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1、2024年江西省南昌二中高考数学适应性试卷（三）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于A2023B2024C2025D20482从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它们的质量（单位：如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的四分位数不可能是A8.75B8.15C9.9D8.53，为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为A相切B相交C相离D相切或相交4已知，表示两条直线，表示三个平面，则下列是真命题的有个若，则；若，
2、相交且都在，外，则；若，则；，则A1B2C3D45已知，则的值为AB1C4D6已知向量，若向量在向量上的投影向量，则ABC3D77已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若，点满足，且，则椭圆的离心率为ABCD8已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间A，B，CD，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是ABCD10若的三个内角，的正弦值为，则A，一定能构成三角形的三条边B一定能构成三角形的三条边C，一定能构成三角形的三条边D一
3、定能构成三角形的三条边11已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，且，则下列说法正确的是A存在实数，使得BCD为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12设为复数的共轭复数，若复数满足，则13正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 14已知不等式对恒成立，则当取最大值时，四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知函数（1）若曲线在点，（2）处的切线与直线平行，求出这
4、条切线的方程；（2）讨论函数的单调性16（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：每次祈愿获取五星角色的概率；若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数（1）求的概率分布；（2）求的数学期望参考数据：17（15分）在三棱柱中，点为中点（1）求的长；（2）求直线与平面所成角的正弦值18（17分）已知为曲线上任意一点，直线，与圆相切，且分别与交于，两点，为坐标原点（1）若为定值，求的值，并说明理由；（2）若，求面积
5、的取值范围19（17分）已知，为有穷正整数数列，且，集合，0，若存在，2，使得，则称为可表数，称集合，2，为可表集（1）若，2，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；（2）若，2，证明：；（3）设，2，若，2，求的最小值2024年江西省南昌二中高考数学适应性试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于A2023B2024C2025D2048【解析】：，则故选：2从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它们的质量（单位：如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.
6、5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的四分位数不可能是A8.75B8.15C9.9D8.5【解析】：将这12个数据从小到大排序得：7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，由，可知这组数据的第25百分位数为，由，可知这组数据的第50百分位数为，由，可知这组数据的第75百分位数为，所以这组数据的四分位数不可能是9.9故选：3，为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为A相切B相交C相离D相切或相交【解析】：由圆的方程得到圆心坐标为，半径，由为圆内一点得到：，则圆心到已知直线的距离，所以直线与圆的位置关系为：相离故
7、选：4已知，表示两条直线，表示三个平面，则下列是真命题的有个若，则；若，相交且都在，外，则；若，则；，则A1B2C3D4【解析】：对于，比如三棱柱的三个侧面，两两相交，且侧棱平行，满足条件，但它们不平行，故错；对于，若，相交且都在，外，由面面平行的判定定理可得，设，相交确定的平面为，则有，则有，故对；对于，若，则或、相交，由于可和交线平行，故错；对于，若，则或、相交，由于、可和交线平行，故错故选：5已知，则的值为AB1C4D【解析】：在中，而，由二项式定理知展开式的通项为，令，解得，令，则，故，同理令，解得，令，解得，故，故故选：6已知向量，若向量在向量上的投影向量，则ABC3D7【解析】：向
8、量在向量上的投影向量，则，向量，则，故，则，解得，故选：7已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若，点满足，且，则椭圆的离心率为ABCD【解析】：如图：因为过的直线交椭圆于，两点，若，所以，所以，又因为，所以，所以是的平分线，又因为，所以，所以，所以，点在椭圆：上，所以，解得，所以故选：8已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间A，B，CD，【解析】：当时，因为此时的最小值为，所以，即若，此时能取到最小值，即，整理得：，代入可得，满足要求；若取不到最小值，则需满足，即，所以或者，所以所有满足条件的的积属和，故满足的区间为，故选：二、选择题：本题共3小题，每小题6分
9、，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是ABCD【解析】：，则，对都成立，又，所以，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是故选：10若的三个内角，的正弦值为，则A，一定能构成三角形的三条边B一定能构成三角形的三条边C，一定能构成三角形的三条边D一定能构成三角形的三条边【解析】：对于，由正弦定理得，所以，作为三条线段的长一定能构成三角形，故正确，对于，由正弦定理得，例如，则，由于，故不能构成三角形的三条边长，故错误，对于，由正弦定理得，例如：、，则、，则，作为三条线段的长不能构成三角形，故不
