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1、14T22三角函数篇第一讲：三角函数中的范围与最值第一讲：三角函数中的范围与最值一、三角函数 f(x)=Asin(x+)中 的大小及取值范围1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即 k T2(k Z Z)；2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即 k T2(k Z Z)；3、任意对称轴与对称中心之间的距离为 周期加半周期的整数倍，即 4+k T2(k Z Z)；4、f(x)=Asin(x+)在区间(a,b)内单调 b-a T2 且 k-2 a+b+k+(k Z Z)5、f(x)=Asin(x+)在区间(a,b)内不单调(a,b)内至少有一条对称轴，a+k+b+(k Z Z)6
2、、f(x)=Asin(x+)在区间(a,b)内没有零点 b-a T2 且 k a+b+(k+1)(k Z Z)7、f(x)=Asin(x+)在区间(a,b)内有 n个零点(k-1)a+k(k+n-1)0sin x+6,-x0 ，若2f2(x)-3f(x)+1=0恰有6个不同实数解，正实数的范围为()A103,4B103,4C 2,103D 2,103例2 2设函数 f x=2lnxx,x0sin x+6,-x0 若y=f(x)-12恰有5个不同零点，则正实数的范围为()22024高考满分突破训练1-三角函数中的范围问题A103,4B103,4C 2,103D 2,103例3 3已知函数 f x
3、=sin x+40，则下述结论中错误的是()A若 f x在 0,2有且仅有4个零点，则 f x在 0,2有且仅有2个极小值点B若 f x在 0,2有且仅有4个零点，则 f x在 0,215上单调递增C若 f x在 0,2有且仅有4个零点，则的范围是158,198D若 f x图像关于x=4对称，且在18,536单调，则的最大值为9例4 4在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，2asinA-bsinB=3csinC，若S表示ABC的面积，则Sb2的最大值为()A74B106C2 33D52例5 5在ABC中，点D在AC上，CDB=23，AD=2CD=4，则BCBA的最大值为()A3-1
4、2B3+12C3-1D2-1例6 6已知ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点(靠近点A)且CD=1，a-bsinA=c+bsinC-sinB，则a+3b的最大值是()A832B8 33C2 3D4 3例7 7已知三角形ABC中，BC=3，角A的平分线交BC于点D，若BDDC=12，则三角形ABC面积的最大值为()A1B2C3D4例8 8如图，在ABC中，BAC=23，点P在边BC上，且APAB,AP=2(1)若PC=13，求PB(2)求ABC面积的最小值不勤于始，将悔于终3(1)若A=3，求C；(2)若b2a2+c2，且c=2，求2a2+b2的最小值例1010记
5、ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2acosAcosB-bcos2A AB(1)求A；(2)若D是BC上的一点，且BD:DC=1:2,AD=2，求a的最小值例9 9记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sin2B=cosA+cosA+2B4【过关测试】【过关测试】一、单选题1已知函数 f x=2sin x+60在区间 0,上恰有两个最大值，则实数的取值范围是()A73,133B73,133C73,133D73,1332如图，四边形ABCD中3AB=2CD，ACBD=O，若AC+2DO=4AB，且BA BD=9，则ACD面积的最大值为()A3 2B2 6C4 3D
6、6 33设函数 f(x)=sin(x+)0,2若x=-3为函数 f x的零点，x=3为函数f x的图象的对称轴，且 f x在区间10,2上有且只有一个极大值点，则的最大值为()A334B394C607D124在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c-b=2bcosA，则下列4个结论中正确的有()个.B=2A；B的取值范围为 0,4；ab的取值范围为2,3；1tanB-1tanA+2sinA的最小值为2 2A0个 B1个 C2个 D3个5已知函数 f x=sin x+，00),f x在区间 0,3上的最小值恰为-，则所有满足条件的的积属于区间()A 1,4B 4,7C 7,13
