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1、艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计摘要 在研究武器装备的维修时间的过程中，俄罗斯的数学家引入了艾拉姆咖分布，该分布对装备维修理论的研究起到了积极的作用。首先，我的的论文在经典统计学中，对艾拉姆咖分布的参数进行了矩估计和最大似然估计；然后，在选取指数分布函数作为先验分布的条件下，研究了艾拉姆咖分布在、复合、和复合损失函数下的估计，并且深入对艾拉姆咖分布的参数在复合和损失函数下的多层估计的研究；最后，利用软件，产生了一组随机数，对在损失函数的情况下，比较了矩估计、最大似然估计和估计的三个估计的估计值；并且对不同损失函数下，不同参数值对艾拉拉姆咖分布的估计的估计值变化的影响进行了研究。关键词 损失函数 估
2、计 多层估计 数值模拟 软件Bayesian Estimation of Distribution Parameters under Different Loss FunctionsAbstract The Distribution Parameters plays an important role in studying the maintenance of the moment estimation First, this paper in classical statistics, compared in the case of Linex loss the and he moment
3、 estimation maximum likelihood estimation;Then, under the condition of selecting the function as the prior distribution, exponential distribution is studied in Linex, composite Linex, MLinex and composite MLinex bayesian, and further to the parameters of the exponential distribution, the the moment
4、estimation of the exponential distribution oss function of empirical bayes estimation and bayesian estimation research; Finally, using matlab software, a set of random Numbers is created, and the estimation values of the moment estimation, maximum likelihood estimation and bayesian estimation are co
5、mpared in the case of Linex loss funection. In addition, the moment estimration of the exponedntial distrribution and the estimtation valdues of the modment estidmation loss functions.Key words Loss function Bayesian estimation of Multilayer bayesian estimation Data simulation Matlab software第 II 页目
6、 录引 言11 经典统计学中的参数估计21.1 参数的矩估计21.2 参数的极大似然估计：22 不同损失函数下的贝叶斯估计32.1 Linex损失函数下的贝叶斯估计52.2 复合Linex损失函数的贝叶斯估计52.3 MLinex损失函数下的贝叶斯估计62.4 复合MLinex损失函数下的贝叶斯估计73 超参数的估计84 不同损失函数下的多层Bayes估计104.1 复合Linex损失函数下的多层贝叶斯估计114.2 复合MLinex损失函数下的多层贝叶斯估计115 实例分析与数据模拟125.1 Linex损失函数下估计量的比较135.2 艾拉姆咖分布参数各种损失函数下的贝叶斯估计比较135.
7、3 复合Linex损失函数下估计量的比较分析145.4 MLinex损失函数下估计量的比较14结 论15参考文献16致 谢17引 言通过从各方面、多角度的查询资料，我们了解到指数分布是一种具有遗失记忆性特点的连续型的概率分布。在我们的生活之中，随机事情独立发生的时间间隔可以用指数分布来表示。在概率论与数理统计中，常见的损失函数有很多，然而艾拉姆咖参数在不同损失函数下的估计和估计，到现在暂时还没有相关性的研讨结果。文献1对艾拉姆咖参数在熵损失函数、二次损失函数、平方损失函数的估计进行了研究，并且深入讨论了关于估计的容许性；文献2主要对在复合损失函数下 分布下参数的估计和估计进行了研究，并且进行了
