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1、INNOVATIVE DESIGN上篇板块三 立体几何与空间向量立体几何与空间向量微专题15空间角、距离的计算(几何法、向量法)真题演练 感悟高考热点聚焦 分类突破高分训练 对接高考索引以以空空间几几何何体体为载体体考考查空空间角角(以以线面面角角为主主)是是高高考考命命题的的重重点点，常常与与空空间线面面位位置置关关系系的的证明明相相结合合，热点点为空空间角角的的求求解解，常常以以解解答答题的的形形式式进行行考考查.高考注重利用向量方法解决空高考注重利用向量方法解决空间角角问题，但也可利用几何法来求解，但也可利用几何法来求解.索引1真题演练 感悟高考索引1.(2019全全国国卷卷)如如图，直
2、直四四棱棱柱柱ABCDA1B1C1D1的的底底面面是是菱菱形形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分分别是是BC，BB1，A1D的中点的中点.(1)证明：明：MN平面平面C1DE；证明证明连接接B1C，ME.因因为M，E分分别为BB1，BC的中点，的中点，索引由由题设知知A1B1綊DC，可得，可得B1C綊A1D，故故ME綊ND，因此四，因此四边形形MNDE为平行四平行四边形，所以形，所以MNED.又又MN 平面平面C1DE，ED 平面平面C1DE，所以所以MN平面平面C1DE.索引(2)求点求点C到平面到平面C1DE的距离的距离.解解过点点C作作C1E的垂的垂线，垂足，垂足为H.由已知可
3、得由已知可得DEBC，DEC1C，又又BCC1CC，BC，C1C 平面平面C1CE，所以所以DE平面平面C1CE，故故DECH.所以所以CH平面平面C1DE，故，故CH的的长即即为点点C到平面到平面C1DE的距离的距离.由已知可得由已知可得CE1，C1C4，索引(1)证明：明：BDPA；证证明明在在四四边形形ABCD中中，作作DEAB于于点点E，CFAB于于点点F，如，如图.因因为CDAB，ADCDCB1，AB2，所以四所以四边形形ABCD为等腰梯形，等腰梯形，索引所以所以AD2BD2AB2，所以所以ADBD.因因为PD平面平面ABCD，BD 平面平面ABCD，所以所以PDBD，又又PDADD
4、，PD，AD 平面平面PAD，所以所以BD平面平面PAD.又因又因为PA 平面平面PAD，所以所以BDPA.索引(2)求求PD与平面与平面PAB所成的角的正弦所成的角的正弦值.解解由由(1)知，知，DA，DB，DP两两垂直，两两垂直，如如图，以点，以点D为原点建立空原点建立空间直角坐直角坐标系，系，设平面平面PAB的一个法向量的一个法向量为n(x，y，z)，索引索引2热点聚焦 分类突破/索引核心归纳核心归纳热点一异面直线所成的角索引D 例例1(2021全全国国乙乙卷卷)在在正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，P为B1D1的的中中点点，则直直线PB与与AD1所成的角所成的角为()解解析析法
5、法一一如如图，连接接C1P，因因为ABCDA1B1C1D1是是正正方方体体，且且P为B1D1的的中中点，所以点，所以C1PB1D1，又又C1PBB1，B1D1BB1B1，B1D1，BB1 平面平面B1BP，所以所以C1P平面平面B1BP.又又BP 平面平面B1BP，所以有，所以有C1PBP.连接接BC1，则AD1BC1，索引所以所以PBC1为直直线PB与与AD1所成的角所成的角.设正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱长为2，索引设直直线PB与与AD1所成的角所成的角为，索引法法三三如如图，连接接BC1，A1B，A1P，PC1，则易易知知AD1BC1，所所以以直直线PB与与AD1所成的角