7、D 13,+二、多选题7在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，则下列说法中正确的有()A若a=6,A=3，则ABC面积的最大值为9 32不勤于始，将悔于终5B若a=6,b+c=8，则ABC面积的最大值为3 7C若角A的内角平分线交BC于点D，且BDDC=12,a=3，则ABC面积的最大值为3D若AB=BC,M为BC的中点，且AM=2，则ABC面积的最大值为838函数 f x=cos x+40，则以下说法正确的有()A若=3，则 f x在 0,内恰有3个零点B若=2，则 f x在 0,内恰有3个极值点C若 f x在 0,23内有最小值点，则98D若 f x在区间3,2单调，则 0,3
8、294,72214,112三、填空题9已知函数 f x=sin x+0，2，下述五个结论：若=5，且 f x在 0,2有且仅有5个零点，则 f x在 0,2有且仅有3个极大值点；若=4，且 f x在 0,2有且仅有4个零点，则 f x在 0,2有且仅有3个极小值点；若=5，且 f x在 0,2有且仅有5个零点，则 f x在 0,10上单调递增；若=4，且 f x在 0,2有且仅有4个零点，则的范围是158,198；若 f x的图象关于x=4对称，x=-4为它的一个零点，且在18,536上单调，则的最大值为11.其中所有正确结论的编号是.10已知 f(x)=3sinx-2cos2x2在区间-3,
9、23恰有三个零点，则的范围为.11如图，点P为BAC内一点，PA=1，BAP=30，CAP=45，过点P作直线分别交射线AB，AC于D，E两点，则1PD+1PE的最大值为12四边形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=2，BE=12EC，则AED面积最大值为.不勤于始，将悔于终613已知函数 f x=sinx+cosx(0)满足 f8=f58.若 f x在8,58上恰好有一个最小值和一个最大值，则=；若 f x在8,58上恰好有两个零点，则的取值范围是.16在ABC中，AB=3，C=3，当BC+3AC取最大值时，AC=17在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，满足ab=2，9sin2
10、A-B+cos2C=1，则3a2-c2=，ABC的面积最大值为18ABC的外心为O，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，AO BC=12a a-85c，b=4，则ABC面积的最大值是19已知函数 f x=6cos x+0,00，且x1，x2是函数 f(x)=ab-12的两个零点，|x1-x2|min=，若函数g x=f x+12在区间 m,n(m,nR,m0sin x+6,-x0 ，若2f2(x)-3f(x)+1=0恰有6个不同实数解，正实数的范围为()A103,4B103,4C 2,103D 2,103【答案】D【解析】由题知2f2x-3f x+1=0的实数解可转化为 f(x)=12
11、或 f(x)=1的实数解，即y=f(x)与y=1或y=12的交点，当x0时，f x=2lnxx f(x)=2 1-lnxx2所以x 0,e时，f(x)0，f x单调递增，x e,+时，f(x)0，f x单调递减，如图所示：所以x=e时 f x有最大值：12 f(x)max=2e0时，由图可知y=f(x)与y=1无交点，即方程 f(x)=1无解，y=f(x)与y=12有两个不同交点，即方程 f(x)=12有2解当x0，-x0，所以-+6x+66，令t=x+6，则t-+6,6,则有y=sint且t-+6,6，如图所示：因为x0时，已有两个交点，所以只需保证y=sint与y=12及与y=1有四个交点
12、即可，所以只需-196-+6-116，解得20sin x+6,-x0 若y=f(x)-12恰有5个不同零点，则正实数的范围为()A103,4B103,4C 2,103D 2,103【答案】D【解析】由题知，y=f(x)-12零点的个数可转化为y=f x与y=12交点的个数，当x0时，f x=2lnxx f(x)=2 1-lnxx2所以x 0,e时，f(x)0，f x单调递增，x e,+时，f(x)12所以x0时，由图可知必有两个交点；当x0时，因为0，-x0，所以-+6x+66，令t=x+6，则t-+6,6,则有 f x=sint且t-+6,6，如图所示：因为x0时，已有两个交点，所以只需保证
