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1、INNOVATIVE DESIGN上篇板块二 数列数列微专题11数列中的最值、范围及奇偶项问题题型聚焦 分类突破高分训练 对接高考索引1.数数列列中中的的最最值、范范围问题的的常常见类型型有有：(1)求求数数列列和和式式的的最最值、范范围；(2)满足数列的特定条件的足数列的特定条件的n的最的最值与范与范围；(3)求数列不等式中参数的取求数列不等式中参数的取值范范围.2.数列中的奇、偶数列中的奇、偶项问题的常的常见题型型(1)数列中数列中连续两两项和或和或积的的问题(anan1f(n)或或anan1f(n)；(2)含有含有(1)n的的类型；型；(3)含有含有a2n，a2n1的的类型；型；(4)已
2、知条件明确奇偶已知条件明确奇偶项问题.索引1题型聚焦 分类突破/索引核心归纳核心归纳类型一求数列和式的最值、范围索引例例1 已已知知等等差差数数列列an的的前前n项和和为Sn(nN*)，且且a1a6a4，S69，数数列列bn满足足b12，bnbn12n1(n2，nN*).(1)求数列求数列an和和bn的通的通项公式；公式；解解由由S63(a1a6)3(a3a4)3a49，得，得a43，a30，故数列故数列an的公差的公差d3，ana3(n3)d3n9，即数列即数列an的通的通项公式公式为an3n9(nN*).当当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2222n，而
3、而b12，故，故bn2n，即数列即数列bn的通的通项公式公式为bn2n(nN*).索引(2)求数列求数列anbn的前的前n项和和Tn，并求，并求Tn的最小的最小值.解解Tn62322(3n12)2n1(3n9)2n，2Tn622323(3n12)2n(3n9)2n1.上述两式相减得上述两式相减得故故Tn(3n12)2n124(nN*).设cn(3n12)2n1，显然当然当n4时，cn0，Tn24且且单调递增增.而而c136，c248，c348，故，故Tn的最小的最小值为T2T324.索引所以所以2Sn1(n1)22an1(n1)(n1)，得，得2an12n12an1(n1)2ann1，化化简得
4、得an1an1，所以数列所以数列an是公差是公差为1的等差数列的等差数列.索引(2)若若a4，a7，a9成等比数列，求成等比数列，求Sn的最小的最小值.解解由由(1)知数列知数列an的公差的公差为1.(a16)2(a13)(a18)，解得解得a112.所以当所以当n12或或13时，Sn取得最小取得最小值，最小，最小值为78./索引类型二求n的最值或范围求求n的最的最值或范或范围一般一般转化化为解关于解关于n的不等式的不等式问题.核心归纳核心归纳索引解解设数列数列an的公差的公差为d，bn的公比的公比为q(q0)，因因为bn是公比大于是公比大于0的等比数列的等比数列，且，且b11，b3b22，所
5、以所以q2q2，解得，解得q2，所以，所以bn2n1.若存在若存在k，使得，使得对任意的任意的nN*，都有，都有ckcn，则cn存在最小存在最小值.索引若若选，解答，解答过程如下程如下.因因为nN*，所以所以n2n2，所以所以cn不存在最小不存在最小值，即不存在即不存在满足足题意的意的k.索引若若选，解答，解答过程如下程如下.因因为当当n20时，cn0，当当n21时，cn0，an12an0，索引S2n22n1.9(22n1)802n，即即(92n1)(2n9)0，2n90，又，又nN*，正整数正整数n的最小的最小值为4./索引类型三求数列不等式中参数的取值范围核心归纳核心归纳此此类问题以以数数
6、列列为载体体，一一般般涉涉及及数数列列的的求求和和，不不等等式式的的恒恒成成立立问题，可可转化化为求函数的最求函数的最值问题.索引例例3(2022河河南南校校际联合合考考试)我我国国南南宋宋时期期的的数数学学家家杨辉，在在他他1261年年所所著著的的详解解九九章章算算法法一一书中中，用用如如图的的三三角角形形解解释二二项和和的的乘乘方方规律律，此此图称称为“杨辉三三角角”.”.在在此此图中中，从从第第三三行行开开始始，首首尾尾两两数数为1，其其他他各各数数均均为它它肩肩上上两数之和两数之和.(1)把把“杨辉三三角角”中中第第三三斜斜列列的的各各数数取取出出，按按原原来来的的顺序序排排列列得得一
