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1、20求解线性方程组的方法探讨摘要:线性方程组在数学领域中的应用十分广泛，而且它的求解方法在代数的学习中有着重要的作用，线性方程组的求解方法与行列式、矩阵、线性变换、向量组的线性相关性有着很大的关系，而在高等代数中只介绍了高斯消元法以及克莱姆法则，所以解法比较单一，有一定局限性。本论文首先对课题的背景、意义、国内外研究状况进行阐述。而后介绍其概念和他的性质定理。然后对线性方程组的求解方法进行归纳和总结。在例题中说明对每种解法的步骤及其特点，并对各种方法的优缺点、适用性进行分析。线性方程组的解法虽多，但是根据线性方程组的不同结构来选用合适的解题方法，才能提高解题的效率,更快更好的得到结果。关键词：
2、线性方程组；矩阵；初等变换；高斯消元法DiscussiononMethodsofSolvingLinearEquations Abstarct:Linearequationsarewidelyusedinmathematics,anditssolutionplaysanimportantroleinlearningalgebra.Themethodofsolvinglinearequationshasagreatrelationshipwithdeterminant,matrix,lineartransformationandlinearcorrelationofvectorgroups.Ho
3、wever,onlygausseliminationandCramer'sLawareintroducedinAdvancedAlgebra,sothesolutionisrelativelysimpleandhascertainlimitations.Firstly,thispaperexpoundsthebackground,significanceandresearchstatusathomeandabroadofthesubject.Thentheconceptandhispropertytheoremareintroduced.Then,themethodsofsolvin
4、gthelinearequationsaresummarized.Intheexamples,thestepsandcharacteristicsofeachmethodareexplained,andtheadvantages,disadvantagesandapplicabilityofeachmethodareanalyzed.Althoughtherearemanysolutionstolinearequations,onlybychoosingappropriatesolutionsaccordingtodifferentstructuresoflinearequationscanw
5、eimprovetheefficiencyofsolvingproblemsandgetbetterandfasterresults.Key words：linear equations; matrix; Elementary transformation; gauss elimination目录1.绪论11.1线性方程组的求解的背景及意义11.2线性方程组国内外研究现状及评价12.线性方程组的概念和基础理念22.1线性方程组的概念及形式22.2线性方程组有无解的判定定理22.3线性方程组的解的结构32.3.1齐次方程组的解的结构32.3.2非齐次方程组的解的结构43.线性方程组的求解方法53
6、.1高斯消元法53.2LU分解法73.3克莱姆（Cramer）法则83.4逆矩阵解法103.5分块矩阵解法123.6齐次线性方程组的基础解系求解方法133.7非齐次线性方程组化为齐次线性方程组方法14结论17参考文献18致谢191. 绪论1.1 线性方程组的求解的背景及意义线性方程组求解在中国有着悠久历史，对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早一千多年，记载于我国古代第一部数学专著九章算术的方程章。现行的高等代数及线性代数教材中只用高斯消元法和克莱姆法则来求解线性方程组，在解决一些困难问题中存在一定的局限性。而且高斯消元法也并不是求解较为简单的线性方程组的唯一方法，在面对实际问题中，建立线性方程