6、等于直所成的角等于直线PB与与BC1所成的角所成的角.由由P为正方形正方形A1B1C1D1的的对角角线B1D1的中点的中点，知知A1，P，C1三点共三点共线，且，且P为A1C1的中点的中点.易知易知A1BBC1A1C1，所以，所以A1BC1为等等边三角形三角形 ，索引(1)利利用用几几何何法法求求异异面面直直线所所成成的的角角时，通通过平平移移直直线所所得得的的角角不不一一定定就就是是两两异面直异面直线所成的角，也可能是其所成的角，也可能是其补角角.(2)用向量法用向量法时，也要注意向量，也要注意向量夹角与异面直角与异面直线所成角的范所成角的范围不同不同.易错提醒索引C训训练练1(1)(202
7、2湖湖北北部部分分学学校校质检)在在长方方体体ABCDA1B1C1D1中中，BB12AB2BC，P，Q分分别为B1C1，BC的的中中点点，则异异面面直直线AQ与与BP所所成成角角的的余余弦弦值是是()解析解析法一法一不妨不妨设AB2，则BC2，BB14，连接接A1P，A1B(图略略)，则A1PAQ，A1PB(或其或其补角角)为异面直异面直线AQ与与BP所成的角所成的角.索引法二法二如如图建立空建立空间直角坐直角坐标系，不妨系，不妨设AB2，则BC2，BB14.故故B(2，0，0)，P(2，1，4)，Q(2，1，0)，设直直线AQ与与BP所成的角所成的角为，索引CEBC(或其或其补角角)为异面直
8、异面直线AD与与BC所成的角所成的角.索引法二法二由由圆锥侧面展开面展开图为半半圆，易得，易得BC2，又，又BO1，索引/索引热点二直线与平面所成的角核心归纳核心归纳索引例例2(2022南南京京一一模模)如如图，在在三三棱棱柱柱ABCA1B1C1中中，AA113，AB8，BC6，ABBC，AB1B1C，D为AC的的中中点点，平平面面AB1C平面平面ABC.(1)求求证：B1D平面平面ABC；证明证明因因为AB1B1C，D为AC的中点，所以的中点，所以B1DAC.又又平平面面AB1C平平面面ABC，平平面面AB1C平平面面ABCAC，B1D 平平面面AB1C，所以所以B1D平面平面ABC.索引(
9、2)求直求直线C1D与平面与平面AB1C所成角的正弦所成角的正弦值.解解法法一一在在平平面面ABC内内，过点点D作作BC的的平平行行线，交交AB于于点点E，过点点D作作AB的的平平行行线，交，交BC于点于点F，连接接DE，DF，BD.由由(1)知知B1D平面平面ABC，所以所以B1DAC，B1DBD.因因为ABBC，所以所以DEDF，索引因因为AB8，BC6，ABBC，又又AA1BB113，ABBC，易得易得D(0，0，0)，A(3，4，0)，B(3，4，0)，C(3，4，0)，B1(0，0，12)，索引设平面平面AB1C的法向量的法向量为n(x1，y1，z1)，得得3x14y1，z10.不妨
10、取不妨取x14，则y13，得平面，得平面AB1C的一个法向量的一个法向量为n(4，3，0).设直直线C1D与平面与平面AB1C所成的角所成的角为，索引索引法法二二连接接BC1，交交B1C于于点点M，易易知知BMMC1，所所以以点点C1到到平平面面AB1C的的距距离离d和点和点B到平面到平面AB1C的距离相等的距离相等.过点点B作作BHAC，垂足，垂足为H.又平面又平面AB1C平面平面ABC，平面平面AB1C平面平面ABCAC，BH 平面平面ABC，所以所以BH平面平面AB1C，则BH为点点B到平面到平面AB1C的距离的距离.在在RtABC中，中，因因为AB8，BC6，ABBC，索引由由(1)知
11、知B1D平面平面ABC，又又BC 平面平面ABC，所以，所以B1DBC.又又B1C1BC，所以，所以B1DB1C1，则DB1C1为直角三角形直角三角形.连接接BD，则B1DBD.又又AA1BB113，所以，所以B1D12.索引规律方法索引(1)求求证：DO平面平面ABC；证明证明法一法一取取AB的中点的中点为F，连接接CF，OF(图略略)，因因为O，F分分别为AE，AB的中点，的中点，所以所以OFCD，且，且OFCD，所以四所以四边形形OFCD为平行四平行四边形，形，所以所以DOCF，又，又CF 平面平面ABC，DO 平面平面ABC，所以，所以DO平面平面ABC.索引法二法二取取BE的中点的中
