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1、大庆市大庆中学大庆市大庆中学 2024 年高三年级开学考试试题（数学）年高三年级开学考试试题（数学）（卷面分值：（卷面分值：150 分；考试时间：分；考试时间：120 分钟）分钟）第第 I 卷（选择题共卷（选择题共 58 分）分）一一 选择题选择题：本大题共：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分分.在每小题给出的四个选项中只有一项是在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若复数12i2iz，则z（）A.iB.iC.1D.-12.,A B C D E五人站成
2、一排，如果,A B必须相邻，那么排法种数为（）A.24B.120C.48D.603.已知向量1,2,1,3ab，则（）A.aabB.aabC.aabD.aab4.已知数列 na满足22111,2nnaaa，则5a（）A.3B.2 或-2C.3 或-3D.25.52xxy的展开式中52x y的系数为（）A.-30B.-20C.20D.306.设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，过点F且倾斜角为4的直线与C交于,A B两点，以AB为直径的圆与准线l切于点,22pM，则C的方程为（）A.22yxB.24yxC.26yxD.28yx7.在ABC中，21,233ADABACBADCAD ，则下
3、列各式一定成立的是（）A.sincos sinBCB.sincos sinCBC.sinsin sinBCD.sinsin sinCB8.双曲线22:4C xy的左，右焦点分别为12,F F，过2F作垂直于x轴的直线交双曲线于,A B两点，12121,AFFBFFF AB的内切圆圆心分别为123,O O O，则123OO O的面积是（）A.6 28B.6 24C.84 2D.64 2二二 多选题多选题：本大题共：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共计分，共计 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选对得全部选对得
4、 6 分，部分选对得部分分，有选错的得分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分分.9.如图，棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，,E F分别为11,BB DD的中点，则（）A.OCOFB.CE与OF所成角的余弦值为155C.1,A E C F四点共面D.AEF的面积为610.已知函数 sin0,22f xx的部分图像如图所示，则（）A.f x在0,3上单调递增B.f x在0,6上有 4 个零点C.3AB D.将sinyx的图祭向右平移6个单位，可得 yf x的图像11.定义在R上的函数 f x满足 20f x fyf xy，且 f x不是常值函数（即：f x的值域不是单元素集合）
5、，则（）A.12f B.00fC.0 x 时，0f x D.f x为奇函数第第 II 卷（非选择题共卷（非选择题共 92 分）分）三三 填空题填空题：本大题共：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 15 分分.12.已知集合22,1,(2)(3)9Ax yxyBx yxy，则AB的子集个数为_.13.在工业生产中轴承的直径服从3.0,0.0025N，购买者要求直径为3.0，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则至少为_；（若2,XN，则(2)0.9545)P X14.在 1，3 中间插入二者的乘积，得到1,3,3，称数列1,3,3为数列 1，3
6、的第一次扩展数列，数列1,3,3,9,3为数列 1，3 的第二次扩展数列，重复上述规则，可得12211,nx xx，3 为数列 1，3 的第n次扩展数列，令31221log 13nnaxxx，则数列 na的通项公式为_.四四 解答题解答题：本大题共：本大题共 5 小题，共计小题，共计 77 分分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤或演算步骤.15.（13 分）在ABC中，,A B C的对边分别为,a b c，已知2,4,cos0bcaCb.（1）求a；（2）已知点D在线段BC上，且34ADB，求AD长.16.（15 分）在四棱
7、锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，PCPD，二面角ACDP为直二面角.（1）证明：PBPD；（2）若PCPD，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.17.（15 分）甲乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲乙各射击一次，甲乙每次至少射中 8 环.根据统计资料可知，甲击中 8 环9 环10 环的概率分别为0.7,0.2,0.1，乙击中 8 环9 环10 环的概率分别为0.6,0.2,0.2，且甲乙两人射击相互独立.（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；（2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X的分布列与数学期望.18.（17 分）
8、已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为63，点0,2P在椭圆C上，过点P的两条直线,PA PB分别与椭圆C交于另一点,A B，且直线,PA PB AB的斜率满足40PAPBABABkkkk.（1）求椭圆C的方程；（2）证明直线AB过定点；（3）椭圆C的焦点分别为12,F F，求凸四边形12F AF B面积的取值范围.19.（17 分）已知函数 2ln1f xxaxxa.（1）证明曲线 yf x在1x 处的切线过原点；（2）讨论 f x的单调性；（3）若 xf xe，求实数a的取值范围.大庆市大庆中学大庆市大庆中学 2024 年高三年级月考年高三年级月考数学（答案）数学（答案）一一
9、选择题选择题：本大题共：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分分1.A2.C3.D4.C5.A6.B7.B8.A二二 多选题多选题：本大题共：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共计分，共计 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选对得全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分分9.ACD10.ABC11.AB三三 填空题填空题：本大题共：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 15 分分12.413.0.113.3