8、随机数值的模拟与检验，还在一定程度上对参数的估计和估计的合理性及优良性进行了探讨；文献3研究了对于在不同损失函数的情况下，对任意先验分布参数的估计；文献4讨论了在复合损失函数下对数分布的尺度参数的估计、估计和多层估计，并给出了数值模拟。我的这篇论文主要对艾拉姆咖分布的参数在、复合、MLinex和复合四种不同的损失函数下的估计以及艾拉姆咖分布的参数在复合和复合两种不同的损失函数下的多层估计进行了研究，并给出数值模拟。第 18 页1 经典统计学中的参数估计1.1 参数的矩估计设为来自艾拉姆咖分布容量为n的随机样本，令x=（）艾拉姆咖分布的概率密度函数为： （1）艾拉姆咖分布的密度分布为 （2）由此
9、便可以得到参数的矩估计为：（3）所以：（4）由上述过程可以得到参数的矩估计为：（5）1.2 参数的极大似然估计：对于，其中表示的是参数，表示的是空间参数，表示的是来自于总体的样本，如果将样本的联合概率密度函数看成是关于的函数，那么记为，简记为（6）称为似然函数。如果满足 （7）则称是的最大的似然估计。那么，根据上述的分析可以得到艾拉姆咖分布参数的似然估计如下：似然函数：（8）对两边取对数可得：（9）对两边求导数，令导数方程的直为0：（10）得：（11）所以，根据上述的分析过程可以得到参数的最大似然函数估计为：2 不同损失函数下的贝叶斯估计引理2.1 选择作为艾拉姆咖分布参数的先验分布，那么先验
10、分布的密度函数： 0 （12）其中公式中的为超参数并且其中的。参数的后验密度函数公式为： （13）证明该参数的后验密度函数公式的过程如下：（14） 为了方便计算最终的结果令 则可以推出原式= （15）然后令 接着再令由此得到：（16）那么可以得到最终的原式表达式为： （17）则可以算出X的边缘分布密度m(x)为：（18）接下来的部分我们将会针对在Linex损失函数 、复合 Linex、MLinex损失函数下和复合 MLinex损失函数等四种不同的损失函数下的贝叶斯估计以及艾拉姆咖分布参数在复合Linex 和复合Mlinex两种不同的损失函数下的多层贝叶斯估计进行了研究一一推导出贝叶斯估计的表达
11、式，并进行了数值模拟，然后通过分析数据，得到一些结论。2.1 Linex损失函数下的贝叶斯估计定理2.1.1 参考引用的文献1:对于规定的先验分布指数分布，在Linex损失函数下，艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计是容许的 且是唯一的。2.2 复合Linex损失函数的贝叶斯估计定理 2.2.1 对于规定的先验分布指数分布，在复合Linex损失函数下，艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计是容许的 。且是唯一的。证明： 通过查阅资料可知复合linex损失函数的表达式为： (a0) （19）通过查阅资料可知贝叶斯风险的表达式为： （20）那么要使贝叶斯风险的值最小则需要达到最小 为了计算推理逻辑清晰记（21）通过
12、对求导数并令导数的值结果为0可以得到： （22）则在复合Linex损失函数下，艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计为： （23）其中通过推理计算可以得到： （24） （25）则整理上述结果最终得到在复合Linex损失函数下，艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计为 （26）由参考的文献2中详细的论证可以得知这样的贝叶斯估计是唯一的。上述证明过程最终表明定理2.2.1是正确的。2.3 MLinex损失函数下的贝叶斯估计定理 2.3.1 对于规定的先验分布指数分布，在MLinex损失函数下，艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计是容许的 且是惟一的。证明：通过查阅资料可知MLinex损失函数的函数表达式为： c0, w0 （
13、27）通过查阅资料可知贝叶斯风险的表达式为： （28）要使贝叶斯风险的值最小则需达到最小为了计算推理逻辑清晰记（29）通过对g()求导数并令导数的值结果为0可以得到：（30）则在复合Linex损失函数下，艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计为其中通过推理计算可以得到：（31）则在复合Linex损失函数下，艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计为： （32）由参考的文献3 中详细的论证可以得知这样的贝叶斯估计是唯一的。上述证明过程最终表明定理2.3.1是正确的。2.4 复合MLinex损失函数下的贝叶斯估计定理 2.4.1 对于规定的先验分布指数分布，在复合Mlinex损失函数下，艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计是容
