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1、对数正态分布的参数估计的性质2016级 信息与计算科学 孙绍凯 指导老师：严钧摘要 对数正态分布是概率论和数理统计中一个非常重要的分布，不仅可以用来解决数学问题，也可以用来处理经济上，生活上的问题，接下来就来介绍一下对数正态分布的由来，证明，性质和应用，本文分为五个部分：第一部分为预备知识，介绍了对数正态分布的定义和性质，同时对性质的证明。第二部分介绍了对数正态分布在金融股票方面的应用。第三部分介绍了两个大数定律：切比雪夫不等式和伯努利大数定律。第四部分探讨了中心极限定理，分别是独立同分布的中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯定理。第五部分研究了对数正态分布的三个参数估计：矩估计，极大似然估计和贝叶
2、斯估计。关键词 对数正态分布 参数估计 大数定律 中心极限定理2Properties of parameter estimation of lognormal distributionAbstract Logarithmic normal distribution is one of Probability Theory and mathematical statistics most important distribution. It not only been used solved math problem but also been used solved Economy and l
3、ife problem. So,I will introduce the origin of Logarithmic normal distribution, the nature and the application,It will be divided in three parts:The first part is preparatory knowledge, it introduced Logarithmic normal distributions definition and nature, and also the prove of nature.The second part
4、 introduced Logarithmic normal distribution the application of price model at discrete time and continuous time.The third part introduced two Law of large numbers: Chebyshev inequality and Bernoullis law of large numbers.The fourth part discussed the central limit theorem:Limit center theorem of ind
5、ependent identical distribution and Timophe Laplace theorem.The fifth part introduced the three parameter estimation of Logarithmic normal distribution: moment estimation, maximum likelihood estimation and Bayesian estimation.Key words Logarithmic normal distribution Parameter estimation Law of larg
6、e numbers Central limit theorem目录引言11. 对数正态分布简介51.1 对数正态分布的定义51.2 对数正态分布的性质52. 对数正态分布的应用72.1 对数正态分布在库存品价格模型中应用对数分配中的应用72.1.1 在离散时间股票价格模型中的应用72.1.2 在连续时间股票价格模型中的应用93 大数定律123.1切比雪夫大数定律的定义123.1.1 切比雪夫不等式123.1.2 切比雪夫大数定律定理123.1.3 切比雪夫大数定律的统计意义123.2 伯努利大数定律133.2.1伯努利大数定律定理133.2.2 伯努利大数定律的重要意义134 中心极限定律14