7、组来求解未知数是最常见的问题类型。而对于遇到的实际问题种类不同，因此就要求要了解和掌握更多更有效地方法来求解线性方程组。线性方程组作为贯穿大学线性代数这一类课程的一个重要工具，同时也是贯穿向量和矩阵的桥梁，是有很大的研究意义。在科技、工程等许多领域中，有很多的问题都归结为线性方程，而它们的解也都称为线性方程组的解。随着如今时代下计算机技术的飞速发展，求解大型线性方程组主要用的是迭代法，例如雅克比方法，高斯赛德尔迭代法等等。所以说生活中我们很多的地方都会用到线性方程组的应用，小到买菜，大到工程的应用。本文也主要从高斯消元法，LU分解法，克莱姆法则，逆矩阵法以及矩阵分块解法等其他方法来探究线性方程
8、组的求解方法。总结线性方程组的各种解题方法的优缺点并进行比较，使读者能对线性方程有深刻认识和了解，有利于学生的发散性思维的培养，有助于更好的用不同的方法解决线性方程组出现的各种实际问题。提高工作效率。1.2 线性方程组国内外研究现状及评价对于求解线性方程组方法的研究，国内外许多著名的数学家对此作出了许多贡献，在科学技术迅速发展的当代，数学已经渗入了各个学科之中，而我们在教材中所学的线性方程组的知识内容，基本都是来自国内外著名数学家的著作。在高等数学中的有些思想方法是来自于初等数学，而初等数学中的有些方法和结论又是高等数学某些结论中的特例，所以说它们有些地方是相通的，线性方程组的理论是高等代数与
9、线性代数的重要内容，其中常见的高斯消元法和克莱姆法则在书中都有详细介绍，国内外对于线性方程组的研究偏重于计算方法和应用方面的研究，比如生活中的实际问题、在几何中的应用问题、高等代数和线性代数中的问题等等许多方面。而对于如何选择适合的方法求解问题，并没有给出太多的研究成果。所以对线性方程组解法的探讨，有着研究的空间。2. 线性方程组的概念和基础理念2.1 线性方程组的概念及形式形如 （1）的方程组叫做线性方程组，也被称为线性方程组的一般形式，其中，,代表的n个未知量的系数，m是方程的个数，是方程组的系数，称为方程组的常数项。当线性方程组的常数项全为零时，称这个线性方程组为齐次线性方程组； 当线性
10、方程组的常数项不全为零时，称这个线性方程组为非齐次线性方程组。线性方程组除了一般形式，还有其他两种形式：1. 矩阵形式：，其中，称为系数矩阵，是未知数向量，是常数项向量，为增广矩阵，记为。2. 向量形式：2.2 线性方程组有无解的判定定理定理1.在n元非齐次线性方程组中，是系数矩阵的秩，是增广矩阵的秩；1. 有唯一解的充分必要条件是；2. 有无穷多解的充分必要条件是；3. 无解的充分必要条件是；定理2.n元齐次线性方程组1. 只有零解的充分必要条件是，即A是列满秩矩阵；2. 有非零解的充分必要条件是，即A是列降秩矩阵；以上就是线性方程组有无解的判定。2.3 线性方程组的解的结构在定理2中知道n
11、元非齐次线性方程组中，如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组只有唯一解，如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于未知数个数，则有无穷解，如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则无解；对齐次线性方程组，系数矩阵的秩等于未知量的个数，则只有零解（即唯一解），如果系数矩阵的秩小于未知量个数时，则有非零解（即无穷多解）。2.3.1 齐次方程组的解的结构 （2）令，（其中T表示矩阵的转置），则（2）可以写成。设系数矩阵的秩为，即当时，只有零解的充分必要条件是系数行列式， 有非零解的充分不要条件是系数行列式。性质1 若是方程组（2）的解，那么也是方程组（2）的解。性质2 若是方程组（2）的解，那么对任
12、意数，也是方程组（2）的解性质3 齐次线性方程组（2）的一组解称为（2）的一个基础解系 ，显然线性无关，并且齐次方程组（2）的任一解可由它线性表示： （3）其中为任意数，且（3）式称为齐次方程组（2）的通解。定理1 设是矩阵，齐次方程组的全体解构成的集合S，是一个向量空间，当系数矩阵的秩时，解空间S的维数是，它的基础解系包含个解。2.3.2 非齐次方程组的解的结构常数项不全为零的线性方程组 （1）为非齐次线性方程组简记为 其中是系数矩阵，是未知量列向量，是常数项列向量，若将常数项换成0，则得到齐次方程组，称为非齐次方程组（1）的导出组。性质4 设是非齐次方程组（1）的任意两个解，则是导出组的解
13、。性质5 设是非齐次方程组（1）的解，是其导出组的解，则是非齐次方程组（1）的解。性质5告诉我们，为求非齐次方程组的任意解（即非齐次方程组的通解），只要找到一个特接及导出组的通解即可。如果是方程组（1）的一个特解，是导出组的一个基础解系，那么非齐次方程组（1）的通解可以写成 ，其中为任意数。3. 线性方程组的求解方法3.1 高斯消元法高斯消元法是一种比较常用的方法，在高斯消元法的基础上进行改进得到的主元素消去法，三角分解法，是最基础也是最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及了三种重要的同解变形（也称方程组的等价变形）1. 交换其中两个方程的位置；2. 将某个方程两边同乘一个非零数；3. 将某个
