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1、第七章7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值A级 必备知识基础练1.探究点一若离散型随机变量X的分布列为X01Pa2a22则X的均值E(X)=()A.2B.2或12C.12D.12.探究点一若随机变量X的分布列如表所示,则E()的值为()X012345P2x3x7x2x3xxA.118B.19C.209D.9203.探究点二若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)=()X024P0.30.20.5A.16B.11C.2.2D.2.34.探究点三今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为X,则E(X)的值为()A
2、.0.765B.1.75C.1.765D.0.225.探究点三甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率为13,乙、丙打中的概率均为t4(0t4),若甲、乙、丙都打中的概率是316,设X表示甲、乙两人中中靶的人数,则X的均值是()A.14B.25C.1D.13126.探究点一某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的均值是.7.探究点二离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3
3、,则a=,b=.8.探究点三为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:处罚金额x/元05101520会闯红灯的人数y8050402010(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少?(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.求这两种金额之和不低于20元的概率;若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和均值.B级 关键能力提升练9.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失
4、1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是()A.2 000元B.2 200元C.2 400元D.2 600元10.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c(0,1),已知他投篮一次得分的均值为2,则2a+13b的最小值为()A.323B.283C.143D.16311.(多选题)已知随机变量的分布列是-102Psin4sin4cos 其中0,2,则下列表述正确的是()A.sin4+sin4+cos =1B.cos =35C.E()=1D.sin =3512.(多选题)设p为非负实数,随机变量X的分布列为X012P12-pp1
5、2则下列说法正确的是()A.p0,12B.E(X)最大值为32C.p0,14D.E(X)最大值为5213.李老师从课本上抄录一个随机变量X的分布列如表:X123P!?!请小王同学计算X的均值,尽管“?”处完全无法看清,且两个“!”处字迹模糊,但能断定这两个“!”处的数值相同.据此,小王给出了正确答案E(X)=.14.袋中原有3个白球和2个黑球,每次从中任取2个球,然后放回2个黑球.设第一次取到白球的个数为,则E()=,第二次取到1个白球1个黑球的概率为.15.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由
6、于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值.16.A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员分别是A1,A2,A3,B队队员分别是B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下.对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1和B12313A2和B22535A3和B32535现按表中对阵方式出场比赛,胜队得1分,负队得0分.设A,B两队最后所得总分分别为X,Y.(1)求X,Y的分布
7、列;(2)求E(X),E(Y).C级 学科素养创新练17.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.参考答案7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值1.C由分布列的性质知,a2+a22=1,解得a=1或a=-2(舍去).所以E(X)=012+112=12.2.C由题可得,2x+3x+7x+2x+3x+x=1
8、,则x=118,E(X)=02x+13x+27x+32x+43x+5x=40x=209.3.A由题中表格可求E(X)=00.3+20.2+40.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=52.4+4=16.故选A.4.B当X=0时,P(X=0)=(1-0.9)(1-0.85)=0.015;当X=1时,P(X=1)=0.9(1-0.85)+0.10.85=0.22;当X=2时,P(X=2)=0.90.85=0.765.所以E(X)=00.015+10.22+20.765=1.75.5.D316=13t4t4,t=3(t=-3舍去).记X的所有可能取值为0,1,2,则分布列为X012P1671
9、214E(X)=016+1712+214=1312.6.4 760由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故该公司一年后收益的均值是6 0000.96+(-25 000)0.04=4 760.7.1100易知E(X)=1(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+10b=3.又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,由,得a=110,b=0.8.解(1)由题意可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是40200-10200=320.(2)设“两种金
10、额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有C52=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=610=35.根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为X5101520253035P110110151515110110故E(X)=5110+10110+1515+2015+2515+30110+35110=20.9.B出海的期望效益为5 0000.6+(1-0.6)(-2 000)=3 000-800=2 200(元).10.D由题意知均值是2,则3a+2b=2,即3a2+b=1,则2a+13b=3a2+b2a+13b
11、=3+13+a2b+2ba103+2=163,当且仅当a=2b=12时,等号成立.故2a+13b的最小值为163.11.ABC对于A,由随机变量的分布列的性质,得sin4+sin4+cos =1;对于B,由sin4+sin4+cos =1,得sin +2cos =2,联立sin=2-2cos,sin2+cos2=1,得5cos2-8cos +3=0,解得cos =35或cos =1(舍去);对于D,因为0,2,则sin =45;对于C,E()=-sin4+2cos =-1445+235=1.12.AB由表可得012-p12,0p12,解得p0,12,均值E(X)=012-p+1p+212=p+
12、1,当且仅当p=12时,E(X)取最大值,最大值为32.13.2设“!”为x,“?”为y,则2x+y=1.E(X)=4x+2y=2(2x+y)=2.14.652750由题意得的可能取值为0,1,2,P(=0)=C22C52=110,P(=1)=C21C31C52=35,P(=2)=C32C52=310,故E()=0110+135+2310=65.第二次取到1个白球1个黑球的概率为P=110C31C21C52+35C21C31C52+310C11C41C52=2750.15.解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C4
13、3C63C63=1100.因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=C31C33C64=15,P(X=2)=C32C32C64=35,P(X=3)=C33C31C64=15.所以X的分布列为X123P153515E(X)=115+235+315=2.16.解(1)X的可能取值分别为3,2,1,0,则P(X=3)=232525=875,P(X=2)=232535+132525+233525=2875,P(X=1)=233535+132535+133525=25,P(X=0)=133535=325.根据题意,X+Y
14、=3,则P(Y=0)=P(X=3)=875,P(Y=1)=P(X=2)=2875,P(Y=2)=P(X=1)=25,P(Y=3)=P(X=0)=325.故X的分布列为X0123P325252875875Y的分布列为Y3210P325252875875(2)E(X)=3875+22875+125+0325=2215.因为X+Y=3,所以E(Y)=3-E(X)=2315.17.解记E=“甲组研发新产品成功”,F=“乙组研发新产品成功”.由题设知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E与F,E与F,E与F,E与F都相互独立.(1)记H=“至少有一种新产品研发成功”,则H=E F,于是P(H)=P(E)P(F)=1325=215,故所求的概率为P(H)=1-P(H)=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X=0)=P(E F)=1325=215,P(X=100)=P(EF)=1335=15,P(X=120)=P(EF)=2325=415,P(X=220)=P(EF)=2335=25,故X的分布列为X0100120220P2151541525均值E(X)=0215+10015+120415+22025=140.8