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1、120242024年年1 1月月-3 3月各省市一模压轴新题型汇编月各省市一模压轴新题型汇编1(20242024 云南云南 一模一模)已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，顶点是坐标原点O.P是圆O:x2+y2=3与C的一个交点，PF=32.AB是C上的动点，且AB在x轴两侧，直线AB与圆O相切，线段OA线段OB分别与圆O相交于点MN.(1)求C的方程；(2)OMN的面积是否存在最大值？若存在，求使OMN的面积取得最大值的直线AB的方程；若不存在，请说明理由.22(20242024 广西南宁广西南宁 一模一模)若无穷数列 an满足a1=0,an+1-an=f n，则称数列 an为数列，若数列
2、an同时满足ann-12，则称数列 an为数列(1)若数列 an为数列，f n=1,nN N，证明：当n2025时，数列 an为递增数列的充要条件是a2025=2024；(2)若数列 bn为数列，f n=n，记cn=b2n，且对任意的nN N，都有cn100，bn=12203-n,1n5000,n500，dn=an bn，证明：d2001244(20242024 山东聊城山东聊城 一模一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3.一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区
3、域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.55(20242024 河南信阳河南信阳 一模一模)定义：max a,b=a,ab,b,ab,min a,b=b,ab,a,a0,b0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为x2a2-y2b2=0，请利用该方程证明如下命题：若T m,n为双曲线C上一点，直线l：mxa2-nyb2=1与C的两条渐近线分别交于点PQ，则T为线段PQ的中点.88(20242024 湖北湖北 二模二模)微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数
4、学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段对于函数 f x=1x(x0),f x在区间 a,b上的图像连续不断，从几何上看，定积分ba1xdx便是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=1x所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得ba1xdx=lnb-lna，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP21a+1b(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：a-blna-lnb0，函数 f x=ex1-x,H x=lnx+kx.(1)求 f x、H x的单调区间；(2)讨论直线y=x与曲线y=lnx-1的公共点的个数；(3)
5、记函数F x=exlnx-x+1x,x1、x2，若0 x1x2，且F x1=F x2，则 e2-2ex1+x2-a0，求实数a的取值范围.1212(20242024 贵州贵阳贵州贵阳 一模一模)英国数学家泰勒发现了如下公式：ex=1+x+x22!+x33!+xnn!+其中n!=1234n,e为自然对数的底数，e=2.71828.以上公式称为泰勒公式.设 f x=ex-e-x2,g x=ex+e-x2，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：ex1+x；(2)设x 0,+，证明：f xxg x；(3)设F x=g x-a 1+x22，若x=0是F x的极小值点，求实数a
6、的取值范围.1313(20242024 安徽安庆安徽安庆 二模二模)取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设xR R，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作x，函数y=x称为取整函数另外也称x是x的整数部分，称x=x-x为x的小数部分(1)直接写出 ln和-34 的值；(2)设a，bN N*，证明：a=bab+bab ，且0bab b-1，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；(3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为a=pa11pa22pakk，其中pi为质数，ai为整数，且对任意的i j，pi1，nN N*)的指数ai=npi+np2i+np3i+=r=1np
