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1、微专题37极值点偏移问题1.已知函数f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)c的两根的中点刚好满足x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时函数f(x)在xx0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示.若x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在xx0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)所示.2.设a，b0，ab，则，其中被称之为对数平均数，上述不等式称为对数均值不等式.类型一对称变换对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构
2、造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)f(x)f(2x0x)，若证x1x2x，则令F(x)f(x)f.(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性.(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0x)的大小关系.(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0x)的大小关系转化为x与2x0x之间的关系，进而得到所证或所求.例1 已知函数f(x)xex(xR).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1x2，且f(x1)f(x2)，求证：x1x22.(1)解由题知f(x)(1x)ex，则由f(x)1，由f(x)0，得x0时，F(x)0，
3、所以F(x)在(0，)上单调递增.又F(0)0，所以F(x)0，即f(1x)f(1x).因为x1x2，不妨设x1x2，由(1)知x11，所以f(x1)f(x2)f1(x21)f1(x21)f(2x2).因为x21，所以2x22x2，所以x1x22.训练1 已知函数f(x)xln xx，两相异正实数x1，x2满足f(x1)f(x2).求证：x1x22.证明f(x)ln x，当x(0，1)时，f(x)单调递减，当x1时，f(x)单调递增，且f(1)1，如图所示，不妨设x112，即证x22x1，只需要证f(2x1)f(x2)，又f(x1)f(x2)，所以只需证f(2x1)f(x1)，设g(x)f(x
4、)f(2x)(x(0，1)，则g(x)f(x)f(2x)ln xln(2x)，0x1，再设h(x)ln xln(2x)，0x0，h(x)在(0，1)上单调递增，h(x)g(1)0，f(x)f(2x)0，0xf(2x1)，x1x22.类型二消参减元含参函数问题可考虑先消去参数，其目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数.例2 已知函数f(x)ln xax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1x2e2.证明法一(消参转化成无参数问题)由题知f(x)0，则ln xax，即ln xaeln x.因为x1，x2是方程f(x)0的两个根，所以x1，x2也是方程ln xaeln x的
5、两个根，即ln x1，ln x2是方程xaex的两个根.设u1ln x1，u2ln x2，g(x)xex，即g(u1)g(u2)，从而由x1x2e2，可得ln x1ln x22，即u1u22，由本专题例1得证.法二(直接换元构造新函数)由题知a，则，设x11)，则x2tx1，所以t，即t，解得ln x1，ln x2ln tx1ln tln x1ln t.由x1x2e2，得ln x1ln x22，所以ln t2，所以ln t0，构造g(t)ln t，t1，g(t)0，所以g(t)在(1，)上单调递增.又g(1)0，所以g(t)g(1)0，即ln t，故x1x2e2.训练2 已知函数f(x)ln(
6、ax)ax22x，a0.设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，且x12.证明因为f(x)(x0)，f(x)有两个极值点x1，x2，所以x1，x2是方程ax22x10的两个不相等的正实数根，从而(2)24a0，a0，解得0a1.由ax22x10得a.因为0a且x1.令g(x)，x且x1，则g(x)，所以当x0，从而g(x)单调递增；当x1时，g(x)2，只要证x22x1，只要证明g(x2)g(2x1).因为g(x1)g(x2)，所以只要证g(x1)g(2x1).令F(x1)g(x1)g(2x1)，则F(x1)2(1x1).因为x10，即F(x1)在上单调递增，所以F(x1)F(1)0，即g(x
7、1)2x1，即x1x22.类型三比(差)值换元比(差)值换元就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的.一般用t表示两个极值点之比(差)，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题.例3 (2022郑州模拟改编)已知函数f(x)xln x的图象与直线ym交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2).求证：x1x20，得x，由f(x)0，得0x，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增.可设0x11，则x2tx1，代入上式得x1ln x1tx1(ln tln x1)，得ln x1.又x1x2ln x1ln x222ln x1ln t2l
