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1、微专题42随机变量及其分布高考定位离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布，二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.1.(2022新高考卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(22.5)_.答案0.14解析因为XN(2，2)，所以P(X2)0.5，所以P(X2.5)P(X2)P(20，若随机变量的分布列如下：102Pa2a3a则下列方差值中最大的是()A.D() B.D(|)C.D(21) D.D(2|1)答案(1)D(2)C解析(1)由分布列的性质知，ab1，m1，所以ab，m，所以E(X)01a2ba2b，E(Y)，所以E(
2、X)E(Y)(a2b)2，当且仅当，即a2b时等号成立，故E(X)E(Y)的最小值为.(2)由题意知a2a3a1，a，E()102，E(|)102，D()，D(|).D()1D(|)，D(21)4，D(2|1)4.其中D(21)最大.热点二随机变量的分布列1.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.2.二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n. 考向1二项分布例2 (2022遵义二模
3、)为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示.减排器等级分布如表.综合得分k的范围减排器等级k85一级品75k85二级品70k0.1，所以该校学生还需加强实心球项目训练.(2)2N(6.516，0.16)，即2N(6.20.316，0.42)，且P(X6.832)0.785，即P(X6.5160.316)0.785，所以P(X6.2)P(X6.832)0.785，2.15，0.215，0.2153，0.21530.01，则女生达标率为1(10.785)310.21530.99.所
4、以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到99%.规律方法利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：(1)对任意的a，有P(Xa).(2)P(Xx0)1P(Xx0).(3)P(aXb)P(Xb)P(Xa).训练3 (2022吕梁二模)某厂新开设了一条生产线，生产一种零件，为了监控生产线的生产情况，每天需抽检10件产品，监测各件的核心指标，下表是某天抽检的核心指标数据：9.710.19.810.29.79.910.210.210.010.2(1)求上表数据的平均数和方差s2；(2)若认为这条生产线正常状态下生产的
5、零件尺寸服从正态分布N(，2).如果出现了(3，3)之外的零件，就认为生产过程出现了异常，需停止生产并检查设备.下面是另一天抽检的核心指标数据：10.110.39.79.810.09.810.310.010.79.8用(1)中的平均数和标准差s作为和的估计值和，利用和判断这天是否需要停止生产并检查设备；假设生产线状态正常，记X表示一天内抽取的10个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望.附：若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(3X10.6，故这天需停止生产并检查设备.抽取一个零件尺寸在(3，3)之内的概率为0.997 3，所以抽取一个零件其尺寸在(3，3)之外的
6、概率为10.997 30.002 7，故XB(10，0.002 7)，所以P(X1)1P(X0)10.997 3100.026 7，X的数学期望为E(X)100.002 70.027.一、基本技能练1.为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图.(1)指标数不在17.5和22.5之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率；(2)技术评估可以认为，这种产品的质量指标数X服从正态分布N(，1.222)，其中近似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，计算值，并
7、计算产品指标数落在(17.56，22.44)内的概率.参考数据：XN(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.解(1)由1(a0.090.220.330.240.08a)1，解得a0.02，样本中指标数不在17.5和22.5之间的频率为0.02(11)0.04，所以产品为次等品的概率估计值为0.04.(2)依题意170.02180.09190.22200.33210.24220.08230.0220.所以XN(20，1.222)，所以P(17.56X22.44)P(2021.22X2021.22)0.954 5.2.(2022南充二诊)2020年，我国已经实现全面脱贫的历
8、史性战略任务.但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式.某村盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间200，500(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示.(1)按分层抽样的方法从质量落在350，400)，400，450)的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量落在400，450)的个数X的分布列和数学期望；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100 000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有脐橙均以7
9、元/千克收购；B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购.请你通过计算为该村选择收益较好的方案.(参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5)解(1)从频率分布直方图可知，脐橙质量在350，400)，400，450)内的个数之比为32，所以按分层抽样的方法抽取的5个脐橙，在350，400)内的有3个，在400，450)内的有2个.可知X的取值为0，1，2，且P(X0)；P(X1)；P(X2)，所以X的分布列为X012P0.30.60.1E(X)00.310.620.10.8.(2)方案B好.理由如下：由频率分布直方图可知
10、，脐橙质量落在区间200，250)，250，300)，300，350)，350，400)，400，450)，450，500)的频率依次为0.05，0.16，0.24，0.3，0.2，0.05，所以各区间的脐橙的个数依次为5 000，16 000，24 000，30 000，20 000，5 000.若按方案A收购，总收益为(2250.052750.163250.243750.34250.24750.05)100 0001 0007248 150(元)；若按方案B收购，总收益为(5 00016 00024 000)255 0003255 000(元).因为方案B的收益比方案A的收益高，故该村选择
11、方案B出售.3.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0；当p(0.1，1)时，f(p)400，故应该对余下的产品做检验.二、创新拓展练4.(2022广东重点中学质检)自2019年起，全国高中数学联赛新规则如下.联赛分为一试、加试(即俗称的“二试”).一试考试时间为8：009：20，共80分钟，包括8道填空题(每题8分)和3道解答题(分别为16分、20分、20分)，满分120分.二试考试时间为9：
12、4012：30，共170分钟，包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面.前两题每题40分，后两题每题50分，满分180分.已知某校有一数学竞赛选手，在一试中，正确解答每道填空题的概率为0.8，正确解答每道解答题的概率为0.6.在二试中，前两题每题能够正确解答的概率为0.6，后两题每题能够正确解答的概率为0.5.假设每道题均是答对得满分，答错得0分.(1)记该同学在二试中的成绩为X，求X的分布列；(2)根据该选手所在省份历年的竞赛成绩分布可知，某选手若一试成绩在100分及以上，最终获得省一等奖的可能性为0.9，若一试成绩低于100分，最终获得省一等奖的可能性为0.2.估计该选手最终
13、获得省一等奖的可能性能否达到50%，并说明理由.(参考数据：0.880.168，0.870.21，0.860.262，结果保留两位小数)解(1)依题意，X的所有可能取值为0，40，50，80，90，100，130，140，180，所以P(X0)0.420.520.04，P(X40)C0.60.40.520.12，P(X50)0.42C0.520.08，P(X80)0.620.520.09，P(X90)C0.60.4C0.520.24，P(X100)0.420.520.04，P(X130)0.62C0.520.18，P(X140)C0.60.40.520.12，P(X180)0.620.520.
14、09.故X的分布列为X040508090100130140180P0.040.120.080.090.240.040.180.120.09(2)由题意可知，一试分数达到100分及以上有以下三种情形：一试题目全部答对，概率为0.880.630.1680.2160.036，后三道解答题只错一题，且前8题全对，概率为0.88C0.620.40.073，解答题全部答对，且前面的8道填空题只答错一题或者两题，概率为C0.870.20.63C0.860.220.630.136.所以一试获得100分及以上的概率为0.0360.0730.1360.245，所以该同学获得省一等奖的概率为0.2450.90.7550.20.370.5，所以该选手最终获得省一等奖的可能性达不到50%.