13、 f x=sint与y=12有三个交点即可，所以只需-196-+6-116，解得20，则下述结论中错误的是()A若 f x在 0,2有且仅有4个零点，则 f x在 0,2有且仅有2个极小值点B若 f x在 0,2有且仅有4个零点，则 f x在 0,215上单调递增C若 f x在 0,2有且仅有4个零点，则的范围是158,198D若 f x图像关于x=4对称，且在18,536单调，则的最大值为9【答案】B【解析】利用正弦函数的图象和性质对每一个选项逐一分析判断得解.因为0 x2,0wx2w,4wx+42w+4,kZ,因为 f x在 0,2有且仅有4个零点，所以 4不勤于始，将悔于终812w+45
14、，所以158w198.所以选项C正确；此时，f x在 0,2有且仅有 2个极小值点，故选项A正确；因为0 x215,0wx215w,4wx+4215w+4，因为158w198，所以当w=2时，所以4wx+40，由CDB=23，得ADB=3，在BCD中，BC2=BD2+CD2-2BDCDcosCDB=t2+4+2t，在ABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosADB=t2+16-4t，则BC2BA2=t2+4+2tt2+16-4t=1+6t-12t2-4t+16，令 f(x)=1+6x-12x2-4x+16,x0，则 f(x)=-6 x2-4x-8x2-4x+162，由 f(x)0，解得
15、0 x2+2 3，由 f(x)2+2 3，因此 f(x)在(0,2+2 3)上单调递增，在(2+2 3,+)上单调递减，即当x=2+2 3 时，f(x)取得最大值，因此当t=2+2 3 时，BC2BA2取得最大值为1+6 2+2 3-122+2 32-4 2+2 3+16=3+22，所以ACAB的最大值为3+22=2 3+44=3+124=3+12.故选：B.例6 6已知ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点(靠近点A)且CD=1，a-bsinA=c+bsinC-sinB，则a+3b的最大值是()A832B8 33C2 3D4 3【答案】B【解析】因为 a-bsi
16、nA=c+bsinC-sinB，由正弦定理得a a-b=c+bc-b，可得a2-ab=c2-b2，即a2+b2-c2=ab，所以cosACB=a2+b2-c22ab=12，ACB 0,，则ACB=3，设ACD=，则BCD=3-，且03，在ACD中，ADsin=CDsinA且CD=1，则ADsinA=sin，不勤于始，将悔于终83在BCD中，由BDsin3-=CDsinB，则BDsinB=sin3-由BD=3AD=3c4，即c4sinA+3sinB=sin+sin3-，又由正弦定理知c=2RsinACB=3R(R为ABC的外接圆半径)，所以3R4sinA+3sinB=sin+32cos-12si
17、n=12sin+32cos=sin+3，则382RsinA+6RsinB=sin+3，即a+3b=83sin+3，又因为3+30又02A-B，则C=2A-B或C+2A-B=，若C=2A-B，则A=3；若C+2A-B=，则A=2B，又AB，不符合，舍去，综上A=3.(2)2BD=DC,AD=2AB+AC 3,(AD)2=2AB+AC 32b2+4c2+2bc=36，又a2=b2+c2-bc，得：36a2=4c2+b2+2bcb2+c2-bc=4cb2+2cb+1cb2-cb+1令cb=x，又AB,ab,a2b2,b2+c2-bcb2，cb,0cb=x1，令 f x=4x2+2x+1x2-x+1(
18、0 x1),f x=4+6x-3x2-x+1令6x-3=t,x=t+36，令g t=f x=4+36tt2+27(-3t3)，当t=0时g t=4，当t0时g t=4+36t+27t(-3t3)，由对勾函数性质可得当0t3时，y=t+27t为减函数，故t+27t3+273=12，不勤于始，将悔于终公众号：墨尘的86同理当t0时t+27t-12，10在区间 0,上恰有两个最大值，则实数的取值范围是()A73,133B73,133C73,133D73,133【答案】D【解析】因为x 0,，则x+66,+6，所以由题意得：52+692，解得730,2若x=-3为函数 f x的零点，x=3为函数不勤于
