”可以简便运算，125 162512525 165 1680=(3)利用“去括号”以及“带着符号搬家”可以简便运算，5600257560025756007258002532=（）（）(4)利用“添括号”的性质，450546450546450950=（）2.原式57 11 11 151521=511 1115 152175 315=（）（）（）