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1、第七章7.5正态分布(参考数据:若XN(,2),则P(-X+)0.682 7;P(-2X+2)0.954 5;P(-3X+3)0.997 3)A级 必备知识基础练1.探究点二某厂生产的零件外径XN(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm,则可认为()A.上午生产情况正常,下午生产情况异常B.上午生产情况异常,下午生产情况正常C.上午、下午生产情况均正常D.上午、下午生产情况均异常2.探究点一如图所示是当取三个不同值1,2,3的三种正态曲线的图象,那么1,2,3的大小关系是()A.11230B.01212130D.012=1p2B.p
2、164)0.977 25D.P(64X2)的值为1+a2D.已知X是一个离散型随机变量,则E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+314.已知随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=12e-(x-1)22,xR,则函数f(x)的极值点为,X落在区间(2,3上的概率约为.15.2023广东佛山二模某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标XN(800,2),且P(X801)=0.6,现从该生产线上随机抽取10片瓷砖,记Y表示800X801的瓷砖片数,则E(Y)=.16.某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N
3、(65,4.84).(1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73 mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;(2)如果钢管的直径X在60.6 mm69.4 mm之间为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望.(精确到0.01)C级 学科素养创新练17.某市教育局为了了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分),经分析,全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,2),已知P(X95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三位同学.(1)求抽
4、到的三位同学该次体能测试成绩在区间(80,85),(85,95),(95,100)内各有一位同学的概率;(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为,求随机变量的分布列和数学期望E().参考答案7.5正态分布1.A因测量值X为随机变量,又XN(10,0.04),所以=10,=0.2,记I=-3,+3=9.4,10.6,则9.9I,9.3I.故选A.2.D当=0,=1时,正态曲线f(x)=12e-x22在x=0处取最大值12,故2=1.由正态曲线的性质,得当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,反之越“矮胖”.故选D.3.D由题知对应的正态曲线的对称轴为直线x=
5、0,所以P(X110)=1-2P(90100)2=0.2,故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.250=10.7.解设此地外来务工人员年均收入XN(,2),结合题图可知,=8 000,=500.(1)此地外来务工人员年均收入的正态密度函数解析式为f(x)=15002e-(x-8 000)225002,xR.(2)P(7 500X8 500)=P(8 000-500X8 000+500)0.682 7,P(8 000X8 500)=12P(7 500X8 500)0.341 35=34.135%.故此地外来务工人员年均收入在8 0008 500元的人数所占的百分比约为34.135%.8
6、.解成绩服从正态分布N(80,52),=80,=5,则-=75,+=85.成绩在75,85内的同学约占全班同学的68.27%,成绩在80,85内的同学约占全班同学的34.135%.设该班有x名同学,则34.135%x=17,解得x50.-2=70,+2=90,成绩在70,90内的同学约占全班同学的95.45%,成绩在90分以上的同学约占全班同学的2.275%.502.275%1,故估计该班成绩在90分以上的同学有1人.9.C由题意知=0,=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.10.D随机变量X服从正态分布N(100,102),E(X)=100,D(X)=2=102=100,故A
7、,B正确;根据题意可得P(90X110)0.682 7,P(80X120)0.954 5,P(X90)0.5+120.682 7=0.841 35,故C正确;P(X120)0.5+120.954 5=0.977 25,故D错误.故选D.11.A因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X108)=121-P(88X108)=121-P(-X+)12(1-0.682 7)=0.158 65.所以0.158 659 4551 500.12.ACD因为正态曲线在(-,80上单调递增,在80,+)内单调递减,所以正态曲线关于直线x=80对称,所以=80,故A正确;因为P(72X88)
8、0.682 7,结合P(-X+)0.682 7,可知=8,故B错误;因为P(-2X+2)0.954 5,且P(X96),所以P(X64)0.977 25,故C正确;因为P(X72)=12(1-P(72X88)12(1-0.682 7)=0.158 65,所以P(64X64)-P(X72)0.977 25-(1-0.158 65)=0.135 9,故D正确.13.AB随机变量X服从二项分布B6,12,则P(X=3)=C631231-123=516,故A正确;随机变量X服从正态分布N(2,2),正态曲线的对称轴是直线x=2,P(X4)=0.9,P(2X4)=0.4,P(0X2)=P(2X4)=0.
9、4,故B正确;已知随机变量XN(0,2),若P(|X|2)=a,则P(X2)=121-P(|X|2)=1-a2,故C错误;已知X是一个离散型随机变量,则E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),故D错误.14.x=10.135 9由概率分布密度函数知=1,=1,所以正态密度曲线关于直线x=1对称,且在x=1处取得最大值.根据正态密度曲线的特点可知x=1为f(x)的极大值点.由XN(1,1)知P(2X3)=12P(-1X3)-P(0X2)=12P(1-21X1+21)-P(1-1X1+1)12(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.15.1由题意,XN(800,2)
10、,所以正态曲线关于直线X=800对称,所以P(X800)=0.5.因为P(X801)=P(X800)+P(800X801)=0.6,所以P(800X71.6)=1-P(58.4X71.6)21-0.997 32=0.001 35,而73(+3,+),此事件为小概率事件,故该质检员的决定有道理.(2)因为=65,=2.2,-2=60.6,+2=69.4,由题意可知钢管直径满足-2X+2为合格品,所以该批钢管为合格品的概率约为0.95,所以在60根钢管中,合格品约57根,次品约3根,任意挑选3根,则次品数Y的可能取值为0,1,2,3.P(Y=0)=C30C573C603=1 4631 711,P(
11、Y=1)=C31C572C603=1 1978 555,P(Y=2)=C32C571C603=17134 220,P(Y=3)=C33C570C603=134 220.则次品数Y的分布列为Y0123P1 4631 7111 1978 55517134 220134 220所以E(Y)=01 4631 711+11 1978 555+217134 220+3134 220=0.15.17.解(1)P(80X85)=0.5-P(X75)=0.2,P(85X95)=0.5-0.2-0.1=0.2,故所求概率P=A330.20.20.1=0.024.(2)P(75X85)=1-2P(X75)=0.4,故B(3,0.4),P(=0)=0.63=0.216,P(=1)=C310.40.62=0.432,P(=2)=C320.420.6=0.288,P(=3)=C330.43=0.064.所以随机变量的分布列为0123P0.2160.4320.2880.064E()=30.4=1.2.8