7、ri1414(20242024 湖北湖北 一模一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 f x在x=0处的n nN N*阶导数都存在时，f x=f 0+f0 x+f02!x2+f303!x3+fn0n!xn+注：fx表示 f x的2阶导数，即为 fx的导数，fnxn3表示 f x的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：cosx=1-x22!+x44!-x66!+当x0时，试比较cosx与1-x22的大小，并给出证明；(3)设nN*，证明：nk=11(n+k)tan1n+kn-14n+21515(20242024
8、广东广东 一模一模)数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|=x2+y2.类似地，对于n行n列的矩阵Ann=a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3n，其模可由向量模拓展为A=ni=1nj=1a2ij12(其中aij为矩阵中第i行第 j列的数，为求和符号)，记作AF，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵A22=a11a12a21a22=2435，其矩阵模AF=ni=1nj=1a2ij12=22+42+32+52=3 6.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应
9、用.(1)nN N*，n3，矩阵Bnn=100002000030000n，求使BF3 5 的n的最小值.(2)nN N*，n3，矩阵Cnn=1coscoscoscoscos0-sin-sincos-sincos-sincos-sincos00sin2sin2cossin2cossin2cos0000(-1)n-2sinn-2(-1)n-2sinn-2cos00000(-1)n-1sinn-1求CF.(3)矩阵Dmin=n+2n+1ln000n+1nln22n+1nln220043lnn-1n-143lnn-1n-143lnn-1n-1032lnnn32lnnn32lnnn32lnnn，证明：n
10、N N*，n3，DFn3n+9.1616(20242024 河南开封河南开封 二模二模)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为 n(1)试求 3，9，7，21的值；(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数试求 3n，pq与(p)和(q)的关系；(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥具体而言：准备两个不同的、足够大的素数p，q；计算n=pq，欧拉函数 n；求正整数k，使得kq除以 n的余数
11、是1；其中 n,q称为公钥，n,k称为私钥已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17)若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列 bn，数列 cn满足80cn=bn+47，求数列 tancntancn+1的前n项和Tn1717(20242024 广东江门广东江门 一模一模)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5=2024，称五元有序数组 x1,x2,x3,x4,x5为方程的解，对于上述的五元有序数组 x1,x2,x3,x4,x5，当1i,j5时，若max(xi-xj)=t(tN)，则称 x1,x2,x3,x4
12、,x5是t-密集的一组解.(1)方程是否存在一组解 x1,x2,x3,x4,x5，使得xi+1-xii=1,2,3,4等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程的解中共有多少组是1-密集的?(3)记S=5i=1x2i，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.1818(20242024 山东潍坊山东潍坊 一模一模)若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称(,)是上的二维离散型随机变量或二维随机向量设(,)的一切可能取值为(ai,bj)，i,j=1,2,，记pij表示(ai,bj)在中出现的概率，其中pij=P(=ai,=bj)=P(=ai)
13、(=bj)(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则(,)是一个二维随机变量写出该二维离散型随机变量(,)的所有可能取值；若(m,n)是中的值，求P(=m,=n)(结果用m，n表示)；(2)P(=ai)称为二维离散型随机变量(,)关于的边缘分布律或边际分布律，求证：P(=ai)=+j=1pij1919(20242024 广东深圳广东深圳 一模一模)已知动点P与定点A m,0的距离和P到定直线x=n2m的距离的比为常数mn其中m0,n0，且mn，记点P的轨迹为曲线C(1)求C的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点B-m,0，
