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1、模块三立体几何限时集训(八)微专题8空间几何体时间:45 min基础过关1.2023漳州二模 已知某圆锥的底面半径为1,高为3,则它的侧面积与底面积之比为( ) A.12B.1C.2D.42.2023东营二模 已知m,n表示空间内两条不同的直线,则“mn”的必要不充分条件是( )A.存在平面,使得m,nB.存在平面,使得m,nC.存在直线l,使得ml,nlD.存在直线l,使得ml,nl3.2023湖南长郡中学一模 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的数书九章,该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”
2、法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量(盆中水的体积与盆口面积之比).已知天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,当盆中积水深九寸(注:1尺=10寸)时,平地的降雨量是( )A.9寸B.6寸C.4寸D.3寸4.2023江苏苏锡常镇四市调研 埃及胡夫金字塔是世界七大奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,其侧面与底面所成锐二面角的余弦值为5-12,则侧面三角形的顶角的正切值为( ) A.2B.3C.5-12D.5+125.如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线MN平面ABC的是( )ABCD6.2023济南二模 17世纪
3、30年代,意大利数学家卡瓦列利在不可分量几何学一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图,AEB是一个半圆,圆心为O,四边形ABCD是半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图形旋转一周,记OCD,阴影部分,AEB所形成的几何体的体积分别为V1,V2,V3,则下列说法正确的是( )A.V1+V2V3C.V1V2D.V1=V27.坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若AB=25 m,BC=AD=10 m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面
4、与平面ABCD的夹角的正切值均为145,则该五面体的所有棱长之和为( )A.102 mB.112 mC.117 mD.125 m8.(多选题)已知圆锥TO(O是圆锥底面圆的圆心,T是圆锥的顶点)的母线长为3,底面半径为5.若P,Q为底面圆周上的任意两点,则下列说法中正确的是( )A.圆锥TO的侧面积为35B.TPQ面积的最大值为25C.三棱锥O-TPQ体积的最大值为53D.圆锥TO的内切球的体积为439.(多选题)2023南京二模 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,AA1=AB,A1AB=A1AD=60,则( )A.点A1在平面ABCD内的射影在AC上B.AC1平面A
5、1BDC.AC1与平面A1BD的交点是A1BD的重心D.二面角B1-BD-C的大小为4510.已知一个半球内含有一个圆台,半球的底面圆即为圆台的下底面,圆台的上底面圆周在半球球面上,且上底面半径为3,若半球的体积为144,则圆台的体积为.11.在三棱锥A-BCD中,AB=1,CD=2,AB与CD所在的直线间的距离为3,且AB与CD所成的角为60,则三棱锥A-BCD的体积为.12.2023安徽马鞍山二模 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E,F在棱AB上,点H,G在棱CD上,点E1,H1在棱A1D1上,点F1,G1在棱B1C1上,AE=BF=DH=CG=A1E1=B1F1=D1
6、H1=C1G1=12,则六面体EFGH-E1F1G1H1的体积为.能力提升13.2023山东威海二模 已知等边三角形SAB为圆锥的轴截面,AB为圆锥的底面直径,O,C分别是AB,SB的中点,过OC且与平面SAB垂直的平面记为,若点S到平面的距离为6,则该圆锥的侧面积为( )A.8B.16C.24D.3214.(多选题)2023温州二模 蜜蜂是自然界的建筑大师,在18世纪初,法国数学家马拉尔迪指出,蜂巢由许许多多类似正六棱柱形状的蜂房(如图)构成,其中每个蜂房的底部都是由三个全等的菱形构成的,每个菱形钝角的余弦值是-13,则( )A.AB平面EDD1E1B.ABEFC.蜂房底部的三个菱形所在的平