14、许的 且唯一。通过查阅资料可知MLinex损失函数的函数表达式为： (w0,c0) （33）通过查阅资料可知贝叶斯风险的表达式为： （34）要使贝叶斯风险的值1最小则需需最小 （35）对求导数并令值为0得： （36）则在复合MLinex损失函数下，艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计为： （37）其中其中通过推理计算可以得到： （38） （39）贝叶斯估计： （40）由参考的文献3 中详细的论证可以得知这样的贝叶斯估计是唯一的。上述证明过程最终表明定理2.4.1是正确的。3 超参数的估计已经知道艾拉姆咖分布的密度函数的公式，如果规定指数分布作为艾拉姆咖分布参数的先验分布，则它的边缘分布为： （41）用
15、来替换()式中的那么似然函数()可以替换为： （42）取对数然后求导，并令导数方程为0: （43）得： （44）令 ， 显然 当时， 因此在(0,+)上为严格单调递减的下凸函数。因此在(0,+)上也为严格单调递减的下凸函数。由于 （45）所以方程 （46）在(0,+)内有且仅有一个解，迭代公式为： （47）4 不同损失函数下的多层Bayes估计引理4.1 参数的先验密度函数为（4），超参数的先验分布为伽马分布 （48）因此我们能够得到关于参数的多层先验密度函数为： （49）则参数的后验密度函数为： （50）证明： （51）4.1 复合Linex损失函数下的多层贝叶斯估计定理4.1.1 在复合损
16、失函数下，对于任何的先验分布，的唯一估计的一般表达式为： （52）定理4.1.2 在复合损失函数下，对于艾拉姆咖分布参数的先验密度函数为（4），则参数的多层估计为： （53）证明： （54） （55）因此，根据定理5.1.1，能够得到关于艾拉姆咖分布参数的多层估计为： （56）4.2 复合MLinex损失函数下的多层贝叶斯估计定理4.2.1 概率论中在复合MLinex 损失函数的条件下下，对于任何的先验分布 ，的唯一Bayes 估计的一般表达式为： （57）定理4.2.2 在复合M损失函数下，对于艾拉姆咖分布参数的先验密度函数为（4），则参数的多层估计为： （58）证明 （59）因此，根据定理
17、4.2.1，能够得到关于艾拉姆咖分布参数的多层估计为：（60）5 实例分析与数据模拟例：产生一组真值为1的，样本容量为的随机数。0.568,0.3637,1.0458,0.4268,0.5223,1.6828,0.2005,1.4752,0.2469,0.9135,1.9227,0.66130.6071,0.5902,0.5626,0.0342,1.5835,0.7929,0.4681,0.4932,0.2571,1.232,0.2725,0.4431,0.2948,0.8198,0.8319,0.4268,0.7837,0.785,0.5214,2.1081,2.4568,2.4083,0.
18、0289,1.5938,1.51770.2627,0.7944,2.2215,0.3445,0.1183,0.52,0.726,1.0661,1.568,0.8104,0.2465,1.1791,0.45831.1206,0.1961,0.9128,0.5986,0.3188,0.9985,0.7892,0.413,0.191,0.7735,0.3578,0.6604,0.5845,0.8142,0.2232,0.6855,0.9615,1.5484,2.3172,2.9165,2.7231,1.6812,1.2939,1.0367,0.86850.9718,1.0833,2.0563,1.4
19、374,0.7871,0.736,0.7456,0.36,0.3575,0.475,1.4692,1.3342,0.26651.4158,0.1499,2.908,3.7475,2.5853,2.0969,0.1463,1.7873,0.211,1.4132,1.2372,1.258,2.3068,0.8944,0.6783,0.1211,0.239,0.4638,1.6806,1.8682,0.0908,1.3664,0.2175,1.5047,1.2397,0171,0.0969,0.3989,0.9017,0.3388,0.6011,0.2599,0.0689,0.6432,1.6895
20、,1.2909,0.2065,0.5743,0.9932,1.0399,1.4422,0.2052,0.2749,0.4669,0.8201,1.5864,2.649,1.2839,0.1318,0.9035,10549,1.5117,0.3235,0.7198,0.4461,1.0088,0.8089,1.7121,1.5107,0.9314,1.5289,1.0048,0.8617,1.5018,1.2121,0.2626,1.1647,1.7073,2.0503,1.1417,0.3373,0.5966,0.8335,1.0824,1.14140.9317,0.8933,1.1721,0
