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1、高三数学试卷 第 2 页（共 4 页）高三数学试卷 第 1 页（共 4 页）装订线2024 年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数 学数 学注意事项:1.本试卷分第卷、第卷两部分，共 4 页满分 150 分；考试时间：120 分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂在答题卡上3.用铅笔把第卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第卷的答案写在答题纸的相应位置上4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回第卷（选择题，共 60 分）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
2、目要求的.)1从某班所有同学中随机抽取 10 人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是A9 B8 C7 D42已知向量,a b满足1,1=-aa b，则 a(a-b)的值为A4B3C2D03已知0a，0b，2ab+=，则A01aB01abD12b，则21zz=B若1 20z z=，则10z=且20z=C若12=zz，则2212zz=D若12zzzz-=-，且 z1z2，则z在复平面对应的点在一条直线上8 已知 Q 为圆 A:(x-1)2+y2=1 上动点，直线 l1:mx-ny+3m+2n=0 和直线 l2:nx+my-6m+n=
3、0（m,nR,m2+n20）的交点为 P，则|PQ|的最大值是A6+5 B4-5 C5+5 D1+5二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.)9.若展开式83()mxx+中常数项为 28，则实数 m 的值可能为A-1 B1 C2 D310.已知()sin3cos(0)f xxxwww=+在区间,6 4p p上单调递增，则w的取值可能在A(0,23B(23,7)C7,263 D503,1911已知定义域为 R 的函数 f x，满足1(1)()()()fx fyf xyf x
4、f y-+=,且 f(0)0，f(-1)=0，则学 校姓 名考 号高三数学试卷 第 2 页（共 4 页）高三数学试卷 第 1 页（共 4 页）Af(1)=0B f x图像关于(2,0)对称Cf(x)2+f(1-x)2=1 D 202410if i=高三数学试卷 第 4 页（共 4 页）高三数学试卷 第 3 页（共 4 页）第卷（非选择题，共 92 分）第卷（非选择题，共 92 分）三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）12.已知集合 A=-1,2,4，B=2,m2.若 BA，则实数 m 的取值集合为_.13.九章算术 中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧
5、道形状的几何体，如图，羡除 ABCDEF 中，底面 ABCD 是正方形,EF平面 ABCD，ADE 和BCF均为等边三角形，且EF=2AB=6.则这个几何体的外接球的体积为_.14.某机器有四种核心部件 A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为()(),P AP B=()()P CP D=，且各部件是否正常工作相互独立，已知4()()3P AP C+=,设 X 为在 n 次实验中成功运行的次数，若(16E X=），则至少需要进行的试验次数为_.四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15
6、.（本小题满分 13 分）2024 年初，OpenAI 公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”,Sora 模型可以生成最长 60秒的高清视频.Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮.为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营.选拔考试分为“Python 编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选.若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束“Python 编程语言”考试合格得 4 分，否则得 0 分；“数据结构算法”考试合格得 6 分，否则得 0 分已知甲同学参加“Python
7、编程语言”考试合格的概率为 0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为 0.7（1）若甲同学先进行“Python 编程语言”考试，记 X 为甲同学的累计得分，求 X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由16.（本小题满分 15 分）如图，S 为圆锥顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AB,CD是长度为 2 的底面圆的两条直径，ABCDO=I，且3SO=，P 为母线 SB 上一点（1）求证：当 P 为 SB 中点时，/SA平面 PCD；（2）若AOC=60o，二面角 PCDB 的余弦值为3 2121，试确定 P 点的位置.17.（本小题满分 15 分）已知函
8、数()ln(1)f xxa xaR=-+在（2，f(2)）处的切线与直线 x+2y=0 平行.（1）求()f x的单调区间；（2）当 x(1,2)时，恒有21()(2)22xf xkxk+-成立，求 k 的取值范围.18.（本小题满分 17 分）已知双曲线 G 的中心为坐标原点，离心率为54，左、右顶点分别为 A(-4,0)，B(4,0)（1）求 G 的方程；（2）过右焦点 F2的直线 l 与 G 的右支交于 M，N 两点，若直线 AM 与 BN 交于点P(i)证明：点 P 在定直线上；(ii)若直线 AN 与 BM 交于点 Q，求证：PF2QF2.19.（本小题满分 17 分）大数据环境下数
9、据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果.现有一个“数据漏斗”软件，其功能为：通过操作(,)L M N删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列.设数列 na的通项公式 an=3n-1,nN+，通过“数据漏斗”软件对数列 na进行 L(3,1)操作后得到 nb,设nnab+前n项和为nS.（1）求nS；（2）是否存在不同的实数,p q rN+,使得,PqrSS S成等差数列？若存在,求出所有的(,)p q r；若不存在,说明理由；（3
10、）若,2(31)nnnnSenN+=-,对数列 ne进行 L(3,0)操作得到 nk,将数列 nk中下标除以 4 余数为 0,1 的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到np，再将np的每一项都加上自身项数,最终得到 nc,证明：每个大于 1 的奇平方数都是 nc中相邻两项的和.2024 年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数 学数 学参考答案及评分标准一、单项选择题一、单项选择题14：DCBC58：ACDA二多选选择题二多选选择题9.AB10.AC11.ACD三、填空题三、填空题12.-2,213.3614.27四、解答题15.（本小题满分 13 分）四、解答题15.（本小题满分 13 分）（
11、1）由题意可得，X 的可能取值为 0，4，10，则1P（X0）10.80.2，2P（X4）0.8（10.7）0.24，3P（X10）0.80.70.56，4X 的分布列为：X0410P0.20.240.566（2）由（1）可知甲先进行“Python 编程语言”考核，累计得分的期望为E（X）00.2+40.24+100.566.56，若甲先进行“数据结构算法”考试，记 y 为甲的累计得分，则 y 的所有可能取值为 0，6，10，7P（y0）10.70.3，8P（y6）0.7（10.8）0.14，9P（y10）0.70.80.56，10则 y 的期望为 E（y）00.3+60.14+100.566
12、.44，11E（X）E（y），12甲应选择先进行“Python 编程语言”考试1316.（本小题满分 15 分）16.（本小题满分 15 分）（1）连结 PO，如图，P，O 分别为 SB，AB 的中点，/PO SA，2又PO平面 PCD，SA 平面 PCD，/SA平面 PCD.5（2）由题意，AOC=60o,于是可以以 OB为 y 轴，OS 为 z 轴，建立直角坐标系.O(0,0,0)，D(32,12,0)C(-32,-12,0),B(0,10),S(0,0,3)7于是，OP=tOS+(1-t)OB=(0,1-t,3t)，t(0,1)又OD=(32,12,0)9设平面 PCD 的法向量 n=(
13、x,y,z)，于是OP n=0OD n=0，(1-t)y+3tz(1-t)y+3tz=032x+12y=0解得解得x x=-33yz=t-13ty,令 y=3，所以 n=(-3,3,t-1t),11易知平面 BCD 的法向量m=(0,0,1),所以|cos|=1-tt36+(t-1)2t2=3 2121,解得 t=14或-1213所以，OP=14OS+34OB=(0,34,34),即 P 点的坐标(0,34,34)；15或给出BPBS=1415或给出BPPS=1315或表述 为 p 为 SB 的靠进 B 点的四等分点；15（若考生给出其他正确解法，同样赋分）17.（本小题满分 15 分）17.