19、始，将悔于终87f x的图象的对称轴，且 f x在区间10,2上有且只有一个极大值点，则的最大值为()A334B394C607D12【答案】A【解析】由已知得-3+=k13+=k2+2，k1,k2Z，则=3 2k+14=k2+4,(k,kZ)，其中k=k2-k1,k=k1+k2=2k2-k，因为 2，当k=-1时，=-4,k=2k2+1,k2Z当k=0时，=4,k=2k2,k2Z，因为 f x在区间10,2上有且只有一个极大值点，所以2-10=252T=4，解得010，即03 2k+1410，所以-12k376，当k=6时，=394,=4，此时394x+44940,418，此时有两个极大值点，
20、舍去；当k=5时，=334,=-4，此时334x-42340,318，此时有一个极大值点，成立；所以的最大值为334.故选：A.4在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c-b=2bcosA，则下列4个结论中正确的有()个.B=2A；B的取值范围为 0,4；ab的取值范围为2,3；1tanB-1tanA+2sinA的最小值为2 2A0个 B1个 C2个 D3个【答案】B【解析】在ABC中，由正弦定理可将式子c-b=2bcosA化为sinC-sinB=2sinBcosA，又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入上式得sinAcosB-cosAsinB
21、=sinB，即sin(A-B)=sinB，因为0A,B0，故0A-B，所以A-B=B或A-B+B=，即A=2B或A=(舍去)，所以A=2B，故A错误；选项B：因为ABC为锐角三角形，A=2B，所以C=-3B，由0B202B20-3B2解得B6,4，故B错误；不勤于始，将悔于终88选项C：ab=sinAsinB=sin2BsinB=2cosB，因为B6,4，所以cosB22,32，2cosB2,3，即ab的取值范围为(2,3)，故C正确；选项D：1tanB-1tanA+2sinA=cosBsinB-cosAsinA+2sinA=sin(A-B)sinAsinB+2sinA=1sinA+2sinA
22、21sinA2sinA=2 2，当且仅当1sinA=2sinA，即sinA=22时取等号，但因为B6,4，所以A=2B3,2，sinA32,1，无法取到等号，故D错误.5已知函数 f x=sin x+，0，若函数 f x在 0,34上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是()A 0,2B8,2C2,34D8,34【答案】D【解析】若0 x34，则x+34+，又因为0，函数 f x在 0,34上存在最大值，但不存在最小值，所以当34+，即4时，只需满足34+32，此时434，当34+，即4时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则2-34+-2，此时84，综上，80),f x在区间 0,3
23、上的最小值恰为-，则所有满足条件的的积属于区间()A 1,4B 4,7C 7,13D 13,+【答案】C【解析】当x 0,3时x-12-12,3-12，因为此时 f x的最小值为-2，即74.若3-12，此时 f x能取到最小值-4，即-=-4=4，代入可得34-12，满足要求；若 f x取不到最小值-4，则需满足3-12，即0，则以下说法正确的有()不勤于始，将悔于终90A若=3，则 f x在 0,内恰有3个零点B若=2，则 f x在 0,内恰有3个极值点C若 f x在 0,23内有最小值点，则98D若 f x在区间3,2单调，则 0,3294,72214,112【答案】ACD【解析】对于A
24、，当=3时，f x=cos 3x+4，其零点满足3x+4=2+k kZ Z，故x=12+k3kZ Z，故x,-312,12,512,912,1312,，其中在区间 0,内恰有3个，故A正确；对于B，当=2时，f x=cos 2x+4，其极值点满足2x+4=k kZ Z，故x=-8+k2kZ Z，故x,-8,38,78,118,，其中在区间 0,内只有2个，故B错误；对于C，f x的最小值点满足x+4=+2k kZ Z，解得x=3+8k4kZ Z，因为x 0,23，则最小值为34，令3423，得98，故C正确；对于D，f x的极值点满足x+4=k kZ Z，即x=4k-14kZ Z，若 f x在
25、3,2单调，需(4k-1)43(4k+3)42(kZ)(*)，由3 4k-142 4k+34kZ Z得12k-38k+6 kZ Z，即k94kZ Z，当k=2时，解得214112；当k=1时，解得9472；当k=0，解(*)得-3432，又0，故032；当k0，2，下述五个结论：若=5，且 f x在0,2有且仅有5个零点，则 f x在 0,2有且仅有3个极大值点；若=4，且 f x在0,2有且仅有4个零点，则 f x在 0,2有且仅有3个极小值点；若=5，且 f x在0,2有且仅有5个零点，则 f x在 0,10上单调递增；若=4，且 f x在 0,2有且仅有4个零点，则的范围是158,198