7、面两两垂直D.该几何体的体积与以六边形A1B1C1D1E1F1为底面,以BB1为高的正六棱柱的体积相等(第14题图)15.(多选题)2023江苏八市二调 如图,正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为2,BC=2.若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转,使得点A,P分别旋转至点A,P处,且A,B,C,D四点共面,点A,D分别位于BC两侧,则( ) (第15题图)A.ADCPB.PP平面ABDCC.多面体PPABDC的外接球的表面积为6D.点A,P旋转运动的轨迹长相等16.2023武汉武昌区5月质检 祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,即:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面
8、的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.有一个球形瓷碗,它可以看成半球的一部分,若瓷碗的碗口直径为8,高为2,利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为.限时集训(九)微专题9球的截面性质与切接问题时间:45 min基础过关1.如图,该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥组成的组合体,设它的体积为V1,它的内切球的体积为V2,则V1V2=( ) A.23B.223C.22D.212.已知某圆台上、下底面圆的半径分别为3和4,该圆台的高h5,球O是该圆台的外接球,若球O的表面积为100,则该圆台的体积为( )A.1753B.75C.2383D.25933.三
9、星堆古遗址3号坑发现的神树纹玉琮,为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮(如图所示)是古人用于祭祀的一种礼器,有学者认为其外方内圆的构造,契合了古代“天圆地方”的观念,是天地合一的体现.假定某玉琮形状对称,由一个空心圆柱及正方体构成,且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面,圆柱的高为12,圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上,则球O的表面积为( )A.72B.162C.216D.288 4.如图,某几何体为一个圆柱和一个圆锥的组合体,其中圆锥的底面和圆柱的一个底面重合,设圆锥的顶点为A,圆柱上、下底面圆的圆心分别为B,C.若该几何体存在外接球(即圆锥的顶点与底面圆周在该球面上,且圆
10、柱的底面圆周也在该球面上),且BC=2AB=4,则该几何体的体积等于( )A.56B.703C.48D.645.已知球O与棱长为4的正四面体的各条棱都相切,则球O的表面积为( )A.8B.823C.32D.246.2023河北唐山三模 把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角D-AC-B(点D到达点D的位置),则三棱锥D-ABC的外接球的球心到平面BCD的距离为( )A.33B.22C.63D.127.2023浙江Z20名校联考 已知半径为4的球O被两个平面截得圆O1和圆O2,记两圆的公共弦为AB,且O1O2=2,若二面角O1-AB-O2的大小为23,则四面体ABO1O2体积的最大值
11、为( )A.83B.429C.829D.4398.(多选题)水平面上紧挨着放置n个半径r=1的小球(不叠起),用一个半径最小的大半球把这n个小球罩住,记大半球的半径为R,则( )A.当n=1时,R=2B.当n=2时,R=2+1C.当n=3时,R=213+1D.当n=4时,R=39.(多选题)2023嘉兴二模 已知菱形ABCD的边长为2,BAD=60,将ABD沿对角线BD翻折,得到三棱锥P-BCD(点A到达点P的位置),则在翻折过程中,下列说法正确的是( )A.存在某个位置,使得PCBCB.直线BC与平面PBD所成角的最大值为60C.当二面角P-BD-C为120时,三棱锥P-BCD外接球的表面积
12、为283D.当PC=2时,分别以P,B,C,D为球心,2为半径作球,这四个球的公共部分称为勒洛四面体,则该勒洛四面体内切球的半径为2-6210.2023山东淄博三模 已知某圆锥的侧面展开图为半圆,则该圆锥的侧面积与其内切球的表面积之比为.11.2023广东潮州三模 已知圆柱的侧面积为2,其外接球的表面积为S,则S的最小值为.12.2023湖南雅礼中学二模 如图,四边形ABCD为平行四边形,AB=3,AD=2,BAD=3,现将ABD沿直线BD翻折,使点A到达点A的位置,得到三棱锥A-BCD,若AC=7,则三棱锥A-BCD内切球的表面积为.能力提升13.已知正三棱台ABC-A1B1C1上、下底面的
13、边长分别为1和3,侧棱长为2,则以下底面的顶点A为球心,7为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为( )A.3B.2C.23D.14.(多选题)如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球的球心为O,E,F分别是棱AB,CC1的中点,G在棱BC上运动,则( )A.对于任意点G,OA平面EFG恒成立B.存在点G,使得OD平面EFGC.直线EF的被球O截得的弦长为3D.过直线EF的平面截球O所得截面圆面积的最小值为215.(多选题)2023莆田二模 已知正四面体P-ABC的棱长为6,S是ABC及其内部的点构成的集合.若a2,集合T=QS|PQa,则T表示的区域的形状可以是( )ABCD