14、（本小题满分 15 分）（1）由已知可得()f x的定义域为(0,)，1fxax，所以 f(2)=12-a=-12，即1a，2所以()ln(1)f xxx，111xfxxx，令 0fx，得01x，令 0fx，得1x，4所以()f x的单调递增区间为(0,1，单调递减区间为1.6（2）将不等式整理得：21()2(1)22xf xxk x可化为ln112xxkx，问题转化为在(1,2)上，ln112xxkx恒有成立，即 M(2)=ln2-12，14所以k的取值范围是,ln2 12.1518.（本小题满分 17 分）18.（本小题满分 17 分）（1）由点 A，B 的坐标可知 a=4,离心率为 e=
15、ca=54,故 c=5,所以 b=c2-a2=3，2所以双曲线 G 方程为x216-y29=1,4（2）(i)设直线 l 为:x=my+5，联立双曲线 G 得，x=my+5x216-y29=1，消去 x 得：(9m216)y2+90my+81=0 5根据题意得：9m2-160，=8100m2-481(9m2-16)=6481(1+m2)0设 M(x1,y1),N(x2,y2),y1+y2=-90m9m2-16,y1y2=819m216,7x1+x2=-1609m2-160,x1x2=400+144m29m2160,故 m21699直线 AM:y=y1x1+4(x+4),因为 M 在 G 上，所
16、以x12-1616=y129,直线 AM:y=9(x1-4)16y1(x+4)-直线 BN:y=y2x2-4(x-4),-11由,消去 y 得：9(x1-4)16y1(x+4)=y2x2-4(x-4),9(x+4)16(x-4)=y1y2(x14)(x24)=y1y2x1x24(x1+x2)+16=819m216400+144m29m216+41609m216+16=8116解得 x=165故，点P在直线x=165上13(ii)由(i)同理可求得点 Q 也在直线 x=165上,设 P(165,y3),Q(165,y4),点 P 在直线 AM 上，所以 y3=365y1x1+4点 Q 在直线 A
17、N(y=y2x2+4(x+4)上，所以 y4=365y2x2+415F2PF2Q=(95,y3)(95,y4)=8125+y3y4=8125+129625y2x2+4y1x1+4=8125+129625y1y2x1x2+4(x1+x2)+16=8125+129625819m216400+144m29m21641609m216+16=8125+129625(811296)=0所以 PF2QF2.1719.（本小题满分 17 分）（本小题满分 17 分）（1）由=31,+知：当 n=1 时,1=1;当2n时3+,故=3,+2则=4=131?=2(3 1),+4（2）假设存在,由nS单调递增,不妨设
18、,2,qPrpqrSSSp q rN化简得3+3=2,6p-q0,031,132,80r-q321,与“qr,且,+”矛盾,故不存在 10（3）由题意，en=n 易知3=3,32=3-2,31=3-1,所以保留32,31,则21=3-2,2=3-1,+12又k4n+1=6n+1,k4n+2=6n+2,k4n+3=6n+4,k4n+4=6n+5,n N,将441,nnkk删去,得到pn,则 p2n+1=6n+2,p2n+2=6n+4,2+1=(6+2)+(2n+1)=8n+3,2+2=(6+4)+(2n+2)=8n+6,Nn即：，Nnncncnn,28,58212即：.,2,2412,14Nkk
19、nnknncn14记(1)2kk kr,下面证明：21(21)kkrrkcc由2222441424382,861,8103,8146mmmmrmm rmmrmmrmm,；时，222212424)142(116641)128(42)28(4,1281,28444mmmmmmmccmmrmmrmkmmrrmm;1)14(2948642)268(41)168(4,2681,168,1422221242141414mmmmmmmccmmrmmrmkmmrrmm时;1)24(22580642)410841-3108(4,41081,310824222212242242424mmmmmmmccmmkmmkmkmmkkmm（）时，.1)34(249112641)7148(42)6148(4,71481,6148,34222212342343434mmmmmmmccmmrmmrmkmmrrmm时综上，对任意的,Nk都有，12)12(kkrrcck原命题得证.17