26、；若 f x的图象关于x=4对称，x=-4为它的一个零点，且在18,536上单调，则的最大值为11.其中所有正确结论的编号是.不勤于始，将悔于终91【答案】【解析】画出 f(x)的大致图象，即可判断；对于，由题可得1252910，当x 0，10时，5x+510+5，所以10+5491002，故判断；对于，由42+45得范围，故可判断；对于，由题知T=22k+1(kZ)，又 f(x)在18，536上单调，所以T6，k112，将k=5，k=4代入验证即可.若=5，f(x)在0，2上有5个零点，可画出大致图象，由图3可知，f(x)在(0，2)有且仅有3个极大值点，故正确；若=4，且 f(x)在0，2
27、有且仅有4个零点，同样由图可知 f(x)在0，2有且仅有2个极小值点，故错误；若=5，由 f(x)在0，2上有5个零点，得2452295，即1252910，当x0，10时，5x+510+5，所以10+5491002，所以 f(x)在 0，10上单调递增，故正确；若=4，因为0 x2，0 x2，4x+42+4，因为 f(x)在0，2有且仅有4个零点，所以42+45，所以1580，x-6-3-6，23-656+2 k-1-3-66+2k，6+2 k+123-656+2 k+1，无解；或6+2k-3-656+2k，56+2 k+123-66+2 k+2，-6k-3-6k-13k+920)满足 f8=
28、f58.若 f x在8,58上恰好有一个最小值和一个最大值，则=；若 f x在8,58上恰好有两个零点，则的取值范围是.【答案】4103,4,6 【解析】因为 f x=sinx+cosx=2sin x+4，设 f x的最小值正周期为T0，若 f x在8,58上恰好有一个最小值和一个最大值，且 f8=f58，则T=58-8=2，所以=2T=4；若 f x在8,58上恰好有两个零点，则T258-8=23T258-8=2，解得3T，即320，可得26，因为x8,58，则x+48+4,58+4，且28+4,3258+44，且 f8=f58，可得-8+4=58+4-2258+452 或-8+4=3-58
29、+45258+40，cos0，A 0,23，当A+=2+2k(kZ)时a+3b取最大值2 13，C=3，cosC=a2+b2-c22ab=12，a+3b=2 13a2+b2-32ab=12，b1=b2=7 1313，即AC=7 1313.17在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，满足ab=2，9sin2A-B+cos2C=1，则3a2-c2=，ABC的面积最大值为【答案】123【解析】由9sin2(A-B)+cos2C=1可得9sin2(A-B)=1-cos2C=sin2C，由ab，则AB，A-B0，因为A,B 0,，所以A-B-,，故A-B 0,，又C 0,，sinC0,sin(A
30、-B)0，则sinC=3sin(A-B)，因为A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC，则sin(A+B)=3sin(A-B)，即sinAcosB+cosAsinB=3sinAcosB-3cosAsinB，故sinAcosB=2cosAsinB，由正弦定理得acosB=2bcosA，由余弦定理得aa2+c2-b22ac=2bb2+c2-a22bc，则a2+c2-b2=2b2+2c2-2a2，则3a2-c2=3b2=12；因为cosA=b2+c2-a22bc=4+c2-4-c234c=c6，则sinA=1-c236，则SABC=12bcsinA=16c236-c216c2+36-c222=3
31、，当且仅当c2=36-c2，即c=3 2 时取得等号故3a2-c2=3b2=12，面积最大值为318ABC的外心为O，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，AO BC=12a a-85c，b=4，则ABC面积的最大值是【答案】12【解析】取BC边的中点M，连接OM、AM，O为ABC外心，OMBC，即MO BC=0，不勤于始，将悔于终95M为BC边的中点，AM为BC边的中线，AM=12AB+AC，AO BC=AM+MO BC=AM BC+MO BC=AM BC=12AB+AC BC=12AB+AC AC-AB=12AC 2-AB 2=12b2-c2，又AO BC=12a a-85c，12b