12、点为G，连接接OG，DG(图略略)，则CDGB，且，且CDGB，所以四所以四边形形DGBC为平行四平行四边形形，所以，所以DGBC，又又BC 平面平面ABC，DG 平面平面ABC，所以，所以DG平面平面ABC.因因为O，G分分别为AE，BE的中点的中点，所以，所以OGAB，又又AB 平面平面ABC，OG 平面平面ABC，所以所以OG平面平面ABC，又又OGDGG，OG，DG 平面平面DOG，所以平面所以平面DOG平面平面ABC，又又DO 平面平面DOG，所以所以DO平面平面ABC.索引(2)求求DA与平面与平面ABC所成角的正弦所成角的正弦值.解解法一法一取取EB的中点的中点为G，连接接AG，
13、DG，易得，易得DG綊BC.所以所以AE2AB2BE2，所以所以ABAE，ABE为等腰直角三角形，所以等腰直角三角形，所以AGBE，AG1，所以所以AG2DG2AD2，所以，所以DGAG.又又BEAG，BEDGG，BE，DG 平面平面BCDE，所以，所以AG平面平面BCDE.记h为点点D到平面到平面ABC的距离，的距离，连接接BD，则VDABCVABCD，索引因因为BC 平面平面BCDE，所以，所以BCAG，又又CBBE，BEAGG，BE，AG 平面平面ABE，所以，所以BC平面平面ABE，又又AB 平面平面ABE，所以所以BCAB，索引设DA与平面与平面ABC所成的角所成的角为，索引法法二二
14、如如图，取取EB的的中中点点为G，连接接AG，OG，DG，由由(2)法法一一可可知知AGBE，ABAE，BC平面平面ABE，BCDG，所以，所以DG平面平面ABE.因因为AE 平面平面ABE，所以，所以BCAE，又又ABAE，BCABB，BC，AB 平面平面ABC，所以，所以AE平面平面ABC，索引设DA与平面与平面ABC所成角所成角为，/索引热点三二面角核心归纳核心归纳索引(1)证明：明：DB平面平面AEF；证明证明法一法一DA平面平面ABC，且，且BC 平面平面ABC，DABC.AC2BC2AB2，ACBC.DAACA，DA，AC 平面平面DAC，BC平面平面DAC，又，又AE 平面平面D
15、AC，BCAE.索引DAAC，E是是CD的中点，的中点，DCAE，又又BCDCC，BC，DC 平面平面DBC，AE平面平面DBC，又又DB 平面平面DBC，DBAE，又又EFDB，EFAEE，EF，AE 平面平面AEF，DB平面平面AEF.索引法二法二DA平面平面ABC，且，且BC 平面平面ABC，DABC.AC2BC2AB2，ACBC.DAACA，DA，AC 平面平面DAC，BC平面平面DAC，如如图，过点点A作作AGBC，则AG平面平面DAC.索引又又DBEF，且，且AEEFE，AE，EF 平面平面AEF，DB平面平面AEF.索引(2)(2)求二面角求二面角ADBC的大小的大小.解解法一法
16、一如如图，过点点A作作AGBC，由，由(1)知知BC平面平面DAC，AG平面平面DAC.则A(0，0，0)，C(1，0，0)，B(1，1，0)，D(0，0，1)，索引令令y11，则m(1，1，0).设平面平面DBC的法向量的法向量为n(x2，y2，z2)，索引二面角二面角ADBC的平面角的平面角为锐角，角，法二法二由由(1)得得DBAF，EFDB，AFE为二面角二面角ADBC的平面角的平面角.索引索引又又AFE(0，)，索引法三法三EFDB，由，由(1)得得DBAF，AFE为二面角二面角ADBC的平面角的平面角.DA平面平面ABC，DAAC，DAAB，又又ACDA1，E为CD的中点，的中点，索
17、引由由(1)知，知，AE平面平面DBC，EF 平面平面DBC，AEEF，索引(1)用用几几何何法法求求解解二二面面角角的的关关键是是：先先找找(或或作作)出出二二面面角角的的平平面面角角，再再在在三三角角形形中求解此角中求解此角.(2)利利用用向向量量法法的的依依据据是是两两个个半半平平面面的的法法向向量量所所成成的的角角和和二二面面角角的的平平面面角角相相等等或或互互补，在在求求二二面面角角的的大大小小时，一一定定要要判判断断出出二二面面角角的的平平面面角角是是锐角角还是是钝角角，否否则解法是不解法是不严谨的的.规律方法索引(1)求求证：BD平面平面PAC；可知可知ACBDBA，所以所以DB
