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1、INNOVATIVE DESIGN上篇板块一 三角函数与平面向量微专题5与平面向量有关的最值、范围问题真题演练 感悟高考热点聚焦 分类突破高分训练 对接高考索引1.平平面面向向量量中中的的范范围、最最值问题是是热点点问题，也也是是难点点问题，此此类问题综合合性性强，体体现了知了知识的交的交汇融合融合.2.此此类问题一般以一般以选择题或填空或填空题的形式出的形式出现.索引1真题演练 感悟高考索引A索引法二法二由由b24eb30得得b24eb3e2(be)(b3e)0.取取EF的中点的中点为C，则B在以在以C为圆心，心，EF为直径的直径的圆上，如上，如图.索引A解析解析如如图所示，以所示，以A为原
2、点建立平面直角坐原点建立平面直角坐标系，系，则B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直，直线BD的方程的方程为：y2x2，C方程方程为：(x1)2(y2)2r2，索引因因为P点坐点坐标可表示可表示为x1rcos，y2rsin 2，索引D 解解析析以以C为坐坐标原原点点，CA，CB所所在在直直线分分别为x轴、y轴建建立立平平面面直直角角坐坐标系系(图略略)，则A(3，0)，B(0，4).设P(x，y)，索引索引解析解析法一法一设e1(1，0)，e2(x，y)，则a(x1，y)，b(x3，y).由由2e1e2(2x，y)，索引索引所以所以|2e1e2|254e1e22，因因为ae1e2，b3e
3、1e2，a，b的的夹角角为，索引索引法三法三由由题意，不妨意，不妨设e1(1，0)，e2(cos x，sin x).易知易知a(1cos x，sin x)，b(3cos x，sin x)，所以所以ab(1cos x)(3cos x)sin2x44cos x，|a|2(1cos x)2sin2 x22cos x，|b|2(3cos x)2sin2 x106cos x，索引不妨不妨设mcos x，索引2热点聚焦 分类突破/索引核心归纳核心归纳热点一向量数量积的最值或范围问题数数量量积的的表表示示一一般般有有三三种种方方法法：(1)当当已已知知向向量量的的模模和和夹角角时，可可利利用用定定义法法求求
4、解解；(2)当当已已知知向向量量的的坐坐标时，可可利利用用坐坐标法法求求解解；(3)运运用用平平面面向向量量基基本本定定理理，将数量将数量积的两个向量用基底表示后，再运算的两个向量用基底表示后，再运算.索引A解析解析法一法一如如图，取，取A为坐坐标原点，原点，AB所在直所在直线为x轴建立平面直角坐建立平面直角坐标系，系，索引索引规律方法索引解析解析以以A为坐坐标原点，原点，AB，AD分分别为x，y轴建立建立平面平面直角坐直角坐标系，系，则E(2，2)，M(3，1)，索引/索引热点二向量模的最值或范围问题向向量量的的模模指指的的是是有有向向线段段的的长度度，可可以以利利用用坐坐标表表示示，也也可
5、可以以借借助助“形形”，结合平面几何知合平面几何知识求解求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.核心归纳核心归纳索引解析解析如如图，以，以DA，DC所在直所在直线分分别为x，y轴建立平面直角坐建立平面直角坐标系系.5则A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0，0)，即当即当3a4b时，取得最小，取得最小值5.索引(2)若若向向量量a(x，2)，b(3，y)，c(1，2)，且且(ac)(bc)，则|ab|的最小的最小值为_.解析解析由由题设，ac(x1，4)，bc(4，y2)，又，又(ac)(bc)，(ac)(bc)4(x1)4
6、(y2)0，则xy30，又又ab(x3，2y)，求求|ab|的最小的最小值，即求定点，即求定点(3，2)到直到直线xy30的距离，的距离，索引模的范模的范围或最或最值常常见方法方法(1)通通过|a|2a2转化化为实数数问题；(2)数形数形结合；合；(3)坐坐标法法.规律方法索引训训练练2 已已知知a，b为非非零零向向量量，且且|a|ab|1，则|2ab|b|的的最最大大值为_.解析解析法一法一设a(1，0)，b(cos 1，sin)，且且|n|m|1，/索引热点三向量夹角的取值范围问题核心归纳核心归纳求求向向量量夹角角的的取取值范范围、最最值，往往往往要要将将夹角角与与其其某某个个三三角角函函
7、数数值用用某某个个变量量表示，表示，转化化为求函数的最求函数的最值问题，要注意，要注意变量之量之间的关系的关系.索引例例3 若若平平面面向向量量a，b，c满足足|c|2，ac2，bc6，ab2，则a，b夹角角的的取取值范范围是是_.解析解析设c(2，0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，设a，b的的夹角角为，ac2x12x11，bc2x26x23，所以所以a(1，y1)，b(3，y2)，索引索引本本题考考查向向量量夹角角取取值范范围的的计算算，解解题的的关关键就就是是将将向向量量的的坐坐标特特殊殊化化处理理，借助基本不等式来求解借助基本不等式来求解.规律方法索引索引/索引热点四向量系数的取