32、2-c2=12a a-85c，整理得a2+c2-b2=85ac，由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=45，sinB=35，又b=4，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，即16=a2+c2-85ac，由基本不等式16=a2+c2-85ac2ac-85ac=25ac，即ac40，当且仅当a=c=2 10时，等号成立，ABC的面积SABC=12acsinB124035=12，即当且仅当a=c=2 10 时，ABC面积的最大值为12.故答案为：12.19已知函数 f x=6cos x+0,00,0，对xR R都有 f x f6，且x=-6是 f x的一个零点，则6+=k1-6+=2
33、+k2 k1,k2Z Z，解得=4+k1+k22=-32+3 k1-k2 k1,k2Z Z,因为函数y=f x-6在15,6上有且只有一个零点，则方程cos x+-1=0在15,6上有且只有一个根，因为-1cos x+1，所以，存在唯一的x015,6，使得函数 f x取到最大值，且f x0=1，则6-15=102T=4，解得040，令k=k1+k2k=k1-k2，则=2k+14=6k-32 k,kZ Z，且k=k-2k2，所以，k、k的奇偶性相同，由40可得6k-3240，解得k836，即k13，当k=13时，=752，k为奇数，则=34，所以，f x=2cos752x+34，不勤于始，将悔于
34、终96由x15,6可得752x+34134,7，此时，当752x+34=4或6时，函数 f x取最大值，不合乎题意；当k=12时，=692，k为偶数，=4，即 f x=6cos692x+4，由x15,6可得692x+45120,6，此时，当692x+4=4时，函数 f x取最大值，合乎题意.综上所述，的最大值为692.故答案为：692.20在锐角三角形ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且2bsinC-2ccosC=2csinCcosA.若点H为ABC的垂心，则SABCSHBC的最小值为【答案】3+2 2【解析】根据2bsinC-2ccosC=2csinCcosA，由正弦定理得，sin
35、BsinC=sin2CcosA+22sinCcosC，因为锐角三角形ABC，所以sinC0，sinB=sinCcosA+22cosC，又sinB=sin-A+C=sin A+C=sinCcosA+sinAcosC，sinAcosC=22cosC，易知cosC0，sinA=22，又0A2，所以A=4，然后利用面积公式和和差角公式求解即得.如图，连接AH并延长，与BC交于点D，延长CH与AB交于点E，则HDBC，HEAB，所以CD=bcosACB，DHC+BCE=2，ABC+BCE=2，所以DHC=ABC，所以HD=CDtanDHC=bcosACBtanABC=bcosACBcosABCsinAB
36、C，所以SHBC=12aHD=abcosACBcosABC2sinABC，又SABC=12absinACB，SABCSHBC=12absinACBabcosACBcosABC2sinABC=sinACBsinABCcosACBcosABC，又ACB+ABC=34，所以SABCSHBC=cos ABC-ACB-cos ABC+ACBcos ABC-ACB+cos ABC+ACB，=cos ABC-ACB+22cos ABC-ACB-22=1+2cos ABC-ACB-22，因为ABC=34-ACB2，所以4ACB0，且x1，x2是函数 f(x)=ab-12的两个零点，|x1-x2|min=，若函
37、数g x=f x+12在区间 m,n(m,nR,m0，所以 f x=ab-12=3sinxcosx-cos2x-12=32sin2x-12cos2x-1=sin 2x-6-1，令 f x=0，即sin 2x-6=1，故当x1，x2是 f x的两个零点时，|x1-x2|min为 f x的一个周期，即22=，解得=1，故有g x=sin 2x-6-12，令g x=0，则sin 2x-6=12，令2x-6=t，因为 f x在区间 m,n(m,nR,m0，又sinA=2tanA21+tan2A2，sinC=2tanC21+tan2C2，则5sinA+9sinC=5 1+tan2A22tanA2+9 1
