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1、奉贤中学高三（下）数学开学一填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 函数的定义域是_.【答案】且【解析】【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.【详解】由题意，要使函数有意义，则，解得，且；故函数的定义域为：且.故答案为：且.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.2. 函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是_.【答案】2【解析】【分析】计算自变量的增量与函数值的增量，可得平均变化率.【详解】函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是=2.故答案为2.【点睛】本题考查平均变化率的概念、计算，属于简单题.3
2、. 若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_倍；【答案】3；【解析】【分析】分别计算侧面积和底面积后再比较【详解】由题意，故答案为3【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键属于基础题4. 已知两个单位向量，满足，则向量，的夹角为_【答案】#【解析】【分析】首先根据平面向量的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：由单位向量，满足，得，所以，所以，又,所以.故答案为：5. 已知虚数是方程的一个根，则_【答案】3【解析】【分析】根据实系数的一元二次方程的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出、的值详解】虚数是方程的一个根，共轭虚数也
3、是此方程的一个根，；故答案为：3【点睛】本题考查了实系数的一元二次方程两个虚数根互为共轭复数以及根与系数关系的应用问题，是基础题6. 下列命题中错误的是_将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系若某人吸烟，则他有的可能性患肺病【答案】【解析】【分析】根据均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对于，将一组
4、数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以错误；对于，在散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据线性相关系数为，所以错误；对于，由独立性检验得，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使推断出现错误，所以错误综上，错误的命题序号是故答案为：.7. 从1，2，3，15中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_【答案】【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出甲数大于乙数包含的基本事件个数，再由古典概型的概率公式求解.【详解】从1，2，3，15中，甲、乙两人各取一数(不重复)，甲取到的数是5的倍数，则基本事件总数，则甲
5、数大于乙数包含的基本事件有： ，共27个，甲数大于乙数的概率故答案为：8. 在的展开式中，项的系数为_.（结果用数值表示）【答案】45【解析】【分析】由二项式展开得项只能展开式中，进一步结合二项式系数即可求解.【详解】，项只能在展开式中，即为，系数为.故选：45.9. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点，则的最小值为_【答案】3【解析】【分析】由题意可知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值.【详解】
6、设抛物线的方程为，因为，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3.故答案为：3.10. 已知定义在R上的偶函数满足.若，且在单调递增，则满足的x的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意可知，是周期为的周期函数，的最小正周期为8，结合与的单调性，易知在一个周期内，由，可得，再结合周期求出范围即可.【详解】因为是偶函数，所以，由，可得关于对称，因为，所以，则，因为是偶函数，所以，因为，所以，则，所以函数是周期为的周
7、期函数.因为是偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，令中，则，则，又因为关于对称，所以在上单调递增，上单调递减，结合函数是周期为的周期函数，综上可得在，上单调递增，上单调递减.因为的最小正周期为，结合图象可知，在，上单调递增，在上单调递减，令中，则，则，当，又，所以，当，又，所以，所以当时，解得.又因为与均为周期函数，且8均为其周期，所以的x的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题解题的关键是求出与的周期性，由，结合函数的单调性和周期性求解即可.11. 若函数()的最大值为11，则_.【答案】【解析】【分析】根据绝对值的几何意义圆的三角代换即可求解.【详解】的几何意义为：以原点为圆心，为半径的圆
8、周上点到与到轴距离之和的最大值为11，故.所以.故答案为：50.12. 已知为数列的前n项和，数列满足，且，是定义在R上的奇函数，且满足，则_【答案】0【解析】【分析】利用数列通项公式与前n项和公式的关系求通项的递推关系，再构造等比数列求出通项公式.根据和f(x)是R上奇函数可得f(x)是周期为4的函数，且f(0)f(2)0.，将用二项式定理展开，其中能被4整除的部分在计算时即可“去掉”，由此即可求出答案.【详解】，两式相减得，即，即数列是以为首项，3为公比的等比数列，.是定义在R上的奇函数，且满足，令，则，又f(x)，f(2x)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)f(x)，即f
9、(x4)f(x)，即是以4为周期的周期函数.其中能被4整除，.故答案为：0【点睛】本题综合考察了数列求通项公式的两个方法：利用通项公式和前n项和公式的关系，以及构造等比数列，考察了函数周期的求法，还考查了利用二项式定理处理整除问题，属于难题.二单选题（本大题共4题，满分20分）13. 已知实数、，那么是的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】等式两边平方结合反例即可判断.【详解】因为，所以必要性不成立；当时，满足，但，所以充分性不成立；所以是的既不充分也不必要条件.故选:D14. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示则有A. B.
