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1、 “计数原理（习题课）” 学习目标：1.了解两个计数原理，会用两个原理解决简单的计数问题；2.能正确区分排列与组合，通过对实际问题的分析，比较排列与组合的异同；3.通过对排列组合常见题型的梳理，初步形成解决计数问题的意识，发展直观抽象和求解运算能力。教学过程：题型一、两个计数原理的应用例1（1）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A324 B.328 C.360 D.648例1（2）现有彩电3台冰箱2台，从中任选3件电器，要求彩电冰箱至少各1台，有（ ）种不同的选法. A18 B.36 C.9 D.15方法规律:1.应用两个计数原理的关键在于明确分类还是分步.在
2、处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.3.混合问题一般是先分类再分步.题型二、排列问题例2（教材38页习题） 某种产品的加工需要经过5道工序.（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果其中某2道工序不能放在最前，
3、也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？（5）如果A工序必须排在B工序的前面，那么有多少种加工顺序？规律方法：排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型三、组合问题例3（教材27页13题） 从5名男生和4名女生
4、中选出4人去参加一项创新大赛.（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？规律方法：组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解
5、，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.题型四、分组分配问题例4.教育部为发展平困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分配到相应的地区任教。现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要分配都3所学校去任教。（1）如果每所学校2名，有多少种不同的分配方法；（2）如果两所学校各1名，另一所学校4名，有多少种不同的分配方法；（3）如果一所学校1名，一所学校2名，一所学校3名，有多少种不同的分配方法；（4）如果甲校1名，乙校2名，丙校3名，有多少种不同的分配方法.规律方法1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所
6、以分组后一定要除以Ann (n为均分的组数)，避免重复计数;2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！;3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论,在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.课堂小结:1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排； (2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排； (4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理； (6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理； (8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型； (10)正难则反，等价条件.学科网（北京）股份有限公司