21、.8404,0.2975,0.256,1.5534,2.3875,0.749,0.243,2.6731,2.2393,1.7041.832,1.2427,0.3913,1.1007,0.5574,1.7295,1.4388,0.3335,0.69,1.2358,1.4204,0.2526,0.8937,0.0934,1.0015,0.2369,1.2148,0.7158,0.1338,1.558,1.298,1.0822,0.9434,0.3874将以上产生的200个随机数据作为样本，并且选取a=2，=2 ，然后用 matlab计算出，艾拉姆咖参数的矩估计、最大似然估计和在损失函数下的估计。5
22、.1 Linex损失函数下估计量的比较表1 参数的矩估计、最大似然估计和在损失函数下的贝叶斯估计估计类估计值1.03221.03221.0121观察表1数据可知，在相同得样本数据下， Bayes估计的参数值与真实值更加接近。因此，在Linex 损失函数下，对艾拉姆咖分布进行参数估计时，在矩估计、极大似然估计和 B估计中选择 Bayes估计对参数进行估计会更接近真实值。5.2 艾拉姆咖分布参数各种损失函数下的贝叶斯估计比较表2 艾拉姆咖分布在各种损失函数下的贝叶斯估计21.03201.03020.98230.93212.51.03081.02940.98620.940831.02941.0283
23、0.98940.95233.51.02111.01420.99450.970841 .00841 .00230.99580.9945观察表2中的数据可以得到：在同样的样本数据下在先验分布和a、c的取值都被恰当的选定后,艾拉姆咖分布参数在复合Linex损失函数下和在MLinex损失函数下的贝叶斯估计比该参数分布在Linex损失函数下和在复合MLinex损失函数下的贝叶斯估计更接近真实值。5.3 复合Linex损失函数下估计量的比较分析对在复合Linex 损失函数下，艾拉姆咖分布参数 的矩估计和贝叶斯估计的结果进行数值比较，将艾拉姆咖分布在复合 Linex损失函数下的矩估计和贝叶斯估计分别记为 和
24、，选取a=2 ，它们的比较结果见表3。表3 艾拉姆咖分布参数的矩估计和在复合损失函数下的贝叶斯估计的数值比较21.03221.03022.51.03221.029431.03221.02833.51.03221.014241.03221 .0023从表3可以看出，在先验分布和的取值都被恰当的选定后，艾拉姆咖分布参数在复合损失函数下的估计比矩估计更接近真实值。5.4 MLinex损失函数下估计量的比较表4 艾拉姆咖分布参数的矩估计和在复合MLinex损失函数下的贝叶斯估计的数值比较21.03220.98232.51.03220.986231.03220.98943.51.03220.994541
25、.03220.9958从表4可以看出，在先验分布和的取值都被恰当的选定后，艾拉姆咖分布参数在复合M损失函数下的贝叶斯估计比矩估计更接近真实值。结 论我的这篇毕业论文是对艾拉姆咖分布的参数估计的问题展开的研究。首先，在经典统计学中，利用矩估计和最大似然估计对艾拉姆咖分布的参数进行估计分析，得到了在艾拉姆咖分布下，参数的矩估计和最大似然估计的估计值是相等的。而后，我选取了在损失函数的条件下，利用相同的样本数据，对指数分布的矩估计和贝叶斯估计进行比较研究，得出估计的参数值与真实值更加接近的结论。所以，我们可以知道，在损失函数下对指数分布进行参数估计时，在矩估计、最大似然估计和贝叶斯估计三种估计中，选
26、择估计对参数进行估计会更好。最后，我在损失函数、复合损失函数、损失函数和复合损失函数四种不同的损失函数中，选取了不同的值，对四种损失函数下的贝叶斯估计的估计值进行比较，得出了在合理选择先验分布的情况下，确定适当的的取值后，艾拉姆咖分布参数在复合Linex损失函数和MLinex损失函数下的贝叶斯估计值比在Linex损失函数和复合MLinex损失函数下的贝叶斯估计值更接近真实值也就是更准确。参考文献1 龙兵.不同损失函数下艾拉姆咖分布参数的Bayes估计 J.贵州大学学报(自然科学版)2013,(3):1-10.2 吕佳,任芳玲,乔克林. 复合LINEX损失函数下艾拉姆咖分布参数的Bayes估计
27、J.江西科学 2016(3):285-310.3 范梓淼,周菊玲,Mlinex损失函数下艾拉姆咖分布参数的Bayes估计 J.山东师范大学学报(自然科学版),2016(3):103-105.4 金秀岩.复合MLinex对称损失函数下对数伽玛分布参数的Bayes估计.数学的实践与认识,2014,44(19):257-262.5 金秀岩.MLINEX损失函数下Gamma分布的尺度参数Bayes估计J.纯粹数学与应用数学,2014,30(4):347-353.6 茆诗松,程依明.概率论与数理统计教程第二版.北京:高等教育出版社,2011(2).7 金秀岩. 复合LINEX损失函数下Gamma分布的尺度参数Bayes估计J.山东师范大学学报(自然科学版)2013,28(4):65-68.8 龙兵.艾拉姆咖分布参数的Bayes估计及检验J.兰州理工大学学报,2013(4):154- 157.