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1、2024年高考数学二轮复习【举一反三】专题1.1 集合与常用逻辑用语【七大题型】【新高考专用】【题型1 集合中元素个数问题】3【题型2 子集的个数问题】5【题型3 集合的交、并、补集运算】6【题型4 集合中的含参问题】7【题型5 集合的新定义问题】8【题型6 充分条件与必要条件】9【题型7 全称量词与存在量词命题】111、集合集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主。2、常用逻辑用语常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见于考查真假命题的判断；全称量词命题、存在量
2、词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”,考生复习时需多注意加强这方面练习。【知识点1 集合】1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2集合的基本关系(1)子集：若对于任意的xA都有xB，则AB；(2)真子集：若AB，且AB，则AB；(3)相等：若AB，且B
3、A，则AB；(4)是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合x|xA，且xBAB并集属于A或属于B的元素组成的集合x|xA，或xBAB补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集x|xU，xAUA【知识点2 常用逻辑用语】1充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题若p,则q是假命题推出关系及符号表示由p通过推理可得出q，记作：pq由条件p不能推出结论q，记作：条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学
4、结论成立的一个充分条件数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件2充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有pq，又有qp，记作pq.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果pq，那么p与q互为充要条件3全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、 一切、每一个、任给符号全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”4.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表
5、示存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“xM，p(x)”5全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：xM，p(x)的否定：xM，p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题(2)存在量词命题p：xM，p(x)的否定：xM，p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题【题型1 集合中元素个数问题】【例1】（2023河南郑州统考模拟预测）已知集合P=nn=2k1,kN,k10，Q=2,3,5，则集合T=xyxP,yQ中元素的个数为（）A30B28C26D24【解题思路】根据题意得到P=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19，再结合T
6、=xyxP,yQ求解即可.【解答过程】P=nn=2k1,kN,k10=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19，Q=2,3,5，因为T=xyxP,yQ，当xP,y=2时，xy为偶数，共有10个元素.当xP,y=3时，xy为奇数，此时xy=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57，共有10个元素.当xP,y=5时，xy为奇数，此时xy=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95，有重复数字15,45，去掉，共有8个元素.综上T=xyxP,yQ中元素的个数为10+10+8=28个.故选：B.【变式1-1】（2023上辽宁大连高一校考阶段练习）已知A是由0，m，m
7、23m+2三个元素组成的集合，且2A，则实数m为（）A2B3C0或3D0，2，3均可【解题思路】由2A，可得m=2或m23m+2=2，解方程求m，再去验证是否符合集合中元素性质即可【解答过程】因为集合A是由0，m，m23m+2三个元素组成的集合，所以A=0,m,m23m+2，又2A，所以m=2或m23m+2=2，解方程可得m=2或m=0或m=3，当m=2时，A=0,2，与已知矛盾，舍去；当m=0时，A=0,2，与已知矛盾，舍去；当m=3时，A=0,3,2，满足题意，m=3，B正确，故选：B.【变式1-2】（2022上河南商丘高一校考阶段练习）已知集合A=xax2-3x+2=0的元素只有一个，则
8、实数a的值为（）A98B0C98或0D无解【解题思路】集合A有一个元素，即方程ax2-3x+2=0有一解，分a=0，a0 两种情况讨论，即可得解.【解答过程】集合A有一个元素，即方程ax2-3x+2=0有一解，当a=0时，A=xax2-3x+2=0=x-3x+2=0=23，符合题意，当a0时，ax2-3x+2=0有一解，则=9-8a=0，解得：a=98，综上可得：a=0或a=98，故选：C.【变式1-3】（2023河北河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，S,TU且各有14，28个元素，则STST的元素个数最少是（）A14B30C32D42【解题思路】根据集合中的元素以及交并补运算的
