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1、第三章：函数的应用本章知识结构图：本章知识点梳理：1、函数零点的概念（1）函数 零点的定义：对于函数，我们把使 成立的实数 叫做函数 的 零点。（2）函数 零点的意义：函数 的零点就是方程 的实数根，亦即函数 的图象与 轴的交点的横坐标。方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点。（3）函数零点的 求法：代数法：求方程 的实数根；几何法：对于不能用求根公式求解的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。2、二次函数的零点下表是二次函数 的图象与零点的关系。方程无实数根与 轴的交点，无交点零点个数两个零点一个零点无零点3、函数零点存在性判定定理如果函数 在区间
2、上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数 在区间 内有零点，即存在，使得，这个 也就是方程 的根。注意以下几点：（1）这个定理只要求会用，不要求证明；（2）这个定理 只能判断出 实数解的存在，而不能判断出有多少个实数解；（3）所谓函数的零点，从“数”的角度看，就是使 的点；从“形”的角度看，就是函数 的图象与 轴的交点。特别地，若函数 的图象在 处与 轴相切，则零点 通常叫做 不变号零点；若曲线在 处与 轴相交，则零点 叫做 变号零点。如下图 1。（4）如果函数 在给定区间 上的图象是连续不断的，且在这两个端点处的函数值的乘积，那么该在给定区间上至少存在一个变号零点，这一点是肯定的，除此
3、之外，还可能存在其他的变号零点与不变号零点，如下图 1 所示。但当 时，也可能存在变号零点，还可能有不变号零点存在，如下图 2 所示。4、二分法对于在区间 上连续不断且 的函数，能过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法。注意：（1）二分法的基本思想：逼近思想（2）用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用。5、给定精确度，用二分法求函数 零点近似值的 步骤第一步：确定闭区间，验证，给定精确度；第二步：求区间 的中点；第三步：计算（1）若，则 就是函数的零点；（2）若，则令（此时零点）（3
4、）若，则令（此时零点）第四步：判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或），否则重复第二步至第四步。6、几类函数模型一次函数模型：（、为常数，）二次函数模型：（、为常数，）指数函数模型：（、为常数，）对数函数模型：（、为常数，）幂函数模型：（、为常数，）7、几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数 和幂函数，通过探索可以发现，在区间 上，无论 比 大多少，尽管在 的一定范围内，会小于，但由于 的增长快于 的增长，因此总存在一个，当 时，就会有。同样地，对于对数函数 和幂函数，在区间 上，随着 的增大，增长得越来越慢，图象就像是渐渐与 轴平行一样，尽管在 的一琮范围内，可能会大于，但由于
5、的增长慢于 的增长，因些总存在一个，当 时，就会有。在区间 上，尽管函数、和 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着 的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于 的增长速度，而 的增长速度越来越慢，因此，总会存在一个，当 时，就会有。8、解模型确定的函数应用题的基本步骤解函数应用问题，一般地可按以下四步进行：第一步：阅读理解、认真审题。读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试总理的函数化，审题时要抓
6、住题目中的关键的量，实现应用问题向数学问题的转化。第二步：引进数学符号，建立数学模型。一般的设自变量为，函数为，并用 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规数学总题（即数学模型）予以解答，求得结果。第四步：再转译成具体问题作出解答。9、二次方程根的分布情况(),时，可变形为 考虑。根的分布（图象满足的条件为常数）只有一个根在 之间或 第三章：函数的应用练习题时间：100 分钟 满分：100 分 一 选择题（本大题共 8 小题，每小题 4
7、 分，共 32 分）1.函数 的图像在 内是连续的曲线，若，则函数 在区间 内 A 只有一个零点 B 至少有一个零点C 无零点 D 无法确定2.函数 的零点一定位于下列哪个区间A B C D 3.在 上存在，使，则 的取值范围是A B C D 4.某商品降价 10，欲恢复原价，则应提价A 10 B 20 C 11 D 5.方程 有解，则 在下列哪个区间A B C D 6.若函数 没有零点，则实数 的取值范围是A B C D 7.将进价为 60 元/个的商品按 90 元/个售出，能卖 400 个。已知该商品每个涨价 1 元，销售量就减少 20 个，为了赚得最大利润，售价应定为A 70 元/个 B
8、 75 元/个C 80 元/个 D 85 元/个8.某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额（元）是（其中 为年销售额），而，一员工获得 400 元的奖励，那么该员工一年的销售额为A 800 B 1000C 1200 D 1500 二 填空题 （本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）9.函数 的两个零点是 .10.光线通过一块玻璃时，其强度要损失 10，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为，通过 块玻璃后的强度为，则 关于 的函数关系式为 .11.某债券市场发行三种债券：种面值为 100 元，一年到期本息和为 103 元；种面值为 50 元，一
9、年到期 51.4 元；种面值 20 元，一年到期 20.5 元。作为购买者，要选择受益最大的一种，分析三种债券的收益，应选择 种债券.12.制造印花机的成本 元与印花机的生产能力 米/分钟之间有函数关系.已知印花机的生产能力达到每分钟花布 1000 米 时，需投入成本 50000 元，问要使生产能力达到每分钟印花布 1331 米 时，需投入成本是 元.三 解答题 （本大题共 4 小题，共 52 分）13.（本小题满分 12 分）已知函数 的零点是 1 和 2，求函数 的零点.14.（本小题满分 12 分）函数 的两个不同的零点是 和，且，的倒数平方和为 2，求.15.（本小题满分 14 分）某
10、商店在近 30 天内每件的销售价格 元与时间 天的函数关系式是：，该商品的日销售量 件与时间 天的函数关系式是，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出是第几天？16.（本小题满分 14 分）某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：月 份123产量（千件）505253.9为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数 或（为常数，且）来模拟这种电脑元件的月产量 千件与月份的关系.请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由.第三章：函数的应用练习题参考答案一、选择题B B B D B B D D二、填空题9.1 和 210.11.12.60500 13.14.15.时最大 900 元16.用函数 模拟好