14、若曲线C上两动点M,N均在x轴上方，AMBN，且AN与BM相交于点Q当m=2 2,n=4时，求证：1AM+1BN的值及ABQ的周长均为定值；当mn时，记ABQ的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数，使得S=r恒成立？若存在，求(用m,n表示)；若不存在，请说明理由2020(20242024 福建漳州福建漳州 模拟预测模拟预测)“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为12，乙每天选择“共享单车”的概率为2
15、3，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为34，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为14，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为13，如此往复(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)求丙在3月份第n n=1,2,31天选择“共享单车”的概率Pn，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数2121(20242024 福建厦门福建厦门 二模二模)若nN*，都存在唯一的实数cn，使得 f cn=n，则称
16、函数 f x存在“源数列”cn.已知 f x=x-lnx,x 0,1.(1)证明：f x存在源数列；(2)()若 f x-x0恒成立，求的取值范围；()记 f x的源数列为 cn，证明：cn前n项和Sn53.2222(20242024 辽宁辽宁 一模一模)已知平面上一动点P到定点F12,0的距离比到定直线x=-2023的距离小40452，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)点A 2,1,M,N为C上的两个动点，若M,N,B恰好为平行四边形MANB的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一三象限的角平分线上，记平行四边形MANB的面积为S，求证：S8 69.2323(20242
17、024 江苏徐州江苏徐州 一模一模)将x2+y2=2上各点的纵坐标变为原来的2202倍(横坐标不变)，所得曲线为E记P-2,0，Q 1,0，过点p的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D(1)求E的方程：(2)设直线AB，CD的倾斜角分别为，当00(1)若函数 f x有3个不同的零点，求a的取值范围；(2)已知 fx为函数 f x的导函数，fx在R上有极小值0，对于某点P x0,f x0，f x在P点的切线方程为y=g x，若对于xR，都有 x-x0 f x-g x0，则称P为好点求a的值；求所有的好点2626(20242024 河北河北 一模一模)某商场周年庆进行大
18、型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束，不获得任何礼券最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一，继续投掷之前抽取的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面，则获得200元礼券，方案二，不使用之前抽取的
19、硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷，如果掷出向上的面为正面，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二，如果掷出向上的面为反面，则获得100元礼券(1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率(2)若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率(3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适2727(20242024 河南南阳河南南阳 一模一模)在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双
20、曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的蒙日圆的面积为13，该椭圆的上顶点和下顶点分别为P1,P2，且 P1P2=2，设过点Q 0,12的直线l1与椭圆E交于A,B两点(不与P1,P2两点重合)且直线l2:x+2y-6=0.(1)证明：AP1，BP2的交点P在直线y=2上;(2)求直线AP1,BP1,l2围成的三角形面积的最小值.2828(20242024 甘肃兰州甘肃兰州 一模一模)已知圆C过点P 4,1，M 2,3和N 2,-1，且圆C与y轴交于点F，点F是抛物线E:x2=2py p0的焦点.(1)求