7、4.1 基本理论144.1.1 独立同分布的中心极限定理144.1.2 棣莫弗-拉普拉斯定理144.1.3从样本分布到中心极限定理155 对数正态分布的参数估计185.1 矩估计185.2 极大似然估计185.3 贝叶斯估计19参考文献21致谢221. 对数正态分布简介 1.1 对数正态分布的定义定义 1.1.1 设是取值为正数的连续随机变量，若的密度为：即随机变量服从对数正态分布，记为.1.2 对数正态分布的性质性质 1.2.1：设随机变量，则服从参数和的对数正态分布。证明：，根据定义，性质（1）得证。性质 1.2.2：设随机变量与相互独立，且则（a,b不全为0的常数）服从参数为的对数正态分
8、布。证明：根据正态分布的可加性得到，根据定义，性质1.2.2得证。性质 1.2.3：设随机变量与是相互独立的，服从对数正态分布（参数为），服从对数正态分布（参数为），则（a,b为不全为0的常数）服从参数是的对数正态分布。证明：由题设知，且相互独立，由可加性，得到，性质1.2.3得证。同理，可以得到推论：已知随机变量相互独立，且服从参数d的对数正态分布，则服从参数为的对数正态分布。性质 1.2.4：设总体服从参数是为来自总体的简单随机样本，则证明：由提设置相互独立，由正态分布的可加性，性质 1.2.5 设总体服从参数为得对数正态分布，为来自总体得简单随机样本。令，则证明：令，由题意得是来自正态总
9、体的简单随机样本，而的样本方差为,根据抽样分布定理，得.2. 对数正态分布的应用2.1 对数正态分布在库存品价格模型中应用对数分配中的应用2.1.1 在离散时间股票价格模型中的应用对数正态分布是概率论与数理统计当中一个必不可少的分布, 而且在实际的生活问题中有很多的的应用。当一个变量被计算为许多小的独立因素的乘积时，它可以被计算为动脉对数的随机变量。从理论上讲，精确公式和广泛的研究是指联系日志的分布来详细描述金融资产的成本。例如，如果2000年至2020年的指数股票上涨，每年上涨100至101天。两天的增长时间相同（1%）。至于为什么要取对数log(x2/x1)，而不是直接用x2/x1，看一眼
10、对数曲线就明白了。(x1,x2分别表示第一天和第二天的股指)例 2.1.1 研究一个离散时间股票价格过程为当前价格，为第周后的股价。是已知的，。设之间是相互独立的并且都服从参数是的对数正态分布，求出检查未来两周稳定上涨的可能性，以及角色在未来两周内高于当前价格的可能性。解 由题意得则两周后股价连续上涨得概率是两周后得股票价格高于当前价格得概率是例 2.1.2 若现在某股票的价格为S，则过一个单位时间后，它以概率，变为，以概率变为，帮助变量是象限，并且在1000个单位中计算的概率可以增加30%，其中解 设表示经过个单位时间后的股价，则令则于是，所求的概率为又因为根据题意可得独立同分布，于是独立同
11、分布，因此，。由中心极限定理得到近似地服从正态分布，故2.1.2 在连续时间股票价格模型中的应用90年代 Bachelier 发现了连续时间内地风险资产的价格活动规律可以用布朗运动来描述，从那以后开拓了随机理论应用的新领域。但是作为一个正常的过程，布朗运动可以得到一个与价格性质完全不匹配的负值，以布朗运动为特征的。定义 2.1.1 如果随机过程满足1） ；2） 是平稳独立增量过程；3） 对任意的，服从正态分布其中。则称是参数的布朗运动。定义2.1.2 假设是标准布朗运动，称是几何布朗运动，其中.显然，对任意的所以，几何布朗运动服从参数是和的对数正态分布。综上，可得,.对于任意的，有由定义 1
12、知相互独立，且都与同分布，于是,与相互独立并与同分布，从而和均服从参数为和的对数正态分布，也就是与相互独立并都服从正态分布.例 2.1.3 设小刘有某股票的交割的时间为，交割的价格为，他具有在时刻以固定的价格，因此从中获取利益，不然会被认为是放弃期权。如果这类股票目前定的价格为，股票价格按照参数。求这种期权的平均价值。解 设表示时刻的股票价格，由题设知,若高于时，期权将被执行，则在时刻的期望价值为因为,其概率密度函数为：,所以,故.已知的B-S定价模型必须满足以下假设：股票不分红；这个比例不支付处方费，是一种卖空机制；在期权有效期内没有每次购买的交易成本和税收以及重复的无风险利率；从向上移动，
13、股票价格遵循伊藤过程 式中：是股票年预期收益率；是瞬时价格期望漂移率;是股票价格年波动率;是价格的瞬时方差率的平方根;维纳过程,取极限形式,则有 ;e是标准正态分布中取得的一个随机值;是时间。3. 大数定律3.1切比雪夫大数定律的定义定义 3.1.1 假设随机变量序列，随机变量，倘若对于任意的正数有：或则称依概率收敛于，记为或3.1.1 切比雪夫不等式方差是用于刻画随机变量的值在数学期望的离散程度的，对于任意的正数来说，事件发生的概率大小和相关。而这种关系则称为切比雪夫不等式：其中,是期望,是标准差。3.1.2 切比雪夫大数定律定理设独立随机变量序列的数学期望和方差都存在，并且方差是有上界的，