14、方程两边同乘一个数再分别加到另一个方程两边；而这些过程其实就是对增广矩阵施行初等行变换，因此，可以对增广矩阵施行初等行变换，化成行最简形解线性方程组。所谓行最简形是指：1. 是阶梯型矩阵；2. 非零行的第一个非零元是1；3. 非零行的第一个非零元所在的列其他元素都是零，高斯消元法的详细步骤：1. 写出与该线性方程组对应的增广矩阵2. 利用初等变换将增广矩阵变换为行最简形矩阵。3. 求出原方程组所对应的解。例1：求解非齐次线性方程组解： 对方程组的增广矩阵施行初等行变换化成行最简形。从而得到原方程组的解：例2 求解非齐次线性方程解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换化成行最简形所以得到原方程组的解
15、：3.2 LU分解法LU分解法，也称三角形分解法，是求解线性方程组的重要方法之一，当方程组左边的系数矩阵不变，且仅当方程组右边的列向量发生改变时，能够很好地求解方程组。在线性代数中，LU分解法是矩阵分解的一种，即将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，其中L为主对角线以上的元素均为零且主对角线元素均为1的下三角矩阵，U为主对角线以下元素均为零的上三角矩阵。LU分解法在本质上是高斯消元法的一种不同的表达形式。设,则；所以令 则。步骤如下;1) 首先将矩阵分解为 ；2) 得到两个不同的矩阵后，先求，得到的值；3) 最后将得到的代入从而得到方程组的解。例3 用LU分解法求解线性方程组解
16、： 变换为形式得 用分解计算公式得解 例4 用LU分解法解方程组3.3 克莱姆（Cramer）法则对含有n个未知量的n个方程的线性方程组 （3）定理1 如果系数行列式，则此方程组有唯一解其中的是系数行列式中的第j列用常数项代替得到的行列式。定理2 如果方程组中有非零解，那么必有,克莱姆法则解n元方程组有两个前提条件1) 未知数个数等于方程个数；2) 系数行列式不等于零。推论1 如果，则线性方程组（3）有无穷多解，如果系数行列式,且至少有一个，则线性方程组无解。例5 用克莱姆法则求解线性方程组解，所以有唯一解。, , 所以方程组有唯一解.例6解：，所以方程组有唯一解 ， ， 所以方程组有唯一解3
17、.4 逆矩阵解法这是线性方程组的一种求解方法，线性方程组，当可逆时，线性方程组等价于（注：此时是方阵）。例7. 解线性方程组，其中系数矩阵和常数矩阵分别为：解：所以系数矩阵可逆的伴随矩阵为,所以的逆矩阵为所以方程组变为 ，带入已知量，通过对矩阵的乘积可以得到结果。所以方程组的解为：。例8.解线性方程组，其中系数矩阵，常数矩阵，解：因为，所以系数矩阵可逆，通过对各元素的代数余子式的求解，得到的伴随矩阵，最后得到的逆矩阵为，将方程组变形为，带入求得的数值和已知的数值，通过矩阵的惩罚可以得到结果。所以方程组的解为：小结：此法针对线性方程组，且只适用于是方阵且可逆的线性方程组，所以有一定的局限性。3.
18、5 分块矩阵解法将矩阵用若干横线和纵线分成多个小矩阵，每个小矩阵都称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为的分块矩阵。设线性方程组为，其中为方程组的系数矩阵，对进行分块得,同时也对做出相应的分块，可为,此时原方程组可以写成.当m=n且时，非齐次线性方程组有唯一解。例9 求解方程组解：将方程写成矩阵方程的形式，并分块为形式，分块后即,因为,所以可逆，求出的逆矩阵，可以得到方程组的解，所以解得方程组有唯一解3.6 齐次线性方程组的基础解系求解方法对齐次线性方程组 求基础解系,求基础解系分为三步：1. 对系数矩阵进行化简；2. 确定自由未知量，并取值；3. 计算其他未知量的值。例10 求解齐次方程
19、组的一个基础解系和通解，解;对齐次方程组的系数矩阵A施行初等行变换，化为行最简形；所以可以得到与原方程组同解的方程组；， 即所以原方程组的一个基础解系为所以通解为，其中为任意数。例11，求解齐次方程组的一个基础解系和通解，解，对齐次方程组的系数矩阵施行初等行变换；得到与原方程组同解的方程组：，即，取，作为自由未知量，分别令，所以可以得到原方程组的一个基础解系，所以原方程组的通解为：，其中为任意值。3.7 非齐次线性方程组化为齐次线性方程组方法设有一般的线性方程组为 首先将常数项移动到等式左端 得 其中，最后利用齐次线性方程组的求解方法进行求解。步骤为:1. 对系数矩阵化简；2. 求出特解；3.