21、圆C和抛物线E的方程；(2)过点P作直线l与抛物线交于不同的两点A，B，过点A，B分别做抛物线E的切线，两条切线交于点Q，试判断直线QM与圆C的另一个交点D是否为定点，如果是，求出D点的坐标；如果不是，说明理由2929(20242024 甘肃兰州甘肃兰州 一模一模)定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 x1,y1，x2,y2，那么称d(A,B)=x1-x2+y1-y2为A，B两点间的曼哈顿距离(1)已知点N1，N2分别在直线x-2y=0，2x-y=0上，点M 0,2与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d M,N1，d M,N2，求d M,N1和d M,N2的最小值；(2)已知点N是直
22、线x+k2y+2k+1=0 k0上的动点，点M 0,2与点N的曼哈顿距离d M,N的最小值记为 f k，求 f k的最大值；(3)已知点M ek,kek，点N(m,n)(k，m，nR，e是自然对数的底)，当k1时，d M,N的最大值为f m,n，求 f m,n的最小值3030(20242024 安徽合肥安徽合肥 一模一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意nN N*，定义“q-数”(n)q=1+q+qn-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n!q=(1)q(2)q(n)q,且 0!q=1.和“q-组合数”，即对任意kN N,nN N*,kn，nkq=n!qk!qn-
23、k!q(1)计算：532；(2)证明：对于任意k,nN N*,k+1n，nkq=n-1k-1q+qkn-1kq(3)证明：对于任意k,mN N,nN N*,k+1n，n+m+1k+1q-nk+1q=mi=0qn-k+in+ikq.3131(20242024 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨 一模一模)这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游
24、总收入达到历史峰值现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期望；(2)记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为n+1个的概率为an，求 an的前n项和Sn；(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这
25、些游客得到纪念品的总个数恰为n个的概率为bn，当bn取最大值时，求n的值3232(20232023 广东广州广东广州 模拟预测模拟预测)多元导数在微积分学中有重要的应用.设y是由a，b，c等多个自变量唯一确定的因变量，则当a变化为a+a时，y变化为y+y，记lima0ya为y对a的导数，其符号为dyda.和一般导数一样，若在 a1,a2上，已知dyda0，则y随着a的增大而增大；反之，已知dyda0，则y随着a的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：可加性：d y1+y2da=dy1da+dy2da；乘法法则：d y1y2da=y2dy1da+y1dy2da；除法法则
26、：dy1y2da=y2dy1da-y1dy2day22；复合法则：dy2da=dy2dy1dy1da.记y=ex+1ex2lnx-12ex2-ex-a.(e=2.7182818为自然对数的底数)，(1)写出dydx和dyda的表达式；(2)已知方程y=0有两实根x1,x2，x10，并写出x1+x2随a的变化趋势.3333(20242024 广西南宁广西南宁 一模一模)已知曲线:x2=4y(1)若点T t,s是上的任意一点，直线l:y=t2x-s，判断直线l与的位置关系并证明(2)若E是直线y=-1上的动点，直线EA与相切于点A，直线EB与相切于点B试问AEB是否为定值？若是，求出该定值；若不是
27、，请说明理由若直线EA,EB与x轴分别交于点C,D，证明：EBEC=ABCD120242024年年1 1月月-3 3月各省市一模压轴新题型汇编月各省市一模压轴新题型汇编1(20242024 云南云南 一模一模)已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，顶点是坐标原点O.P是圆O:x2+y2=3与C的一个交点，PF=32.AB是C上的动点，且AB在x轴两侧，直线AB与圆O相切，线段OA线段OB分别与圆O相交于点MN.(1)求C的方程；(2)OMN的面积是否存在最大值？若存在，求使OMN的面积取得最大值的直线AB的方程；若不存在，请说明理由.解析：解析：(1)由已知，设抛物线C的方程为y2=2px p
28、0，由抛物线定义得，抛物线准线方程为x=-p2，PF=xP+p2，故xp=PF-p2=32-p2，又P是抛物线C与圆O:x2+y2=3的一个交点，y2P=2p32-p2，x2P+y2P=32-p22+2p32-p2=3，p2-2p+1=0，解方程得 p=1.C的方程为y2=2x.(2)由(1)知抛物线C的方程为y2=2x，根据已知设直线AB的方程为x=ty+m，即x-ty-m=0.由AB是C上的动点，设Ay212,y1,By222,y2，则OA=y212,y1，OB=y222,y2.直线AB与圆O相切，m1+t2=3，化简得t2=m2-33.由y2=2x,x=ty+m 得y2-2ty-2m=0