10、正确；对于，由正弦定理可得，不妨设，则，故，且，所以，故正确故选：11已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，且，则下列说法正确的是A存在实数，使得BCD为定值【解析】：由方程，可得令，则有，即令函数，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，且，或，令，若，则故若，则，无解，综上：，故正确；由图结合单调性可知，故正确；若（1），则，又，故不正确；，故正确，故选：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12设为复数的共轭复数，若复数满足，则【解析】：对于方
11、程，由题意可知，、是关于实系数方程的两个虚根，由韦达定理可得故答案为：13正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 【解析】：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则正八面体的体积为此正八面体的外接球的球心为，半径为，到平面的距离等于到平面的距离，在中，过作的垂线，垂足为，则平面由，得，平面截正八面体的外接球所得截面是圆，其半径，所以所得截面的面积为故答案为：；14已知不等式对恒成立，则当取最大值
12、时，【解析】：因为，且，若，此时在趋向于0时，函数值趋向，而趋向于，所以在上不能恒成立，则，不妨设，函数定义域为，可得，不妨设，函数定义域为，可得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，当时，趋向正无穷时，趋向正无穷，所以，使得，此时，当时，；当，时，所以当时，函数单调递减；当，时，函数单调递增，所以，要使对恒成立，需满足恒成立，此时，即，当且仅当，即时等号成立，又，则，整理得，解得，则故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知函数（1）若曲线在点，（2）处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；（2）讨论函数的单调性【解析】：（1）根据
13、题意可得，（2），由已知（2），得，曲线在点，（2）处的切线方程为，化简得（2），令得或，当，即时，单调递减区间为，单调递增区间为，当，即时，单调递增区间为，无单调递减区间，当 即时，单调减区间为，单调增区间为，综上所述，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，16（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：每次祈愿获取五星角色的概率；若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立设表示在该祈
14、愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数（1）求的概率分布；（2）求的数学期望参考数据：【解析】：（1）某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：每次祈愿获取五星角色的概率；若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立，设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数，将每次祈愿获取五星角色的概率记为，的所有可能取值为1，2，3，90，从而，所以的概率分布为；（2）的数学期望，因为，所以17（15分）在三棱柱中，点为中点（1）求的长；（2）求直线与平面所成角的正弦值【解析】：（1）取的中点，连接，因为和均是边
15、长为2的等边三角形，所以，且，因为，所以，即，故以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，2，所以（2）由（1）知，0，0，2，所以，1，0，2，所以，1，因为为中点，所以，所以，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以，0，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为18（17分）已知为曲线上任意一点，直线，与圆相切，且分别与交于，两点，为坐标原点（1）若为定值，求的值，并说明理由；（2）若，求面积的取值范围【解析】：（1）由题意，设，当直线斜率不为0时，直线，因为直线与圆相切，所以，即，分联立得，所以，分，所以，因为，所以，分所以只需，所以或；分当直线
16、斜率为0时，也符合上式综上，或分（2）当时，由（1）知，即，同理，即，三点共线，所以，分当直线斜率不为0时，由（1）可知，故，分因为，令，所以分所以当时，的最小值为2，当时，的最大值为，当直线斜率为0时，综上，的取值范围为，分19（17分）已知，为有穷正整数数列，且，集合，0，若存在，2，使得，则称为可表数，称集合，2，为可表集（1）若，2，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；（2）若，2，证明：；（3）设，2，若，2，求的最小值【解析】：（1）31是，1024不是，理由如下：由题意可知，当，时，有，0，显然若，3，4，5，7，8，9，时，而，故31是可表数，1024不是可表数；（2）
17、由题意可知若，即，设，即，0，使得，所以，且，0，成立，故，所以若，2，则，即，中的元素个数不能超过中的元素，对于确定的，中最多有个元素，所以；（3）由题意可设，使，又，所以，即，而，即当时，取， 时，为可表数，因为，由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，1，2，使，所以，令 则有，0，2，设，由的任意性，对任意的，都有，0，2，又因为，所以对于任意的，为可表数，综上，可知的最小值为，其中满足，又当时，所以的最小值为8初、高中数学教研微信系列群简介： 目前有64个群，共10000多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群. 宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明： 1.本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关话题； 2.由于本群是集“研究写作发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片： 教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三 编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名 欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！ 群主二维码：见右图第17页（共17页）