《专题04：导数及导数的应用-2024年新高考数学新题型试卷结构冲刺讲义含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题04：导数及导数的应用-2024年新高考数学新题型试卷结构冲刺讲义含答案.pdf（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 届新高考二轮复习第四讲届新高考二轮复习第四讲：导数及导数的应用导数及导数的应用15.已知函数 2ln2fxxxax=+在点 22f,处的切线与直线230 xy+=垂直（1）求a；（2）求 f x的单调区间和极值题型一：导数的计算及几何意义【典例例题】题型一：导数的计算及几何意义【典例例题】例 1.（2024 春湖北省）若点P是曲线2ln1yxx=-+上任意一点，则点P到直线2yx=-的最小距离为专题04：导数及导数的应用-2024年新高考数学新题型试卷结构冲刺讲义更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君（）A.1B.22
2、C.2D.3 22【变式训练】【变式训练】1.（2024 春新高考）已知函数 22e2xf xabxx=+-，若 11f=，则1f -=（）A1-B0C1D22.（2024 春安徽芜湖）若3()(1)cossinf xxaxax=+-+为奇函数，则曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程为 .3（2024 春重庆）已知定义在R上的偶函数 f x满足1212f xf xf x x=，且当0 x 时，0f x 若 33ffa=，则 f x在点11,33f-处的切线方程为 （结果用含a的表达式表示）4.（2024 春云南大理）（多选）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经
3、网络中的函数.tanh函数是常用的激活函数之一，其解析式为 221 e1 exxf x-=+，则（）Atanh函数是奇函数Btanh函数是减函数C对于实数a，当01a时，函数 yf xa=-有两个零点D曲线 yf x=存在与直线20 xy+=垂直的切线题型二：用导数研究函数的单调性题型二：用导数研究函数的单调性【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春安徽合肥）已知函数()()exf xxaxa=+-.(1)若1a=，分析()f x的单调性；(2)若2a 时，fxf x，则（）A 1ef=B 22efC00R,1xf x$-2（2024 春全国新高考）已知函数2()()exf xxa=-(
4、1)讨论()f x的单调性；(2)设1x，2x分别为()f x的极大值点和极小值点，记11,A xf x，22,B xf x（）证明：直线 AB 与曲线()yf x=交于另一点 C；（）在（i）的条件下，判断是否存在常数*(,1)n nnl+N，使得|ABBCl=若存在，求 n；若不存在，说明理由附：ln20.693=L，ln51.609=L3.（2024 春陕西西安）已知函数(1)()ln()a xf xxax-=-R.(1)求函数()f x的单调区间；(2)求证：当1a=时，对(1,2)x，不等式1(1)()12(1)xf xxx+-+-恒成立题型三：函数的极值和最值题型三：函数的极值和最
5、值【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春广东省）已知函数32()33f xxbxx=+有极值点()求函数()f x的单调区间及b的取值范围；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君()若函数()f x有两个极值点12,x x，且12()()0,f xf x+=求b的值.【变式训练】【变式训练】1.（2024 春黑龙江哈尔滨）已知函数 f x的定义域为|,Z2kx xk，且满足()()sin2tanf xfxxx-=，f x在 6x=-处取极值，则下列说法中正确的是（）A f x是奇函数B f x是偶函数C f x在76x=处取极小值D f x的最大值为 42.（2024 春
6、湖北武汉）已知函数2()sinf xxx=+（1）求曲线()yf x=在点,22f处的切线方程；（2）证明：5()16f x -3.（2024 春江西赣州）已知函数 ln2f xxax=+Ra(1)当1a=-时，求函数 f x的单调区间；(2)若 22g xf xx=-，不等式 1g x -在1,+上存在实数解，求实数a的取值范围4（2024 春河北衡水）已知函数 22(ln)(1),f xxa xa=-R(1)当1a=时，求 f x的单调区间；(2)若1x=是 f x的极小值点，求a的取值范围更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型四：导数的新颖题型题型四：导数的新颖题型【典