8、n t0.设g(t)ln t(t1)，则g(t)0.当t1时，g(t)单调递增，g(t)g(1)0，ln t0.故x1x2.法二构造函数F(x)f(x)f，则F(x)f(x)f1ln x(1ln x)，当0x时，1ln x0，10，得F(x)在上单调递增，F(x)F0，f(x)f，将x1代入上式得f(x1)f，又f(x1)f(x2)，f(x2)，且f(x)在上单调递增，x2，x1x22.证明不妨设x12，只需证ln x1x22，只需证m(x1x2)2，即证ln 2.即证 ln 2，设t1，则只需证ln t，即证ln t0.记u(t)ln t(t1)，则u(t)0.所以u(t)在(1，)上单调递
9、增，所以u(t)u(1)0，所以原不等式成立，故ln x1ln x22.类型四对数均值不等式对数均值不等式可用对称化构造或比值换元进行证明，在解答题中，一般要先证明后应用.例4 (2022西安调研改编)已知f(x)aln x有两个零点x1，x2，且x1x2，求证：2x1x23ea11.证明函数f(x)定义域为(0，).aln x1ln x2，x1x2，由对数均值不等式知：，1，x1x222.令f(x)0，即ax1xln x0，设h(x)ax1xln x，x0，则h(x)a1ln x，其在(0，)上单调递减，且h(x)的零点为pea1，h(x)在(0，p)单调递增，在(p，)单调递减，且a1ln
10、 p0(*)x1p，ln x1ln p，a0，把(*)式代入上式得：x(3p1)x1p0；同理可得：x(3p1)x2p0，x(3p1)x2px(3p1)x1p，(x2x1)(x2x1)(3p1)(x2x1)，x1x2，x1x23ea11.综上所述，2x1x2x2，ln x1ax10，ln x2ax20，ln x1ln x2a(x1x2)，ln x1ln x2a(x1x2)，a，由对数均值不等式可得，ln x1ln x22，即ln(x1x2)2，故x1x2e2.一、基本技能练1.已知函数f(x)ln x，若x1x2，且f(x1)f(x2)，求证：x1x24.证明由题知f(x)，则f(x)在(0，
11、2)上为减函数，在(2，)上为增函数.由函数f(x)ln x的单调性可知，若f(x1)f(x2)，设x1x1，则必有0x122，则f(x1)f(4x1)ln x1ln(4x1).令h(x)ln xln(4x)(0x2)，则h(x)h(2)0，所以f(x1)f(4x1)0，则f(x1)f(4x1)，又f(x1)f(x2)，所以f(x2)f(4x1)，则x24x1，所以x1x24.2.已知函数f(x)，f(x1)f(x2)t(0x1x2，0t2x1x2.证明因为x2x10，依题意得两式相减得ln x1ln x2x1x2，由对数均值不等式得1，x1x21，且x1x22，故2，所以x1x22x1x2.
12、3.(2022杭州质检)已知函数f(x)xln xa有两个不同的零点x1，x2.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x1x2a1.(1)解函数f(x)xln xa，f(x)1，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)为增函数.故当x1时，函数f(x)xln xa取最小值f(1)1a，若函数f(x)xln xa有两个不同的零点x1，x2.则1a1.故实数a的取值范围为(1，).(2)证明由(1)可设0x11a1.即证x21ln x1，构造函数g(x)f(x)f(1ln x)，0x1，所以g(x)xln x(1ln x)ln(1ln x)x1ln(1ln x)，所以g(x)1，0x0，所以h(x)
13、单调递增，所以0h(x)h(1)1.所以g(x)g(1)0，即f(x)f(1ln x)，0x1，又0x11f(1ln x1).因为f(x)在区间(1，)上单调递增，所以x21ln x1，故原不等式得证.二、创新拓展练4.(2022贵阳模拟)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，求证：x1x20时，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.因为f(1)e，f(2)a，故在(1，)上有一个零点.取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故在(，1)上有一个零点，故f(x)存在两个零点.当a0时，由f(x)0，得x1或xln(2a).若a，则ln(2a)1，f(x)在(1，)上单调递增.当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点.若a1，所以f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增.当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，).(2)证明不妨设x1x2，由(1)知x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)上单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1，则g(x)(x1)(e2xex)，当x1时，g(x)1时，g(x)0，从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.