38、+tan2C22tanC2=4+16tan2A2tanA2=4tanA2+16tanA224tanA216tanA2=16，当且仅当4tanA2=16tanA2tanA2=12时取等号，所以5sinA+9sinC的最小值为16.故答案为：1623已知P为ABC的内切圆圆心，AB BC，2CA AB，BC CA 成等差数列，则cosBPC的最小值等于.【答案】-33/-133【解析】设角A,B,C的对边为a,b,c，由已知得-accosB-abcosC=-4bccosA，故a2=4bccosA，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA，即cosA=b2+c26bc2bc6bc=13，当且仅
39、当b=c时等号成立，又sin2A2=1-cosA2，A 0,2，所以00,kZ，又因为AC=x3-x1，因此AC=x3-x1=2k=2 63，解得=6k2，结合0,kZ可知当且仅当k=1时，正数取最小值min=62.故答案为：62.四、解答题不勤于始，将悔于终10027ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求证：sin(A-B)sinA+sinB=a-bc；(2)若ABC是锐角三角形，A-B=3,a-b=2，求c的范围.【解析】(1)由两角差的正弦公式，可得sin(A-B)sinA+sinB=sinAcosB-cosAsinBsinA+sinB，又由正弦定理和余弦定理，可得sin
40、AcosB-cosAsinBsinA+sinB=aa2+c2-b22ac-bb2+c2-a22bca+b=2a2-2b22c(a+b)=(a+b)(a-b)c(a+b)=a-bc，所以sin(A-B)sinA+sinB=a-bc(2)由(1)知c=(a-b)(sinA+sinB)sin(A-B)=43(sinA+sinB)=43sin B+3+sinB=4332sinB+32cosB=432sinB+12cosB=4sin B+6因为ABC是锐角三角形，所以A=B+32，可得0B2，可得B+3+B2，所以B12，所以4B+63，所以22sin B+632，可得2 2 ca-b=2.所以实数c的
41、取值范围是(2 2,2 3).28在ABC中，SABC=32BA BC,BC=3(1)D为线段BC上一点，且CD=2BD,AD=1，求AC长度；(2)若ABC为锐角三角形，求ABC面积的范围【解析】(1)在ABC中，依题意得：12BABCsinB=32BABCcosB，则有12sinB=32cosB，于是得tanB=3，而B(0,)，则B=3，又BC=3,CD=2BD，则BD=1,CD=2，在ABD中AD=1，从而得等边ABD，即ADB=3，ADC=23，在ADC中由余弦定理AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC得AC2=22+12-221cos23=7，解得AC=7；(2)在ABC中
42、，BC=3，设BAC=，由正弦定理ABsinC=BCsinA得：AB=3sinCsin=3sin23-sin=332cos+12sinsin=312+321tan，不勤于始，将悔于终101于是得SABC=12BABCsinB=9 3412+321tan，因ABC是锐角三角形，则02，且023-2，于是有633，即01tan3，1212+321tan2，从而得9 38SABC9 32，所以ABC面积的取值范围是9 38,9 3229请从asinB-3bcosBcosC=3ccos2B；bcosC+12c=a；3bsinA1+cosB=a这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并加以解答(如未作出
43、选择，则按照选择评分)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_(1)求角B的大小；(2)若ABC为锐角三角形，c=1，求a2+b2的取值范围【解析】(1)若选因为asinB-3bcosBcosC=3ccos2B，由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosBcosC+3sinCcos2B，即sinAsinB=3cosB(sinBcosC+sinCcosB)=3cosBsin(B+C)，所以sinAsinB=3cosBsinA，由A(0,)，得sinA0，所以sinB=3cosB，即tanB=3，因为B(0,)，所以B=3.若选由余弦定理得ba2+b2-c22ab+12c=a，化简