29、.=4t2+8m=4m23+8m-40，且y1+y2=2t,y1y2=-2m.又AB在x轴两侧，y1y2=-2m0y1y2=-2m0，解得m3，SOMN=12OMONsinMON=123 3sinAOB=32sinAOB32成立，2sinAOB=1,0AOB，AOB=2.OA OB=0.OA OB=y1y224+y1y2=m2-2m=0，解得m=0或m=2.再由m3 得m=2.当m=2时，t2=m2-33=13，解方程得t=33.OMN的面积存在最大值，且使OMN的面积取得最大值的直线AB的方程为x33y-2=0，即3x3y-6=0.2(20242024 广西南宁广西南宁 一模一模)若无穷数列
30、 an满足a1=0,an+1-an=f n，则称数列 an为数列，若数列 an同时满足ann-12，则称数列 an为数列(1)若数列 an为数列，f n=1,nN N，证明：当n2025时，数列 an为递增数列的充要条件是a2025=2024；(2)若数列 bn为数列，f n=n，记cn=b2n，且对任意的nN N，都有cncn+1，求数列 cn的通项公式解析：解析：(1)先证必要性：依题意得，an+1-an=1，又数列 an是递增数列，故an+1-an=1，故数列 an是a1=0，公差d=1的等差数列，故a2025=0+2025-11=2024.再证充分性：由 an+1-an=1，得an+1
31、-an1，故a2025=a2025-a2024+a2024-a2023+a2-a1+a12024，当且仅当an+1-an=1时取等号.又a2025=2024，故an+1-an=1，故数列 an是递增数列.(2)因为cn=b2n，由cni+1-12，与条件矛盾；若bi+1-bi=-i，则有bi=bi+1+iii-12，与条件矛盾；即假设不存在，即对任意正整数n,bn,bn+1中至少有一个小于0；3由b2n0，对n2成立，故n2时，b2n-10，b2n+10，即b2nb2n-1,b2nb2n+1，故b2n-b2n-1=2n-1,b2n-1-b2n-2=-2n-2，故 b2n-b2n-1+b2n-1
32、-b2n-2=1，即b2n-b2n-2=1,n2，即cn-cn-1=1,n2.又c1=b2=-1,c2=b4=0，所以数列 cn是c1=-1，公差为1的等差数列，所以cn=-1+n-1=n-2.3(20242024 山东青岛山东青岛 一模一模)记集合S=an|无穷数列 an中存在有限项不为零，nN N*，对任意anS，设变换 fan=a1+a2x+anxn-1+，xR R定义运算：若 an,bnS，则 an bnS，fan bn=fan fbn(1)若 an bn=mn，用a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4表示m4；(2)证明：an bn cn=anbn cn；(3)若an=n+1
33、2+1n n+1,1n1000,n100，bn=12203-n,1n5000,n500，dn=an bn，证明：d20012解析：解析：(1)因为 fan bn=fan fbn=a1+a2x+a3x2+a4x3b1+b2x+b3x2+b4x3=+a1b4+a2b3+a3b2+a4b1x3+，且 fmn=m1+m2x+m3x2+m4x3+，所以，由 an bn=mn可得m4x3=(a1b4+a2b3+a3b2+a4b1)x3，所以m4=a1b4+a2b3+a3b2+a4b1.(2)因为 f(anbn)=f(an)f(bn)，所以 f(an)f(bn)f(cn)=f(anbn)f(cn)=f(an
34、bn)cn)又因为 fan fbn fcn=fan fbn fcn=f(an)f(bncn)=f(an(bncn)所以 f(anbn)fcn)=f(an(bn fcn)，所以an bn cn=anbn cn.(3)对于an,bnS，因为(a1+a2x+anxn-1+)(b1+b2x+bnxn-1+)=d1+d2x+dnxn-1+，所以dnxn-1=a1(bnxn-1)+akxk-1(bn+1-kxn-k)+an-1xn-2(b2x)+anxn-1b1，所以dn=a1bn+a2bn-1+akbn+1-k+an-1b2+anb1，所以 an bn=dn=nk=1akbn+1-k ，d200=200
35、k=1akb201-k=100k=1akb201-k+200k=101akb201-k=100k=1akb201-k=100k=1(k+1)2+1k(k+1)2k+2，4所以d200=100k=112k+21+2k-1k+1，=100k=112k+2+100k=11k2k+1-1k+12k+2=12-102101210212.4(20242024 山东聊城山东聊城 一模一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3.一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(
36、1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.解析：解析：(1)经过2秒机器人可能位于的区域为P、Q1，Q，经过3秒机器人可能位于的区域为A，B1，B2，C1，C2，C3；(2)若经过2秒机器人位于区域Q，则经过1秒时，机器人必定位于B2，P有三个相邻区域，故由PB2的概率为 p1=13，B2有两个相邻区域，故由B2Q的概率为 p2=12，则经过2秒机器人位于区域Q的概率为 p1p2=1312=16；(3)机器人的运动路径为PAB1B2PQ1QAB1B2C1C2C3PQ1QAB1B2C1C2C3PQ1Q，设经