7、例例题】【典例例题】例 1.（2024 春 新 高 考）若 函 数 f x在,a b上 有 定 义，且 对 于 任 意 不 同 的12,x xa b，都 有1212fxfxk xx-，则称 f x为,a b上的“k类函数”.(1)若 22xf xx=+，判断 f x是否为1,2上的“3 类函数”；(2)若 21 eln2xxf xa xxx=-为1,e上的“2 类函数”，求实数a的取值范围；(3)若 f x为1,2上的“2 类函数”，且 12ff=，证明：1x，21,2x，121f xf x-，讨论函数 221ln1ef xxaxx=+-的稳定点个数.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：
8、高中试卷君2.（2024 春浙江宁波）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度考察如图所示的光滑曲线 C：yf x=上的曲线段AB，其弧长为sD，当动点从 A 沿曲线段AB运动到 B 点时，A 点的切线Al也随着转动到 B 点的切线Bl，记这两条切线之间的夹角为qD（它等于Bl的倾斜角与Al的倾斜角之差）显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义Ksq=为曲线段AB的平均曲率；显然当 B 越接近 A，即sD越小，K 就越能精确刻画曲线 C 在点 A 处的弯曲程度，因此定义3022lim1syKsyq=+（若极
9、限存在）为曲线 C 在点 A 处的曲率（其中 y，y 分别表示 yf x=在点 A 处的一阶、二阶导数）(1)求单位圆上圆心角为 60的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆2214xy+=在13,2处的曲率；(3)定义 32 21yyyj=+为曲线 yf x=的“柯西曲率”已知在曲线 ln2f xxxx=-上存在两点11,P xf x和22,Q xf x，且 P，Q 处的“柯西曲率”相同，求3312xx+的取值范围一、单项选择1（2024 春江苏常州）已知定义在R上的函数 f x的导数为 fx，1ef=，且对任意的x满足更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君 exfxf x 的解集是（）
10、A,1-B,0-C0,+D1,+2.（2024 春江西省）设a、b、0,1c满足sinab=，cosbc=，tanca=，则（）A2acb+，2acbB2acb+C2acb+，2acb，2acb二、填空题3（2024 春陕西）已知mR，函数3()1f xmxx=-+有两个极值点12,x x，则下列说法正确的序号为 若4m=，则函数()f x在11,22f处的切线方程为20 xy-=；m 可能是负数；121f xf x+=；若存在0 x R，使得00122f xf x+-，则504m成立，则21xx的最大值为 .5.（2024 春江西省）若12()elnxxxxf xxx-=+-，设()f x的
11、零点分别为12,nx xxL，则n=，1niix=.（其中 a表示 a 的整数部分，例如：2.12,3=）6.（2024 春湖北省）已知0a，0b，则在下列关系222ab+1eab-1cos23ab-eeeeabab-=+中，能作为“2ab+”的必要不充分条件的是_（填正确的序号）.三、简答题7（2024 春全国）设函数 lnf xxax a=-R.(1)若3a=，求函数 f x的最值；(2)若函数 g xxf xxa=-+有两个不同的极值点，记作12,x x，且12xx.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君8（2024 春天津宁河）已知函数 2ln2af xxx=+，aR(1
12、)当1a=时，求曲线 yf x=在 1,1f处的切线方程；(2)求 f x的单调区间；(3)设1212,0 x xxx是函数 g xf xax=-的两个极值点，证明：12ln2ag xg xa-0 x求证：212eex-R.判断命题p是q的什么条件，证明你的结论；(3)已知函数 eaxf xxb=-.若 f x的“自导函数”是yx=，试求a的取值范围；若1ab=，且定义 34e3xI xf xkxkx=-+，若对任意1,2,0,kxk，不等式 I xc恒成立，求c的取值范围.11（2024 春云南昆明）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余
13、弦函数 ee2xxch x-+=的图象，类比三角函数的三种性质：平方关系：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君22sincos1xx+=，和角公式：coscos cossin sinxyxyxy+=-，导数：sincos,cossin,xxxx=-定义双曲正弦函数 ee2xxsh x-=(1)直接写出 sh x，ch x具有的类似、的三种性质（不需要证明）；(2)若当0 x 时，sh xax恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)求 2cosf xch xxx=-的最小值12（2024 春江苏常州）已知函数 ecosxf xmxn=+，曲线 yf x=在点 0,0f处切线方程为y