9、性质即可求解.【解答过程】设ST=M,M中有x个元素，则0x14,xN,所以ST中的元素个数为14+28x=42x，因此STST中的元素个数为ST中的元素减去ST中的元素个数，即为42xx=422x，由于0x14,xN，所以422x14,42，故当x=14时，有最小值14故选：A.【题型2 子集的个数问题】【例2】（2023河南校联考二模）集合A=x1x213,xN的子集的个数为（）A3B4C7D8【解题思路】解不等式可求得集合A，由集合元素个数与子集个数的关系直接求解即可.【解答过程】A=x1x213,xN=x4x8,xN=5,6,7，集合A的子集个数为23=8.故选：D.【变式2-1】（2
10、023山东校联考模拟预测）满足条件2,3A1,2,3,4的集合A有（）A6个B5个C4个D3个【解题思路】根据子集的定义即可得解.【解答过程】解：2,3A1,2,3,4，A=1,2,3,4或1,2,3或2,3,4或2,3，共4个故选：C【变式2-2】（2023江西景德镇统考模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则a+b等于（）A1B3C4D6【解题思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.【解答过程】解：集合A=a,b的非空子集有a、b、a,b，所以a+b+a+b=12，解得a+b=6.故选：D.【变式2-3】（2023湖南校联考模拟预测）设集合A=a1,
11、a2,a3,a4，若A的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B=1,3,5,8，则集合A=（）A1,3,5,8B3,0,2,6C4,8,10,13D7,10,12,16【解题思路】不妨设a1a2a3a4，由题意可得a1+a2+a3=1a1+a2+a4=3a1+a3+a4=5a2+a3+a4=8，即可得解.【解答过程】不妨设a1a2a3a4，则A的所有三元子集为a1,a2,a3,a1,a2,a4,a1,a3,a4,a2,a3,a4，由题意可得a1+a2+a3=1a1+a2+a4=3a1+a3+a4=5a2+a3+a4=8，解得a1=3a2=0a3=2a4=6，因此集合A=3,0,2,6.故选：
12、B.【题型3 集合的交、并、补集运算】【例3】（2023全国模拟预测）已知集合A=x31，则AB=（）A1,4B1,4C3,1D3,1【解题思路】根据交集概念进行计算.【解答过程】因为A=x31，所以AB=1,4故选：A【变式3-1】（2023四川遂宁统考模拟预测）设集合A=x|x11，集合B=x|x1，则AB=（）A,12,+B1,2CRD【解题思路】利用并集定义即可求得AB.【解答过程】A=x|x11=x|x2，则AB=x|x2x|x1=R故选：C.【变式3-2】（2023海南省直辖县级单位文昌中学校考模拟预测）已知全集U=xN01，N=x2x3，则xx2=（）AUMNBUMNCMUNDN
13、UM【解题思路】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解.【解答过程】由题意可得MN=x1x3,MN=x2x,UM=xx1,UN=xx2或x3，对于A, UMN= xx1或x3，故A错误，对于B，UMN= xx2，故B正确，对于C，MUN=xx3，故C错误，对于D，NUM=xx3，故D错误，故选：B.【题型4 集合中的含参问题】【例4】（2023陕西咸阳武功县校考模拟预测）已知集合A=x1x4，B=xx2a12Baa12Caa12Daa0【解题思路】先求出集合B，再利用AB=可得实数a的取值范围.【解答过程】由x2a0，得x2a，所以B=xx2a，因为AB=，所以2a1，故a12故选：C【变式
14、4-1】（2023吉林统考模拟预测）已知集合A=xN|x2,B=xax1=0，若BA，则实数a=（）A12或1B0或1C1D12【解题思路】先求得合A=0,1，再分a=0和a0，两种情况讨论，结合题意，即可求解.【解答过程】解：由集合A=xN|x2=0,1，对于方程ax1=0，当a=0时，此时方程无解，可得集合B=，满足BA；当a0时，解得x=1a，要使得BA，则满足1a=1，可得a=1，所以实数a的值为0或1.故选：B.【变式4-2】（2023江苏镇江扬中市校考模拟预测）若集合A=x2a+1x3a5,B=x5x16,则能使AB成立的所有a组成的集合为（）Aa2a7Ba6a7Caa7Daa3a
15、5,a6时成立;当A时,满足2a+13a53a5162a+15,解得6a7;综上所述:a7.故选:C.【变式4-3】（2023江苏无锡江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合A=xZ|1x3，B=x|3xa0，且ARB=1,2，则a的取值范围为（）A0,4B0,4C0,3D0,3【解题思路】先求得A=0,1,2,B=x|xa3，得到RB=x|xa3，结合题意得到不等式0a31，即可求解.【解答过程】由集合A=xZ|1x3=0,1,2，B=x|3xa0=x|xa3，可得RB=x|xa3，因为ARB=1,2，所以0a31，解得0a3，即实数a的取值范围是0,3.故选：C.【题型5 集合的新定义问题】【
16、例5】（2023湖南校联考模拟预测）定义集合AB=zz=xy,xA,yB已知集合A=4,8，B=1,2,4，则AB的元素的个数为（）A3B4C5D6【解题思路】根据题中条件，直接进行计算即可.【解答过程】因为A=4,8，B=1,2,4，所以AB=1,2,4,8，故AB的元素的个数为4故选：B.【变式5-1】（2023全国本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合AB=xxA且xB，已知集合U=x3x0，则“a2b2”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解题思路】举出反例得到充分性不成立，ab两边平方得到必要性成立.【解答过程】若a=1,b
