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1、INNOVATIVE DESIGN上篇板块二 数列数列微专题12数列中的不等式证明及放缩问题题型聚焦 分类突破高分训练 对接高考索引索引1题型聚焦 分类突破/索引核心归纳核心归纳类型一关于数列项的不等式证明(1)结合合“累累加加”“”“累累乘乘”“”“迭迭代代”放放缩；(2)利利用用二二项式式定定理理放放缩；(3)利利用用基基本本不等式或不等式的性不等式或不等式的性质；(4)转化化为求最求最值、值域域问题.索引索引索引索引索引索引索引/索引类型二对通项公式放缩后求和在在解解决决与与数数列列的的和和有有关关的的不不等等式式证明明问题时，若若不不易易求求和和，可可根根据据项的的结构构特特征征进行放
2、行放缩，转化化为易求和数列来易求和数列来证明明.核心归纳核心归纳索引例例2 已知数列已知数列an的前的前n项和和为Sn，若，若4Sn(2n1)an11，且，且a11.(1)证明：数列明：数列an是等差数列，并求出是等差数列，并求出an的通的通项公式；公式；证明证明因因为4Sn(2n1)an11，所以所以4Sn1(2n3)an1(n2)，两式相减两式相减得得4an(2n1)an1(2n3)an(n2)，即即(2n1)an(2n1)an1，索引由由4Sn(2n1)an11，令令n1可得可得4S1a21a23，所以所以an2n1(n2)，经验证a11符合上式，符合上式，所以所以an2n1.又由又由a
3、n1an2为定定值，故，故an是等差数列是等差数列.索引索引证明证明因因为4an14an1，索引索引索引/索引类型三对求和结论进行放缩核心归纳核心归纳对于于含含有有数数列列和和的的不不等等式式，若若数数列列的的和和易易于于求求出出，则一一般般采采用用先先求求和和再再放放缩的的策略策略证明不等式明不等式.索引例例3(2022郑州州模模拟)已已知知正正项数数列列an的的前前n项和和为Sn，且且满足足a11，a23，an23an12an，数列，数列cn满足足22c132c242c3(n1)2cnn.(1)求出求出an，cn的通的通项公式；公式；解解由由an23an12an，得，得an2an12(an
4、1an).又又a2a12，则数列数列an1an是首是首项为2，公比，公比为2的等比数列，的等比数列，an1an22n12n，a2a12，a3a222，a4a323，anan12n1，累加得累加得ana12222n1，索引数列数列cn满足足22c132c242c3(n1)2cnn，当当n2时，22c132c242c3n2cn1n1，当当n1时，也符合上式，也符合上式，索引索引训练训练3 已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和和为Sn，a3n3an2，且，且S5S34a2.(1)求数列求数列an的通的通项公式；公式；解解设数列数列an的公差的公差为d，在，在a3n3an2中令中令n1，有有a3
5、3a12，即即a12d3a12，故故a1d1.由由S5S34a2得得a4a54a2，所以所以2a13d.由由，解得，解得a13，d2，所以数列所以数列an的通的通项公式公式为an2n1.索引/索引类型四利用数列的单调性证明不等式核心归纳核心归纳若所若所证的数列不等式中有等号，常考的数列不等式中有等号，常考虑利用数列的利用数列的单调性来性来证明明.索引例例4 已知等差数列已知等差数列an的公差的公差d0，a125，且，且a1，a11，a13成等比数列成等比数列.(1)求使不等式求使不等式an0成立的最大自然数成立的最大自然数n；即即(a110d)2a1(a112d)，d(2a125d)0.又又a
6、125，d0，d2，an2n27，2n270，n13.5，故故满足足题意的最大自然数意的最大自然数为n13.索引索引索引解解由由nan1(n1)an，得得(2Snn25n)(Sn1)0，因因为数列数列bn各各项均均为正数，正数，Sn10.索引索引索引索引2高分训练 对接高考/索引1234一、基本技能练1.(2022西安二模西安二模)设等比数列等比数列an的前的前n项和和为Sn，且，且an12Sn1(nN*).(1)求数列求数列an的通的通项公式；公式；所以所以an13an(n2).因因为an是等比数列，所以公比是等比数列，所以公比为3，又又a22a11，所以所以3a12a11，所以所以a11.
7、故故an3n1.索引1234证明证明由由题设得得an1an(n1)dn，索引1234索引12342.(2022焦焦作作模模拟)已已知知数数列列an的的前前n项和和为Sn，a13，a24，Sn12Sn13Sn2(n2).(1)证明：数列明：数列an2是等比数列，并求数列是等比数列，并求数列an的通的通项公式；公式；证明证明当当n2时，由，由Sn12Sn13Sn2可可变形形为Sn1Sn2(SnSn1)2，即即an12an2，即，即an122(an2)，又因又因为a13，a24，所以数列所以数列an2是以是以1为首首项，2为公比的等比数列公比的等比数列，所以，所以an22n1，所以数列所以数列an的
8、通的通项公式公式为an22n1.索引1234证明证明由由an22n1，索引1234索引12343.(2022廊廊坊坊模模拟)已已知知公公差差不不为0的的等等差差数数列列an满足足：a11且且a2，a5，a14成成等等比比数列数列.(1)求数列求数列an的通的通项公式公式an和前和前n项和和Sn；解解设数列数列an公差公差为d，因，因为a2，a5，a14成等比数列成等比数列.即即(14d)2(1d)(113d)，得，得3d26d0，又又d0，所以，所以d2.故故an12(n1)2n1，索引1234/索引1234二、创新拓展练索引1234证明证明由由(1)知，知，an1an，索引1234INNOVATIVE DESIGNTHANKS本节内容结束