10、12nna因为为31221log 13nnaxxx所以13323333213111223122212221log1 133log1331nnnnaxxx xxxxx xxxa，所以111322nnaa，又13log1 3 32a ，所以11322a，所以12na是以32为首项，3为公比的等比数列，所以11333222nnna，所以312nna.四四 解答题解答题：本大题共：本大题共 5 小题，共计小题，共计 77 分分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤或演算步骤.15.【答案】（1）10a（2）4 55【解析】（1）cos0
11、aCb，由余弦定理得22202abcabab，即22230,2,4abcbc，则可得10a；（2）由余弦定理2222 10 165cos252210bacCab，22 53sin1 cos,544CCADBADC，则在ADC中，由正弦定理可得sinsinADACCADC，2 52sin4 55sin522ACCADADC.16.解：（1）在四棱锥PABCD中，因为二面角ACDP为直二面角，所以平面PCD 平面ABCD，因为底面ABCD为正方形，所以BCDC，而BC 平面,ABCD DC 平面PCD平面ABCD，所以BC 平面PCD，而PD 平面PCD，所以BCPD，又因为,PCPD BC PC
12、平面,PBC BCPCC，所以PD 平面PBC，又因为PB 平面PBC，所以PBPD；（2）分别取,CD AB中点为,O E，连接,OP OE，因为PCPD，所以OPDC，又因为平面PCD 平面,ABCD DC=平面PCD平面,ABCD OP 平面PCD，所以OP 平面ABCD，以O为坐标原点，,OD OE OP所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则0,0,0,1,0,0OC，1,2,0B，0,0,1,0,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,0PEAAPAB ，1,0,1PC ，设,nx y z是平面PAB的一个法向量，则00n APn AB ，即2020
13、xyzx，不妨取1y，2z，则0,1,2n 是平面PAB的一个法向量.设直线PC与平面PAB的夹角为，则|10sincos,5|n PCn PCnPC .所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为105.17.【答案】（1）0.2（2）分布列见解析期望为 0.6【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件B，则事件B包括：甲击中 9 环乙击中 8 环，甲击中 10 环乙击中 8 环，甲击中 10 环乙击中 9 环，则 0.2 0.60.1 0.60.1 0.20.2P B.（2）由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3，由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为 0
14、.2，则3,0.2XB，所以00312330C0.2(1 0.2)0.512,1C0.2(1 0.2)0.384P XP X，22330332C0.21 0.20.096,3C0.2(1 0.2)0.008P XP X，故X的分布列为X0123P0.510.380.0960.008所以3 0.20.6E X .18.（17 分）（1）由题设得222263bcaabc，解得212a，所以C的方程为221124xy；（2）由题意可设:2ABlykxm m，设1122,A x yB xy，由221124ykxmxy，整理得2221 363120kxkmxm，222222364 1 331212 12
15、4k mkmkm.由韦达定理得21212223126,1 31 3mmkx xxxkk，由4PAPBABkkk得1212224yykxx，即1212224kxmkxmkxx，整理得2222 4mk mmk，因为0k，得220mm，解得2m 或1m ，2m 时，直线AB过定点0,2P舍去；1m 时，满足236 410k，所以直线AB过定点0,1.（3）由（2）得直线:1ABlykx，所以11xyk，由22111124xykxy，整理得2222212113120,3640yykkkk，由题意得12212121221412 212 2123F AF BkSFFyyyyk，因为212 2AFk，所以2
16、18k，所以2108k，令214,2,2 3ttk，所以122112 212 211F AF BtSttt，在2,2 3t上单调递减，所以12F AF BS的范围是24 6,8 211.19.（17 分）（1）由题设得 121(0)fxaxxx，所以 11212faa ，又因为 1112faaa ，所以切点为1,2a，斜率2ka，所以切线方程为221yaa x，即2yax，恒过原点.（2）由（1）得 221(0)axxfxxx，0a 时，1xfxx，当0,1x时，0,fxfx在0,1上单调递增，当1,x时，0,fxfx在1,上单调递减；0a 时，11 8,8a a 时，0,0,fxfx在0,上
17、单调递增，108a时，0,f x在11 80,4aa上单调递增，在11 811 8,44aaaa上单调递减，在11 8,4aa上单调递增；0a 时，0,f x在11 80,4aa上单调递增，在11 8,4aa上单调递减；（3）当1x 时，1fe，即2ea，下面证明当2ea 时，,0,xfxex，即证2ln1xxaxxae，令 21ln1xg axaxxe，因为210 x ，所以 2eg ag，只需证02eg，即证2ln1022xeexxxe，令 21ln1,10,122xxeeh xxxxehh xexex，令 2111,xxm xexem xeexx，令 2312,xxxp xeep xey
18、exx 与32yx在0,上单调递减，所以 32xp xex 在0,上单调递减，1160,1202pepe ，所以存在01,12x，使得00px，即0302xex，所以00000,0,0 xxpxxxpx，所以 p x在00,x上单调递增，在0,x上单调递减，所以 0300002323000021210,xexxxp xp xp xeeexxxx，令 3212,31,12xexxxexx时 0 x，所以 x在1,12上单调递增，所以 130 xe，所以 0,0 xp x，所以 m x在0,上单调递减，10,0,1,0,1,0mxm xxm x，所以 h x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所
19、以 10h xh，综上所述2ea.以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分.大庆市大庆中学2024年高三年级开学考试 数学答题卡大庆市大庆中学2024年高三年级开学考试 数学答题卡考场/座位号：考场/座位号：姓名：姓名：班级：班级：贴条形码区（正面朝上，切勿贴出虚线方框）正确填涂缺考标记正确填涂缺考标记客观题(18为单选题;911为多选题)客观题(18为单选题;911为多选题)1A B C D2A B C D3A B C D4A B C D5A B C D6A B C D7A B C D8A B C D9A B C D10A B C D11A B C D填空题填空题12.13.14.解答题解答题15.16.17.#QQABTYAEggCIQBBAAAgCAwHqCgGQkAACCIoOABAMsAAAyRNABCA=#18.19.请勿在此区域作答或 者做任何标记#QQABTYAEggCIQBBAAAgCAwHqCgGQkAACCIoOABAMsAAAyRNABCA=#