44、得a2+c2-b2=ac，即a2+c2-b22ac=12，所以cosB=12.因为B(0,)，所以B=3.若选由正弦定理得3sinBsinA1+cosB=sinA，即3sinBsinA=sinA(1+cosB)，因为0A，所以sinA0，所以3sinB=1+cosB，所以sin B-6=12，又因为-6B-656，所以B=3.(2)在ABC中，由正弦定理asinA=csinC，得a=csinAsinC，b=csinBsinC=32sinC由(1)知：B=3，又c=1代入上式得：a2+b2=c2+2abcosC=1+2sinAsinC32sinCcosC=1+3sinAsin2CcosC=1+3
45、sin(B+C)sin2CcosC=1+3sin3+Csin2CcosC=1+332cosC+12sinCsin2CcosC=1+32tan2C+32tanC因为ABC为锐角三角形，所以0C2023-C33，1tanC(0,3)，不勤于始，将悔于终102所以a2+b2=1+32tan2C+32tanC=321tanC+362+78 1,7.30如图所示，在ABC中，AB=1,D是BC上的点，BAD=12DAC(1)若BAC=2，求证：2AD-1AC=3；(2)若BD=14DC，求ABC面积的最大值【解析】(1)由BAC=2,BAD=12DAC，知BAD=6,DAC=3，SABC=SABD+SA
46、CD=12ABADsin6+12ADACsin3=12ABAC，结合题设，即AD+3ADAC=2AC，两边同除以ADAC，得2AD-1AC=3；(2)设BAD=，则DAC=2，由正弦定理得:ABD中，ABsinBDA=BDsin，ACD中，ACsinCDA=DCsin2，结合sinBDA=sinCDA,DC=4BD，得AC=2cos，SABC=12ABACsin3=sin3cos=3sin-4sin3cos=3tan-4tansin2即SABC=3tan-4tansin2=3tan sin2+cos2-4tansin2sin2+cos2=tan-tan2+3tan2+1=3tan-tan3ta
47、n2+1，设tan=t 0,3，即求函数 f t=3t-t31+t2,t 0,3的最大值，ft=3-3t21+t2-3t-t32t1+t22=2 3-3-t22 3+3+t21+t22，t2 0,2 3-3时，ft0，函数单调递增，t2 2 3-3,3时，ft0，函数单调递减，当t2=2 3-3时，函数有最大值，此时 f t=2 3-3 3-2 3+31+2 3-3=6 3-9,t0,3，ABC面积的最大值为6 3-9.31如图，在平面凸四边形ABCD中，AB=2BC=2,AD=CD,ADC=2,M为边BC中点(1)若ABC=23，求ACD的面积；(2)求DM的最大值【解析】(1)因为AB=2
48、BC=2，ABC=23，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+1-221-12=7，则AC=7，且ADC=2，AD=CD，所以AD2=CD2=72，不勤于始，将悔于终103则ACD的面积为S=12ADCD=12AD2=1272=74.(2)取线段AC的中点为E，连接DE,ME，设ABC=，0，因为AB=2,BC=1，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=5-4cos，由正弦定理可得，BCsinBAC=ACsin，则sinBAC=BCsinAC=sinAC，因为E,M分别为AC,BC的中点，所以MEAB，且ME=12AB=1，所以MEC=B
49、AC，且ADCD,AD=CD，所以DE=12AC，在DEM中，由余弦定理可得，DM2=DE2+ME2-2DEMEcosDEM=14AC2+12-AC1cos2+BAC=14AC2+1+ACsinBAC=14AC2+1+ACsinAC=5-4cos4+1+sin=94+sin-cos=2sin-4+94，由0可得，-4-42时，点C在点P的右侧，如图，PC=x-2，则tanBCD=BPCP=3x-2.当0 x0，且x2时，tanACB=tan BCD-ACD=3x-2-1x1+3x-21x=2 x+1x2-2x+3.当x=2时，点C与点P重合，tanACB=tanCAD=CDAD=2，满足上式，所以tanACB=2 x+1x2-2x+3，其中x 0,+.令x+1=t，则t1，所以tanACB=2tt2-4t+6=2t+6t-422 6-4=1+62，当且仅当t=6t，即t=6，x=6-1时，等号成立，此时tanACB取得最大值1+62，因为tanACB=2 x+1x2-2x+30，所以ACB为锐角，所以当CD=6-1时，tanACB取得最大值1+62.不勤于始，将悔于终105