20、 求基础解系；4. 得到通解。例12 解非齐次线性方程组 ，解：将常数项移动到等式左边得到齐次线性方程组。原方程组变形为 其中，利用消元法对方程组进行求解，化为行最简形， 由上述矩阵的变换可以得到与原方程组同解的方程组 其中，所以原方程组的通解为其中是自由未知量，当时，得到原方程组的一个特解，分别令，得到原方程组的一个基础解系:,所以原方程组的通解为，所以原方程组的通解的向量形式为，取任意值。例13，解非齐次线性方程组解：将常数项移动到等式左边得到齐次线性方程组，原方程变形为其中对系数矩阵施行初等行变换化为行最简形：，由上述矩阵的变换可以得到与原方程组同解的方程组其中，所以原方程组的通解为其中
21、，是自由未知量，当，时，原方程组有一个特解，分别令，可以得到方程组的一个基础解系，故原方程组的通解可化为 ，所以通解为，其中，为任意值。结论通过对上述几种解线性方程组的解法的探讨，我们知道了方法与方法之间是具有一定联系，同时又具有各自的特点，这也体现出了数学逻辑推理的严密性，数学解题方法的多样性。1. 克莱姆法则和分块矩阵解法，适用于特殊的线性方程组的解法，克莱姆法则和分块矩阵解法只适用于未知量个数和方程个数相等且系数行列式不为零的情况，通常用来求解非齐次线性方程组。而且计算量大，一般用于推导或计算简单的线性方程组，因此在实际求解中并不常用。2. LU分解法主要运用于数值分析中，用来解线性方程
22、组，所以有一定的局限性。但LU分解法的优点是当方程组左边的系数矩阵不变，且仅当方程组右边的列向量发生改变时，能够很好地求解方程组，有一定的制约性。3. 逆矩阵解法针对线性方程组，且只适用于可逆的线性方程组，所以有一定的局限性。4. 高斯消元法和化非齐次线性方程组为齐次线性方程组方法适用于非齐次线性方程组的求解，这两种方法相差不大，而且较为简单，操作简单，比较适合解决未知数少的实际问题的时候。当方程个数和未知数个数较多时，较难消元。5. 求解齐次方程组的基础解系方法只适用于求解齐次线性方程组，线性方程组除了上述的解法还有其他的解法，但是从上述例子中可以看出来，线性方程组的求解和矩阵的应用有着很深
23、的关系。反之 线性方程组的广泛使用也可以解决和矩阵有关的问题。所以，线性方程组和矩阵的学习是相辅相成的，要想学好线性方程组就必须要学好和矩阵有关的内容，想要学好矩阵，就要学好和线性方程组有关的内容。本文描述七种求解线性方程组的方法，也分别对每种方法的适用性及其联系进行了总结，希望读者在看完后能对求解线性方程组有一个更清晰的认识和更深刻的理解。若能对各种方法熟练掌握，则能令读者在求解线性方程组时有着清晰思路。参考文献1安军，蒋娅.高等代数M.北京:北京大学出版社.2016:33-36，55，98-103，123-127.2北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.第3版.北京:高等教
24、育出版社，2003,83-89,105-154.3STEVEN J.LEON. Linear Algebra with ApplicationsM.第7版.北京：机械工业出版社,2007.1-13.4霍元极.高等代数M.北京：北京师范大学出版社，1988:77-120.5刘红旭.利用分块矩阵解非齐次线性方程组J.辽宁师专学报，2003.（6）:20-21.6王名学.某些分块矩阵的逆矩阵J.数学理论与应用.2003，（3）:60-63.7纪青.非齐次线性方程组的分块矩阵解法J.赤峰学院学报（自然科学版），2007，23（1）：20-22.8赵云.线性方程组通解的一种求法J.甘肃联合大学学报（自然
25、科学版），2004，18（4）：61-63.致谢不知不觉间，四年的大学生活已经过完，我们也到了即将分别的时刻，但我们那些美好的回忆依旧留在心中，在毕业论文即将完成之际，我想向那些在大学生活中给予我鼓励，帮助的人说一声谢谢，首先是感谢苏老师，在我毕业论文开题、调查、研究和撰写过程中，苏老师给了我细致和全面的帮助，并及时帮我答疑解惑，给出一些建议或意见。他严肃的科学态度，严谨的工作作风还有高度的敬业精神，深深地感染和激励着我。从论文的选题到论文的最终完成，苏老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。在此谨向苏老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。同时也要感谢大学四年以来所有授予过我知识、给予过我帮助的老师和同学，人生中最美好的时光也因为有你们的陪伴而多姿多彩，我们都来自全国各地，或许，这一次分别就很难再相见了。所以希望我们的友谊长存。