17、=2，满足a2b2，不能得到a0，若0ab，两边平方得a2b2，必要性成立.则“a2b2”是“a1CxR,sinx+3cosx1DxR,sinx+3cosx1【解题思路】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【解答过程】解：因为命题p:xR,sinx+3cosx1是全称命题，所以p为xR,sinx+3cosx1故选：B【变式7-1】（2023河北模拟预测）命题p：x1，x+2x30，命题q：xR，2x24x+3=0，则（）Ap真q真Bp假q假Cp假q真Dp真q假【解题思路】对于命题p：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题q：根据存在命题结合二次函数的判别式分析判断.【解答过程】对于命题
18、p：令t=x1，则y=t+2t23=2t2+t3开口向上，对称轴为t=14，且y|x=1=0，则y=2t2+t30，所以x1，x+2x30，即命题p为真命题；对于命题q：因为=42423=81”且为真命题B命题P为“xR,x2+11”且为假命题C命题P为“xR,x2+11”且为假命题D命题P为“xR,x2+11”且为真命题【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题排除AD,再举出反例即可得到答案.【解答过程】命题P的否定为特称命题,P:xR,x2+11,排除AD;因为当x=0时,x2+1=1,P为假命题,排除B.故选:C.【变式7-3】（2022上河南高三校联考阶段练习）已知命题p:xR，x2+
19、1a，若p为真命题，则a的取值范围是（）A,1B,1C1,+D1,+【解题思路】根据全称命题的否定得到p，然后将存在问题转化为最值问题，求出x2+1min即可.【解答过程】p：xR，x2+1a，因为p为真命题，所以x2+1min1.故选：C.1（2023北京统考高考真题）已知集合M=xx+20,N=xx10，则MN=（）Ax2x1Bx2x1Cxx2Dxx1【解题思路】先化简集合M,N，然后根据交集的定义计算.【解答过程】由题意，M=xx+20=x|x2，N=xx10=x|x1，根据交集的运算可知，MN=x|2x1.故选：A.2（2023全国统考高考真题）设全集U=0,1,2,4,6,8，集合M
20、=0,4,6,N=0,1,6，则MUN=（）A0,2,4,6,8B0,1,4,6,8C1,2,4,6,8DU【解题思路】由题意可得UN的值，然后计算MUN即可.【解答过程】由题意可得UN=2,4,8，则MUN=0,2,4,6,8.故选：A.3（2022浙江统考高考真题）设集合A=1,2,B=2,4,6，则AB=（）A2B1,2C2,4,6D1,2,4,6【解题思路】利用并集的定义可得正确的选项.【解答过程】AB=1,2,4,6，故选：D.4（2023全国统考高考真题）设集合U=R，集合M=xx1，N=x1x2，则xx2=（）AUMNBNUMCUMNDMUN【解题思路】由题意逐一考查所给的选项运
21、算结果是否为x|x2即可.【解答过程】由题意可得MN=x|x1，选项B错误；MN=x|1x1，则UMN=x|x1或x1，选项C错误；UN=x|x1或x2，则MUN= x|x1或x2，选项D错误；故选：A.5（2023天津统考高考真题）已知集合U=1,2,3,4,5,A=1,3,B=1,2,4，则UBA=（）A1,3,5B1,3C1,2,4D1,2,4,5【解题思路】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；【解答过程】由UB=3,5，而A=1,3，所以UBA=1,3,5.故选：A.6（2023全国统考高考真题）设集合A=0,a，B=1,a2,2a2，若AB，则a=（）A2B1C23D1【解题思路
22、】根据包含关系分a2=0和2a2=0两种情况讨论，运算求解即可.【解答过程】因为AB，则有：若a2=0，解得a=2，此时A=0,2，B=1,0,2，不符合题意；若2a2=0，解得a=1，此时A=0,1，B=1,1,0，符合题意；综上所述：a=1.故选：B.7（2023天津统考高考真题）“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【解题思路】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【解答过程】由a2=b2，则a=b，当a=b0时a2+b2=2ab不成立，充分性不成立；由a2+b2=2ab，则(ab)2=0，即a=b，
23、显然a2=b2成立，必要性成立；所以a2=b2是a2+b2=2ab的必要不充分条件.故选：B.8（2023北京统考高考真题）若xy0，则“x+y=0”是“yx+xy=2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解题思路】解法一：由xy+yx=2化简得到x+y=0即可判断；解法二：证明充分性可由x+y=0得到x=y，代入xy+yx化简即可，证明必要性可由xy+yx=2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由xy+yx通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=0代入即可，证明必要性可由xy+yx通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=0代入，解方程
24、即可.【解答过程】解法一：因为xy0，且xy+yx=2，所以x2+y2=2xy，即x2+y2+2xy=0，即x+y2=0，所以x+y=0.所以“x+y=0”是“xy+yx=2”的充要条件.解法二：充分性：因为xy0，且x+y=0，所以x=y，所以xy+yx=yy+yy=11=2，所以充分性成立；必要性：因为xy0，且xy+yx=2，所以x2+y2=2xy，即x2+y2+2xy=0，即x+y2=0，所以x+y=0.所以必要性成立.所以“x+y=0”是“xy+yx=2”的充要条件.解法三：充分性：因为xy0，且x+y=0，所以xy+yx=x2+y2xy=x2+y2+2xy2xyxy=x+y22xyxy=2xyxy=2，所以充分性成立；必要性：因为xy0，且xy+yx=2，所以xy+yx=x2+y2xy=x2+y2+2xy2xyxy=x+y22xyxy=x+y2xy2=2，所以x+y2xy=0，所以x+y2=0，所以x+y=0，所以必要性成立.所以“x+y=0”是“xy+yx=2”的充要条件.故选：C.