37、过n秒机器人位于区域Q的概率Pn，则当n为奇数时，Pn=0，当n为偶数时，由(2)知，P2=16，由对称性可知，经过n秒机器人位于区域Q的概率与位于区域Q1的概率相等，亦为Pn，故经过n秒机器人位于区域P的概率为1-2Pn，若第n秒机器人位于区域P，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为16，若第n秒机器人位于区域Q1，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为16，若第n秒机器人位于区域Q，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为 1-216=23，5则有Pn+2=23Pn+16Pn+161-2Pn，即Pn+2=16+12Pn，令Pn+2+=12Pn+，即Pn+2=12Pn-12，即有=-13，即有Pn
38、+2-13=12Pn-13，则Pn+2-13Pn-13=12，故有Pn-13Pn-2-13=12、Pn-2-13Pn-4-13=12、P4-13P2-13=12，故Pn-13Pn-2-13Pn-2-13Pn-4-13P4-13P2-13 P2-13=Pn-13=12n2-116-13=-1312n2，即Pn=13-1312n2，综上所述，当n为奇数时，经过n秒机器人位于区域Q的概率为0，当n为偶数时，经过n秒机器人位于区域Q的概率为13-1312n2.5(20242024 河南信阳河南信阳 一模一模)定义：max a,b=a,ab,b,ab,min a,b=b,ab,a,a0时,ap=0.p的
39、集合为 pp=k+3m-2,mZ Z且p0ak+2=0,ak+10 时,ak=max ak+1,ak+2-min ak+1,ak+2=ak+10，ak-1=max ak,ak+1-min ak,ak+1=ak+1-ak+1=0，ak-2=max ak-1,ak-min ak-1,ak=ak+10，当p=k+3m-1,mZ Z,且 p0 时,ap=0.p的集合为 pp=k+3m-1,mZ Z且p0ak+1=0且ak+2=0时,ak=0,p的集合为 N N*(3)an=maxan+1,an+2-minan+1,an+20，an+1an+2；设S=n|anan+1,nN*，若S=，则a1a2，ai0
40、，取n1=Aa1+2(x表示不超过x的最大整数)，当nn1时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+a2=an-2+an-3+a1+a2(n-1)a1(n1-1)an=Aa1+1a1Aa1a1=A；若S，)若S为有限集，设m=maxn|anan+1,nN*，am+i0，取n2=Aam+1+m+1(x表示不超过x的最大整数)，当nn2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(am+2-am+1)+am+1=an-2+an-3+am+am+1(n-m)am+1(n2-m)am+1=Aam+1+1am+1Aam+1am+1=A；)若S为无限集，设 p1=mi
41、nn|anan+1,nN*，pi+1=minn|anan+1,npi(iN*)，若pi+1-pi=1，则apiapi+1api+2，又apiapi+1，api+1api+3；因为api+1=api+2-api+3，所以mi+1=api+1+1=a(pi+2)+1=api+3=api+2-api+1=apiapi+1=mi；当pi+1-pi3时，apiapi+1，api+1api+2api+1+1因为api+1-1=api+1-api+1+1，故mi+1=api+1+1=api+1-api+1-1=api+1-2api+1=mi；因为api+1=api+1+2-api+1+1，故api+1+2=
42、api+1-api+1+1=api+1+mi+1api+1+m1api+2+m1，7故对任意A0，取n3=Am1+1，当kn3时，apk+2=(apk+2-apk-1+2)+(apk-1+2-apk-2+2)+(ap2+2-ap1+2)+ap1+2(k-1)m1+ap1+2km1Am1+1m1Am1m1=A；综上所述，不存在实数A，使得nN*,anA综上所述，不存在实数A，使得对任意的正整数n，都有anA6(20242024 湖北湖北 一模一模)已知双曲线C1:x2-y2b2=1经过椭圆C2:x2a2+y2=1的左、右焦点F1,F2，设C1,C2的离心率分别为e1,e2，且e1e2=62(1)
43、求C1,C2的方程；(2)设P为C1上一点，且在第一象限内，若直线PF1与C2交于A,B两点，直线PF2与C2交于C,D两点，设AB,CD的中点分别为M,N，记直线MN的斜率为k，当k取最小值时，求点P的坐标解析：解析：(1)依题意可得a2-1=1，得a2=2，由e1e2=62，得e21e22=1+b21a2-1a2=32，解得b2=2，故C1的方程为x2-y22=1,C2的方程为x22+y2=1(2)易知F1-1,0,F21,0，设P x0,y0，直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2，则k1=y0 x0+1,k2=y0 x0-1,k1k2=y02x02-1，P x0,y0在C1:x2-y