18、CACB90，则ACBD.又又PA平面平面ABCD，BD 平面平面ABCD，所以，所以PABD，又又ACPAA，PA，AC 平面平面PAC，故，故BD平面平面PAC.索引法二法二由由题意意PA平面平面ABCD，即即BDAC，又又ACAPA，AC，AP 平面平面PAC，故，故BD平面平面PAC.索引法三法三由由题意意PA平面平面ABCD，设平面平面PAC的法向量的法向量为a(x，y，z)，索引索引(2)求二面角求二面角BPCD的余弦的余弦值.设平面平面PBC的法向量的法向量为n(x1，y1，z1)，索引所以所以y10，令，令x11，则z11，所以所以n(1，0，1).设平面平面PCD的法向量的法
19、向量为m(x2，y2，z2)，索引设二面角二面角BPCD的大小的大小为，/索引热点四距离问题核心归纳核心归纳1.空空间中点、中点、线、面距离的相互、面距离的相互转化关系化关系2.空空间距距离离的的求求解解方方法法有有：(1)作作垂垂线段段；(2)等等体体积法法；(3)等等价价转化化；(4)空空间向向量法量法.索引例例4 在在直直三三棱棱柱柱ABCA1B1C1中中，ABACAA12，BAC90，M为BB1的的中中点，点，N为BC的中点的中点.(1)求点求点M到直到直线AC1的距离；的距离；解解法一法一如如图，连接接AM，MC1，AC1，索引法法二二(1)建建立立如如图所所示示的的空空间直直角角坐
20、坐标系系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直，直线AC1的一个的一个单位方向向量位方向向量为索引(2)求点求点N到平面到平面MA1C1的距离的距离.设点点N到平面到平面MA1C1的距离的距离为h，索引法二法二设平面平面MA1C1的法向量的法向量为n(x，y，z)，索引(1)在在解解题过程程中中要要对“点点线距距离离”、“点点面面距距离离”、“线面面距距离离”与与“面面面面距离距离”进行适当行适当转化，从而把所求距离化，从而把所求距离转化化为点与点的距离点与点的距离进而解决而解决问题.(2)解决点解决点线距距问题注意注意应用等面用等面积法，解决点面距
21、法，解决点面距问题注意注意应用等体用等体积法法.规律方法索引C训训练练4 在在四四棱棱柱柱ABCDA1B1C1D1中中，A1A平平面面ABCD，AA13，底底面面是是边长为4的的菱菱形形，且且DAB60，ACBDO，A1C1B1D1O1，E是是O1A的的中中点点，则点点E到平面到平面O1BC的距离的距离为()解析解析法一法一如如图，连接接OO1，则OO1平面平面ABCD，OO1AA13，四四边形形ABCD是是边长为4的菱形，且的菱形，且DAB60，又又BC4，索引索引法二法二易得易得OO1平面平面ABCD，所以所以OO1OA，OO1OB.又又OAOB，所以建立如所以建立如图所示的空所示的空间直
22、角坐直角坐标系系Oxyz.因因为底面底面ABCD是是边长为4的菱形，的菱形，DAB60，设平面平面O1BC的法向量的法向量为n(x，y，z).索引设点点E到平面到平面O1BC的距离的距离为d.因因为E是是O1A的中点的中点，索引3高分训练 对接高考/索引1234一、基本技能练1.如如图，四四棱棱锥PABCD中中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和和PAD都是都是边长为2的等的等边三角形三角形.(1)证明：明：PBCD；证明证明取取BC的中点的中点E，连接接DE，则ABED为正方形正方形.过P作作PO平面平面ABCD，垂足，垂足为O.连接接OA，OB，OD，OE.由由PAB和和PAD都是等都
23、是等边三角形三角形知知PAPBPD，所以所以OAOBOD，索引1234即点即点O为正方形正方形ABED对角角线的交点，的交点，故故OEBD，从而，从而PBOE.因因为O是是BD的中点，的中点，E是是BC的中点，的中点，所以所以OECD.因此因此PBCD.索引1234(2)求点求点A到平面到平面PCD的距离的距离.解解取取PD的中点的中点F，连接接OF，则OFPB.由由(1)知，知，PBCD，故，故OFCD.故故POD为等腰三角形，因此等腰三角形，因此OFPD.又又PDCDD，所以，所以OF平面平面PCD.因因为AECD，CD 平面平面PCD，AE 平面平面PCD，所以，所以AE平面平面PCD.