8、值范围问题核心归纳核心归纳此此类问题一一般般要要利利用用共共线向向量量定定理理或或平平面面向向量量基基本本定定理理寻找找系系数数之之间的的关关系系，然后利用函数的性然后利用函数的性质或基本不等式求解或基本不等式求解.索引解析解析如如图所示，所示，索引索引平平面面向向量量中中涉涉及及系系数数的的范范围问题时，要要注注意意利利用用向向量量的的模模、数数量量积、夹角角之之间的关系，通的关系，通过列不等式或等式得关于系数的关系式，从而求系数的取列不等式或等式得关于系数的关系式，从而求系数的取值范范围.规律方法索引解析解析A，B，C三点共三点共线，4即即(a1)e1e2x(be12e2)，e1，e2是平
9、面内两个不共是平面内两个不共线的向量，的向量，索引a0，b0.索引3高分训练 对接高考/索引12345678910 11 12 13 14 15 16C一、基本技能练索引12345678910 11 12 13 14 15 16C2.已知已知a(x，y)，b(x1，9)(x0，y0)，若，若ab，则xy的最小的最小值为()A.6 B.9 C.16 D.18解析解析a(x，y)，b(x1，9)(x0，y0)，ab，9xy(x1)0，x0，y0.索引12345678910 11 12 13 14 15 16D3.若若向向量量a(1，2x)，b(4，2x)，则向向量量a与与b的的夹角角为锐角角的的充
10、充要要条条件件是是()A.(2，2)B.(0，)C.(，2)(2，)D.(1，0)(0，1)解析解析因因为a(1，2x)，b(4，2x)且向量且向量a与与b的的夹角角为锐角，角，所以所以ab0且且a与与b不共不共线，解得解得1x1且且x0，所以所以x(1，0)(0，1)，故，故选D.索引12345678910 11 12 13 14 15 16C解析解析以以A点点为原点建立如原点建立如图所示的平面直角坐所示的平面直角坐标系，系，设P(x，y)(0 x3，0y3)，可，可得得A(0，0)，B(3，0)，索引12345678910 11 12 13 14 15 16C索引12345678910 1
11、1 12 13 14 15 16D索引12345678910 11 12 13 14 15 16B两两边平方，得平方，得a22abb212(ab)2，即即12(ab)22ab20，整理得整理得(2ab1)(3ab1)0，索引12345678910 11 12 13 14 15 16所以所以ab0，索引12345678910 11 12 13 14 15 16C索引12345678910 11 12 13 14 15 16解析解析如如图，取，取线段段AB的中点的中点M，连接接OM，A则OMAB，A，B是是圆x2y216上的两个上的两个动点，且点，且AOB120，则OM2，即，即M点的点的轨迹迹为
12、以原点以原点为圆心，以心，以2为半径的半径的圆，索引12345678910 11 12 13 14 15 16PMmind23，索引12345678910 11 12 13 14 15 16解析解析建立如建立如图所示的平面直角坐所示的平面直角坐标系，系，A索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引12345678910 11 12 13 14 15 16解析解析根据根据题意，意，设|ab|t，则|a|b|t，设a与与ab的的夹角角为，由由|ab|t，得得a22abb2t2，又又|a|b|，索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引12345678
13、910 11 12 13 14 15 16所以所以2ac0，cb0，解得解得bc2a，索引12345678910 11 12 13 14 15 16所以所以边a为最小的最小的边，故角，故角A为最小的角，最小的角，/索引12345678910 11 12 13 14 15 16二、创新拓展练A解解析析如如图，以以BC所所在在直直线为x轴，BC的的垂垂直直平平分分线DA为y轴，D为坐坐标原原点点建建立平面直角坐立平面直角坐标系，系，索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引12345678910 11 12 13 14 15 16B索引12345678910 11 12 1
14、3 14 15 16索引12345678910 11 12 13 14 15 16解析解析如如图，延，延长AO交交BC于于D，而而AO是定是定值，故，故OD最小，即最小，即ODBC时，k取最大取最大值.索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引12345678910 11 12 13 14 15 1616.已已知知a，b是是单位位向向量量，ab0，若若向向量量c满足足|cab|1，则|cb|的的取取值范范围是是_.解析解析由由a，b是是单位向量，且位向量，且ab0，则可可设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y).向量向量c满足足|cab|1，|(x1，y1)|1，即即(x1)2(y1)21，索引12345678910 11 12 13 14 15 16INNOVATIVE DESIGNTHANKS本节内容结束