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1、第一部分 高考专题讲练思想篇数学思想方法的应用思想一1.A解析 an为递减的等比数列,a2a7=a3a6=32,a3+a6=18,解得a3=2,a6=16,(舍去)或a3=16,a6=2,数列an的公比q=3a6a3=12.故选A.2.D解析 以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),C(1,2),D(-1,2).设P(x,y),则PA=(-1-x,-y),PB=(1-x,-y),因为PAPB=0,所以PAPB=-(1-x2)+y2=0,即x2+y2=1,故点P的轨迹为在正方形内部的半圆弧,所以-1x1,0y1,则CP=(x-1,y-2),DP=(x+1
2、,y-2),0y1,故CPDP=x2-1+(y-2)2=-y2+(y-2)2=-4y+40,4).故选D. 3.B解析 由asinPF1F2=csinPF2F1,得ca=sinPF2F1sinPF1F2=|PF1|PF2|=|PF1|2a-|PF1| ,得|PF1|=2aca+c,又|PF1|(a-c,a+c),a-c2aca+ca+c,a2-c22ac0,又e(0,1),e(2-1,1).故选B.4.43-3解析 将题中不等式变形为2b+13+32b+1a3+3a.因为a,b都是正数,所以a0,2b+10,从而可构造函数f(x)=x3+3x,x0,易知该函数在(0,+)上单调递增,所以f2b
3、+1f(a),所以a2b+1,则2a+3b4b+1+3b=4b+1+3(b+1)-324b+13(b+1)-3=43-3,当且仅当a=2b+1,4b+1=3(b+1),即a=3,b=233-1时取等号,因此2a+3b的最小值是43-3.思想二1.B解析 F1,A分别是椭圆x216+y27=1的左焦点和右顶点,F1(-3,0),A(4,0).PF1PA=0,P在以F1A为直径的圆上,该圆与椭圆x216+y27=1有三个公共点,如图所示,又点P与点A不重合,故符合条件的点P的个数为2.故选B. 2.D解析 如图,由|OA|=|OF1|,得|OA|=|OF1|=|OF2|=c,故F1AF2=90.因
4、为直线F2A的斜率为-3,所以tanF1F2A=3,所以|AF1|=3|AF2|,又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=3a2,|AF2|=a2,又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,故94a2+14a2=4c2,得c2a2=58,所以e=ca=104.故选D. 3.D解析 设函数g(x)=x,x0,2x,x0,作出g(x)的图象如图所示.函数f(x)=x-c,x0,2x-2c,x0的图象可由g(x)=x,x0,2x,x0的图象分段平移得到.易知当c=0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意;当c0时,图象向下平移,当02c0,则直线PQ的方程为y-m=34x-m24,令x=
5、-1,则yQ=16m-3m2-1216.由FPFQ=m24-1,m-2,16m-3m2-1216=2-m22+16m2-3m3-12m16=0,整理可得3m3-8m2+12m-32=(m2+4)(3m-8)=0,可得m=83,故|PR|=|PF|=m24+1=259.思想三1.B解析 由题意,要使a5最小,则a1,a3,a5都是负数,则a2和a4选择1和4,设等比数列an的公比为q(q0,所以f(x)在(0,+)上单调递增,所以f(x)f(0)=0,此时,f(x)的图象与x轴只有一个交点,不合题意;若a=2,当x(0,+)时,f(x)=(x-4)ex+4,则f(x)=(x-3)ex,所以f(x
6、)在(0,3)上单调递减,在(3,+)上单调递增,又f(0)=0,f(3)=4-e30,故f(x)在(0,+)上有一个零点,此时,f(x)的图象与x轴有三个交点,符合题意.综上,a=2.思想四1.A解析 因为实数x,y满足x2+4y2=5,所以可设x=5cos ,2y=5sin ,0,2),所以x+2y=5cos +5sin =10sin+4,所以当=4,即x=102,y=104时,x+2y取得最大值10,故选A.2.A解析 当A,B相邻时,不同的排列方式有A55A22=240(种),当A,B,C相邻,且B在A,C中间时,不同的排列方式有2A44=48(种),故A,B相邻,且B,C不相邻的不同
7、的排列方式有240-48=192(种).故选A.3.A解析 sin76-=sin+6-=-sin6-=-cos3+=513,cos23-=-cos-23-=-cos3+=513,所以sin76-2cos23-=513-2513=-513,故选A.4.11解析 圆C:(x-6)2+(y-8)2=1的圆心为C(6,8),半径r=1,圆心C到坐标原点O(0,0)的距离为62+82=10,圆C上的点到点O的距离的最大值为10+r=11.由APB=90,可得以AB为直径的圆和圆C有交点,可得|PO|=12|AB|=m,故有m11,m的最大值为11.5.8解析 设球O与正四棱台的上底面、下底面分别切于点O1,O2,与侧面ADD1A1,侧面BCC1B1分别切于点E,F,作出其截面图如图所示,连接O1O2,取O1O2的中点O,连接OE,则MO1=ME=1,EN=NO2=2, 故MN=1+2=3.过点M作MHO2N于点H,则NH=NO2-MO1=1,由勾股定理可得MH=2r=MN2-NH2=32-12=22,所以r=2,所以该球的表面积S=4r2=42=8.