10、 C. D. 【答案】A【解析】【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A15. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ） 圆的面积为；椭圆的长轴长为；双曲线两渐近线的夹角正切值为；抛物线的焦点到准线的距离为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】对于，利用圆锥的几何性质确定圆的半径，即可求得圆的面积；对于，结合圆锥的
11、轴截面可求得椭圆的长轴长；对于，建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线上的点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得双曲线两渐近线的夹角正切值；对于，建立平面直角坐标系，设抛物线方程，确定抛物线上的点的坐标，即可求得参数，由此可判断出答案.【详解】对于，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为2，则圆的面积为，故正确；对于，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C，由题意可得M为母线的中点，则, 故椭圆的长轴长为,正确；对于，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点P到底面距离相等， 则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为，则设
12、双曲线方程为，则，将代入双曲线方程，得，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则，故双曲线两渐近线的夹角正切值为，错误；对于，如图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H， 则，则,设抛物线方程为，则，即抛物线的焦点到准线的距离为，错误，故正确的命题有2个，故选：B16. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PBPD于点EF(可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设,则，然后利用等体积法由，得到，再消元得到，令，利用对勾函数的性质求解.【详解】设,则所以， ，所以，则，令，因
13、为，所以，所以，所以，故选：D【点睛】方法点睛：求解棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解三解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 在三棱锥中，.（1）求证：；（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连接，证明平面即可；（2）首先证明平面，然后以射线，为，正半轴建系，然后算出和平面的法向量即可得到答案.【详解】（1）取中点，连接，因为，所以，又因为，所以平面，即.（2）由（1）得，平面，
14、又因为平面，所以平面平面，易得，所以，即，又因为平面平面，所以平面，如图所示，以射线，为，正半轴建系，设为平面一个法向量，则有，取，设为直线与平面所成角，则.即直线与平面所成角的正弦值为.18. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，.（1）求角B大小；（2）设，当时，求的最小值及相应的x.【答案】（1） （2）当时，有最小值.【解析】【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的值.【小问1详解】由已知条件得，由正弦定理得，即，,则，又 ,;【小问2详解】
15、,，则的最小值，其中，即当时，有最小值.19. 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.（1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 4
16、3.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2198 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：对照组实验组（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）；列联表见解析，（ii）能【解析】
17、【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】依题意，的可能取值为，则，所以的分布列为：故.【小问2详解】（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为，所以，故列联表为：合计对照组61420实验组14620合计202040（ii）由（i）可得，所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.20. 已知点为双曲线的左右焦点，过作垂
18、直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且的面积为.圆的方程是.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，若恒成立，试确定圆半径.【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）由面积可求，再根据双曲线的定义可求，从而可求双曲线的方程；（2）求出双曲线的渐近线方程，设两渐近线的夹角为，根据到角公式可求与，根据点到直线的距离公式可求，根据平面向量的数量积运算结合在双曲线上即可求解；（3）由题意可得，设，当的斜率存在时，设直线，与双曲线方程联立，根据韦达定理及可得，根据点到直线的距离公式
19、可求，当的斜率不存在时亦可求得.【小问1详解】因为的面积为，所以，所以，解得，此时，所以，故双曲线的方程为.【小问2详解】由题意得两条渐近线分别为，设双曲线上的点，设两渐近线的夹角为，则，得则点到两条渐近线的距离分别为，因为在双曲线上，所以，又，所以.【小问3详解】中点为，若，则设，当的斜率存在时，设直线，由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以,所以圆心到直线的距离.当的斜率不存在时，直线，得，也满足，综上，圆半径【点睛】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与
20、系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21. 已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，注：.（1）求证：函数在上是“绝对差有界函数”；（2）记集合存在常数，对任意的，有成立.求证：集合中的任意函数为“绝对差有界函数”；（3）求证：函数不是上的“绝对差有界函数”.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）将整理为，可知在上单调递增；可知，从而可将化简为，从而可知，得到结论；（2）取，根据，可得，从而可取得到结论；（3）取一个划分：，可将整理为；根据放缩可知只要足够大，可使得，从而得到结论.【详解】（1）当时，在区间上为单调递增函数当，时，有，所以从而对区间的任意划分：存在，使得成立综上，函数在上是“绝对差有界函数”（2）证明：任取从而对区间的任意划分：和式成立则可取所以集合中的任意函数为“绝对差有界函数”（3）取区间的一个划分：，则有：所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分：满足所以函数不是的“绝对差有界函数”【点睛】本题考查与新定义有关的证明问题，关键是能够理解新定义的具体含义，进而可通过单调性、不等关系、放缩的方式把关系式进行化简，从而可求得临界值的具体取值，再根据取值确认函数是否符合新定义，属于难题.