24、索引1234索引1234(1)求直求直线AB与与DE所成角的余弦所成角的余弦值；所以所以B(1，0，0)，D(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2).因因为E为AC的中点，所以的中点，所以E(0，1，1)，索引1234索引1234索引1234取取x12，得，得y17，z15，所以所以n1(2，7，5).取取x22，得，得y21，z21，所以所以n2(2，1，1).索引1234索引12343.(2022广广州州调研研)如如图，在在三三棱棱锥PABC中中，BC平平面面PAC，ADBP，AB2，BC1，PD3BD3.(1)求求证：PAAC；由由BC平面平面PAC，AC，PC 平面平面PAC
25、，得得BCAC，BCPC.索引1234法二法二由由AB2，BD1，ADBP，因因为PB4，所以所以PB2AB2PA2，所以，所以PAAB.由由BC平面平面PAC，PA 平面平面PAC，得，得BCPA.又又BC，AB 平面平面ABC，BCABB，故，故PA平面平面ABC.因因为AC 平面平面ABC，所以，所以PAAC.索引1234法三法三由由AB2，BD1，ADBP，得，得ABP60.故故BMBABDBP，故，故DMPA，所以所以PAAB.由由BC平面平面PAC，PA 平面平面PAC，得得BCPA.又又BC，AB 平面平面ABC，BCABB，故故PA平面平面ABC.因因为AC 平面平面ABC，所
26、以，所以PAAC.索引1234(2)求二面角求二面角PACD的余弦的余弦值.解解法一法一如如图，过点点D作作DEBC交交PC于点于点E，因因为BC平面平面PAC，所以所以DE平面平面PAC.因因为AC 平面平面PAC，所以所以DEAC.过点点E作作EFAC交交AC于点于点F，连接接DF，又又DEEFE，所以所以AC平面平面DEF.索引1234因因为DF 平面平面DEF，所以所以ACDF.则DFE为二面角二面角PACD的平面角的平面角.索引1234由由图可判断二面角可判断二面角PACD为锐二面角，二面角，法法二二如如图，作作AQCB，以以AQ，AC，AP所所在在直直线分分别为x，y，z轴，建立空
27、，建立空间直角坐直角坐标系系.因因为AB2，BC1，BD1，BP4，索引1234设平面平面ACD的法向量的法向量为n(x，y，z)，索引1234由由图知二面角知二面角PACD为锐二面角，二面角，/索引12344.如如图，三三棱棱柱柱ABCA1B1C1中中，侧面面BCC1B1为矩矩形形，若若平平面面BCC1B1平面平面ABB1A1，平面，平面BCC1B1平面平面ABC1.二、创新拓展练(1)求求证：ABBB1；证明证明四四边形形BCC1B1是矩形，是矩形，图1BCBB1，又，又平面平面ABB1A1平面平面BCC1B1，平面平面ABB1A1平面平面BCC1B1BB1，BC 平面平面BCC1B1，B
28、C平面平面ABB1A1，又又AB 平面平面ABB1A1，ABBC.如如图1，过C作作COBC1，索引1234平面平面BCC1B1平面平面ABC1，平面平面BCC1B1平面平面ABC1BC1，CO 平面平面BCC1B1，CO平面平面ABC1，又又AB 平面平面ABC1，ABCO，又又ABBC，COBCC，CO，BC 平面平面BCC1B1，AB平面平面BCC1B1，又又BB1 平面平面BCC1B1，ABBB1.索引1234(2)记平平面面ABC1与与平平面面A1B1C1的的夹角角为，直直线AC1与与平平面面BCC1B1所所成成的的角角为，异异面面直直线AC1与与BC所所成成的的角角为，当当，满足足
29、：cos cos m(0m1，m为常数常数)时，求，求sin 的的值.解解由由题意知意知ABA1B1，又又AB平面平面BCC1B1，A1B1平面平面BCC1B1.以以B1为原原点点，B1A1，B1B，B1C1所所在在直直线分分别为x，y，z轴建建立空立空间直角坐直角坐标系，如系，如图2，图2不妨不妨设B1A1a，B1Bb，B1C1c，索引1234则B1(0，0，0)，A1(a，0，0)，B(0，b，0)，C1(0，0，c)，A(a，b，0)，x10，令，令y1c，则z1b，n1(0，c，b).取平面取平面A1B1C1的一个法向量的一个法向量n(0，1，0)，由由图知，知，为锐角，角，索引1234取平面取平面BCC1B1的一个法的一个法向量向量n2(1，0，0)，索引1234cos cos cos.INNOVATIVE DESIGNTHANKS本节内容结束