14、16.2023湖南雅礼中学一模 已知三棱锥P-ABC满足PA=1,PA平面ABC,ACBC,若VP-ABC=23,则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为.限时集训(十)微专题10空间角与空间距离时间:45 min基础过关1.2023杭州二模 如图,在三棱锥S-ABC中,ABC为等腰直角三角形,SAB=SCB=ABC=90.(1)求证:ACSB;(2)若AB=2,SC=22,求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值.2.2023唐山二模 如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBC,AB=AD=2,BC=1,BAD=120,PACD,PDAC,点E是棱PD上靠近点P的三等分点.(1)证明:PA平面ABC
15、D;(2)若平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为31010,求四棱锥P-ABCD的体积.3.2023青岛二模 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为CD的中点,现将ADE,BCE分别沿AE,BE向上翻折,使点D,C分别到达点M,N的位置,且平面AME,平面BNE均与平面ABE垂直,如图.(1)证明:M,N,A,B四点共面;(2)求直线AE与平面ABNM所成角的正弦值.4.2023广东茂名二模 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PA=PD,O为AD的中点.(1)求证:POBC;(2)若ABCD,AB=8,AD=DC=CB=4,PO=27,点E在棱PB上,直线AE与
16、平面ABCD所成的角为6,求点E到平面PCD的距离.能力提升5.2023湖北黄石模拟 如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=AE=2DE=2,AED=60,二面角E-AD-C的大小是60,平面EAB与平面ECD的交线l上存在一点F满足二面角F-BC-D的大小也是60.(1)求三棱锥F-BCD的体积;(2)若M为直线AB上的动点,求直线MF与平面EBC所成角的正弦值的最大值.6.如图是由正四棱锥P-ABCD和正三棱锥P-CDE组成的.(1)设平面PAB与平面PCD的交线为l,求证:lPE;(2)若PEBC,PE的中点为F,求平面BCF与平面CDE夹角的余弦值.限时集训(十一)微
17、专题11立体几何中的动点、截面与折叠展开问题时间:45 min基础过关1.用一个平面去截一正方体,则截面的形状不可能是( ) A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形2.2023山东济南三模 如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别为AB,BC的中点,将ADE,BEF,CDF分别沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三点重合于点A,则三棱锥A-DEF的外接球体积为( )A.86B.66C.46D.263.2023长春四模 已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,点M,N分别为线段AB,AC上的动点,点T在平面BCCB内,则MT+NT的最小值是( )A.2B.233C.62D.14.在正方
18、体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱C1D1(不含端点)上的动点,N为BC的中点,则( )A.BDAMB.平面A1BD平面AD1MC.MN平面A1BDD.CM平面A1BD5.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为B1C1的中点,过点D作平面使BM,则平面截正方体所得截面的面积为( )A.42B.45C.85D.1626.如图,矩形ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点,且BC=2AB=2,现将ABE沿AE向上翻折,使点B到点P的位置,则在翻折过程中,下列结论错误的是( )A.存在点P,使得PECFB.存在点P,使得PEEDC.三棱锥P-AED体积的最大值为26D.当三棱锥P-AED的体积达到最大值时,三棱锥P-AED外接球的表面积为47.(多选题)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,点P,Q分别在A1C1,B1C上,点A,P,Q所确定的平面将三棱柱截成两部分的体积分别为V1和V2(V10且1)的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上,半径为1-2|AB|的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹长度为.