14、即存在常数，使得，则对任意的正数，有3.1.3 切比雪夫大数定律的统计意义一个独立随机变量序列通过数学运算，例如从前到后的差分，所以它是根据算术随机发现的：当趋于充分大的时候，其值会紧密地集中在数学期望附近。3.2 伯努利大数定律3.2.1伯努利大数定律定理设是重伯努利试验的事件重复的事件数，且在每个事件发生的概率是，那么对任意的正数，当实验数为时，3.2.2 伯努利大数定律的重要意义在相同条件下重复试验几次，随机事件的频率，将稳定在事件的频率附近，即频率收敛于概率。4. 中心极限定律4.1 基本理论4.1.1 独立同分布的中心极限定理定义4.1.1 假设随机变量之间是相互独立的，并且都服从同
15、一个分布，都有数学期望和方差：，且将随机变量之和进行标准化后得到：的分布函数满足这个极限量可以导出为均值、为方差的独立同分布的随机变量。当足够大的时候，它的标准化变量，即的分布则被认为是符合标准正态分布的。4.1.2 棣莫弗-拉普拉斯定理假设独立测试序列的概率是事件的概率，随机变量指事件在次试验中会发生的数目，则是服从二项分布的，所以对任于意的实数，都有当可以充分大的时候，随机变量则近似地服从正态分布的，所以当足够大的时候，则用正态分布求出近似的计算二项分布：4.1.3从样本分布到中心极限定理假设总体一共含有个元素，从当中随机抽取样本量为的样本：采用重复抽样的方法来抽取，总共可以抽出种可能的样
16、本；而采用不重复的抽样方法，总共可以抽出种可能的样本。如果获得每个样品的平均量，则不需要结果。例 假设一个总体由4个元素组成，分别为，对他们取值，令其分别为1，2，3，4。用重复抽样的方法来抽取，从总样本量抽2和3的样本，即，算出样本均值，求出概率分布。解 由题意得，总体是均匀分布的序号 样本中的元素 样本均值11，11.021，21.531，32.041，42.552，11.562，22.072，32.582，43.093，12.0103，22.5113，33.0123，43.5134，13.5144，23.0154，33.5164，44.0表 4.1.1 16种可能的样本及其均值样本均值的
17、分布见表2的取值的个数取值的概率1.011/161.522/162.023/162.544/163.033/163.522/164.011/16表 4.1.2 样本均值的分布得到：当时，可获得16种可能存在的样本，总体和样本均值与方差间表3.类别均值方差总体样本均值表 4.1.3 总体和样本均值的均值与方差当时，可获得46钟可能存在得样本，此时样本均值见表4种类N极小值极大值均值标准误标准差V564142.500.0810.651有效的N64-表 4.1.4 样本均值的描述统计量由此可得。而。实际上，样本均值的分布与抽样总体的分布及样本量的大小密切相关。5. 对数正态分布的参数估计5.1 矩估
18、计核心主要是从样本来估计总体矩，所以先计算对数正态总体的期望与方差。令5.2 极大似然估计对数正态分布的似然函数是指似然函数，分别是在正态分布的条件下，所以也分别是对数正态分布参数的最小方差无偏估计。5.3 贝叶斯估计设，所以样本参数的后验分布为情形时，的贝叶斯估计为由对数正态随机变量与正态随机变量的对应关系，可得给定样本时的贝叶斯估计为某种硬币每次正面向上的概率为R，并且抛出去后都是R，R的先验分布的概率密度函数如下。试求R的后验分布。设朝上的机次为S，R的可使用连续贝叶斯公式实现后续分配的概率函数：参考文献1 茆彭宇，彭玉星，子龙. 概率论与数理统计基础M. 北京: 北京出版社， 2031
19、: 54.2 杨战意，数理统计的基础应用M. 合肥: 合肥出版社出版， 2005.3 于妞妞，赵绍凯. 大数定律与中心极限定理之相关联系J. 高等数学研究, 2001: 108110. 4 洋溢习，高等数理统计与概率论M. 北京：高等教育出版社, 2001: 33-69.5 李子歌,概率论(第3版)M. 上海：上海教育出版社, 1979.6 瘀性，概率统计学习指导M. 浙江：浙江大学出版社, 2000.7 郭承袭，祝英汉，张恣意，常新，东子来; 概率统计教学中的问题和解答，南京师范大学学报(自然科学版)J. 2001(4): 112125.8 侬项, 股票中的小概率事件.赤峰学院学报（自然科学版）J. 第24卷第6期，2006(3): 220260. 9 刘威，刘妞妞；关于Cauchy不等式的介绍J. 紫荆:紫江科技学院学报; 2003(2): 99110.