7、一数数列列：1，3，6，10，15，写写出出an与与an1(nN*，n2)的的递推推关关系系，并并求出数列求出数列an的通的通项公式；公式；索引解解由由题意可知意可知a11，n2时，anan1n，索引索引索引索引训训练练3(2022浙浙江江“山山水水联盟盟”联考考)已已知知数数列列an的的前前n项和和为Sn，2Sn(2n1)an2n2(nN*)，数列，数列bn满足足b1a1，nbn1anbn.(1)求数列求数列an和和bn的通的通项公式；公式；解解当当n1时，2a13a12，a12.当当n2时，得得2an(2n1)an(2n1)an12n22(n1)2，即即anan12，索引数列数列an是公差
8、是公差为2的等差数列，的等差数列，a12，an2n.由条件得由条件得b12，nbn12nbn，bn12bn，即数列即数列bn是公比是公比为2的等比数列，的等比数列，bn2n.索引索引索引f(1)f(2)f(8)，/索引类型四数列中的奇、偶项问题核心归纳核心归纳对于于通通项公公式式分分奇奇、偶偶项有有不不同同表表达达式式的的数数列列an求求Sn时，我我们可可以以分分别求求出出奇奇数数项的的和和与与偶偶数数项的的和和，也也可可以以把把a2k1a2k看看作作一一项，求求出出S2k，再再求求S2k1S2ka2k.索引例例4 已知数列已知数列an满足足an1an4n3(nN*).(1)若数列若数列an是
9、等差数列，求是等差数列，求a1的的值；解解若数列若数列an是等差数列，是等差数列，则ana1(n1)d，an1a1nd.由由an1an4n3，得得a1nda1(n1)d4n3，即即2d4，2a1d3，索引(2)当当a12时，求数列，求数列an的前的前n项和和Sn.解解法一法一由由an1an4n3(nN*)，得得an2an14n1(nN*).两式相减，得两式相减，得an2an4，由由a2a11，a12，得得a21，所所以以数数列列a2n1是是首首项为a12，公公差差为4的的等等差差数数列列，数数列列a2n是是首首项为a21，公差，公差为4的等差数列，的等差数列，索引当当n为奇数奇数时，an2n，
10、an12n7.当当n为偶数偶数时，an2n5，an12n2，索引法二法二由于由于an1an4n3，索引索引索引(2)求数列求数列an的前的前n项和和Sn.索引索引2高分训练 对接高考/索引1234 一、基本技能练证明证明由由题意知，意知，f(x)的定的定义域关于原点域关于原点对称称.令令xy0，则f(0)f(0)f(0)，所以，所以f(0)0.令令x0，则f(0)f(y)f(y)，所以，所以f(x)f(x).因此因此f(x)在在(1，1)上上为奇函数奇函数.索引1234(2)求求f(an)的表达式；的表达式；所以所以f(an)f(a1)2n12n1，nN*.索引1234解解由由题意知意知bn2
11、1n2，因因为23n的最大的最大值为4，所以，所以m的最小的最小值为5.索引12342.(2022南南京京三三模模)已已知知等等差差数数列列an满足足：a13，a3，a4成成等等差差数数列列，且且a1，a3，a8成等比数列成等比数列.(1)求数列求数列an的通的通项公式；公式；解解设等差数列等差数列an的公差的公差为d，由由题意知意知a13a42a3，即即2a133d2a14d，解得，解得d3，即即a1(a173)(a123)2，解得解得a14，故，故an3n1.索引1234(2)在在任任意意相相邻两两项ak与与ak1(k1，2，)之之间插插入入2k个个2，使使它它们与与原原数数列列的的项构构
12、成成一一个个新新的的数数列列bn，记Sn为数数列列bn的的前前n项和和，求求满足足Sn0，所所以以Sn是是单调递增增数数列列，又又因因为ak1前前的的所所有有项的的项数数为k21222kk2k12，索引1234当当k6时，S132321500，令令S132a72(n133)500，即即321222(n133)500，解得解得n211.5，所以所以满足足Sn500的的n的最大的最大值为211.索引12343.已知等差数列已知等差数列an的公差的公差为2，前，前n项和和为Sn，且，且S1，S2，S4成等比数列成等比数列.(1)求数列求数列an的通的通项公式；公式；解解等差数列等差数列an的公差的公差为2，前，前n项和和为Sn，且，且S1，S2，S4成等比数列，成等比数列，Snna1n(n1)，(2a12)2a1(4a112)，解得解得a11，an2n1.索引1234索引1234/索引1234解解设等比数列等比数列an的公比的公比为q，因因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，成等差数列，所以所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即，即4a5a3，二、创新拓展练索引1234故等比数列故等比数列an的通的通项公式公式为索引1234索引1234INNOVATIVE DESIGNTHANKS本节内容结束