44、22=1，即有x02-y022=1，可得k1k2=y02x02-1=2为定值设直线PF1的方程为：y=k1x+1，联立x22+y2=1可得2k21+1x2+4k21x+2 k21-1=0,0恒成立，设A x1,y1,B x2,y2，则有x1+x2=-4k212k21+1，可求得M-2k212k21+1,k12k21+1，设直线PF2的方程为：y=k2x-1,C x3,y3,D x4,y4，同理可得N2k222k22+1,-k22k22+1，则k=-k12k12+1+k22k22+12k122k12+1+2k222k22+1=-k12k22+1+k22k12+12k122k22+1+2k222k
45、12+1=-2k1k2+1k1+k28k12k22+2 k12+k22=-2k1k2+1k1+k28k12k22+2k1+k22-2k1k28由k1k2=2可得：k=-5 k1+k224+2 k1+k22，点P在第一象限内，故k2k10，k=-524k1+k2+2 k1+k2-5224k1+k22 k1+k2=-5 324当且仅当24k1+k2=2 k1+k2，即k1+k2=2 3 时取等号，而k1+k22 k1k2=2 2，故等号可以取到即当k取最小值时，k1+k2=2 3，联立k1k2=2，可解得k1=3-1,k2=3+1，故PF1的方程为：y=3-1x+1,PF2的方程为：y=3+1x-
46、1，联立可解得x=3y=2，即有P3,27(20242024 广东汕头广东汕头 一模一模)已知点M x0,y0为双曲线x22-y2=1上的动点.(1)判断直线x0 x2-y0y=1与双曲线的公共点个数，并说明理由；(2)(i)如果把(1)的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；(ii)将双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为x2a2-y2b2=0，请利用该方程证明如下命题：若T m,n为双曲线C上一点，直线l：mxa2-nyb2=1与C的两条渐近线分别交于点PQ，则T为线段PQ的中点.解析：解析：(1)由点M
47、x0,y0在双曲线x22-y2=1上，得x202-y20=1，即y20=x202-1由x22-y2=1x0 x2-y0y=1 消去y得：y202-x204x2+x0 x-(1+y20)=0，则x2-2x0 x+x20=0，显然=4x20-4x20=0，所以该直线与双曲线有且只有1个公共点.(2)(i)由(1)知，直线x0 x2-y0y=1与双曲线x22-y2=1相切于点 x0,y0，所以过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点 x0,y0的切线方程为x0 xa2-y0yb2=1.证明如下：显然x20a2-y20b2=1，即b2x20-a2y20=a2b2，由x0 xa2-y0yb2=
48、1x2a2-y2b2=1 消去y得：b2a2x2-2b2a2x0 x+b2+y20=0，9于是=4b4x20a4-4b2a2(b2+y20)=4b2(b2x20-a2y20-a2b2)a4=0，因此直线x0 xa2-y0yb2=1与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)相切于点 x0,y0，所以过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点 x0,y0的切线方程为x0 xa2-y0yb2=1.(ii)当n=0时，直线l的斜率不存在，由对称性知，点T为线段PQ的中点；当n0时，设P x1,y1,Q x2,y2，线段PQ的中点N(t,s)，由x2a2-y2b2=0mxa2-nyb2=1 消
49、去y得：n2b2-m2a2x2+2mx-a2=0，由m2a2-n2b2=1，得x2-2mx+a2=0，则t=x1+x22=m，又mta2-nsb2=1，于是s=b2nm2a2-1=n，即点T与点N重合，所以点T为线段PQ的中点.8(20242024 湖北湖北 二模二模)微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段对于函数 f x=1x(x0),f x在区间 a,b上的图像连续不断，从几何上看，定积分ba1xdx便是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=1x所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可
50、得ba1xdx=lnb-lna，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP21a+1b(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：a-blna-lnbS梯形ABM2M1，可得lnb-lna12AM1+BM2 AB=1222a+b b-a，即a-blna-lnba+b2(2)解：由函数 f x=ax2+bx+xlnx，可得 fx=2ax+lnx+b+1，不妨设0 x1x2，曲线y=f x在 x1,f x1处的切线方程为l1:y-f x1=fx1x-x1，即y=fx1x+f x1-x1fx1同理曲线y=f x在 x2,f x2处的切线方程为l2:y=fx2x+f