14、x=(1)讨论函数 f x在,-+上的单调性；(2)当0,x+时，3sinf xxax-恒成立，求实数a的取值范围更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 届新高考二轮复习第四讲届新高考二轮复习第四讲：导数及导数的应用导数及导数的应用15.已知函数 2ln2fxxxax=+在点 22f,处的切线与直线230 xy+=垂直（1）求a；（2）求 f x的单调区间和极值【答案】（1）3a=-（2）单调递增区间为10,2、1,+，单调递减区间为1,12，极大值3ln24-，极小值0【解析】【小问 1 详解】12fxxax=+，则 1922 222faa=+=+，由题意可得92123
15、a+-=-，解得3a=-；【小问 2 详解】由3a=-，故 2ln32f xxxx=+-+，则 2211123123xxxxfxxxxx-+=+-=，0 x，故当102x，当112x时，0fx时，()0fx，故 f x的单调递增区间为10,2、1,+，f x的单调递减区间为1,12，故 f x有极大值211113ln32ln222224f=+-+=-，有极小值 21ln1 13 120f=+-+=.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型一：导数的计算及几何意义题型一：导数的计算及几何意义【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春湖北省）若点P是曲线2ln1yxx=-+上任
16、意一点，则点P到直线2yx=-的最小距离为（）A.1B.22C.2D.3 22【答案】D【解析】【详解】设00(,)P xy，函数2ln1yxx=-+的定义域为(0,)+，求导得12yxx=-，当曲线2ln1yxx=-+在点P处的切线平行于直线2yx=-时，00121xx-=，则00(1)(21)0 xx-+=，而00 x，解得01x=，于是201ln1 12y=-+=，平行于2yx=-的直线与曲线2ln1yxx=-+相切的切点坐标为(1,2)，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以点P到直线2yx=-的最小距离即点(1,2)到直线2yx=-的距离|1 22|3 222d-=
17、故选：D【变式训练】【变式训练】1.（2024 春新高考）已知函数 22e2xf xabxx=+-，若 11f=，则1f -=（）A1-B0C1D2【答案】C【详解】因为 22e2xf xabxx=+-，则 22e21xfxaxbx=+，则222e212e21xxfxaxbxaxbx-=-+-=-+，所以，222e212e212xxfxfxaxbxaxbx+-=+-+=，所以，11112fff+-=+-=，故11f -=.故选：C.2.（2024 春安徽芜湖）若3()(1)cossinf xxaxax=+-+为奇函数，则曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程为 .【答案】yx=【详解
18、】因为3()(1)cossinf xxaxax=+-+为奇函数，且定义域为R，所以(0)10fa=-=，得到1a=，当1a=时，3()sinf xxx=+，33()()sin()sin()fxxxxxf x-=-+-=-=-，所以1a=满足意义，故3()sinf xxx=+，所以2()3cosfxxx=+，故(0)cos01f=，又(0)0f=，所以曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程为yx=，故答案为：yx=.3（2024 春重庆）已知定义在R上的偶函数 f x满足1212f xf xf x x=，且当0 x 时，0f x 若 33ffa=，则 f x在点11,33f-处的切线方
19、程为 （结果用含a的表达式表示）【答案】920+=xay【详解】因为 3fa=，所以 33ff xfx=，即 3af xfx=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君令13x=，有 113aff=，令1x=，有 13affa=，所以 11f=，113fa=，因为 f x为偶函数，所以11133ffa-=，由 33afxfx=，令1x=得 1333affa=，所以 13f=，令13x=得 13193aff=，所以193fa=，因为 f x为偶函数，所以193fa-=-，所以 f x在点11,33f-处的切线方程为1913yxaa-=-+，即920+=xay.故答案为：920+=xa
20、y.4.（2024 春云南大理）（多选）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.tanh函数是常用的激活函数之一，其解析式为 221 e1 exxf x-=+，则（）Atanh函数是奇函数Btanh函数是减函数C对于实数a，当01a+恒成立，所以tanh函数是增函数，故 B 错误；当0 x 时，221 11 exf x-=-+恒成立，所以 yf x=在,0-上单调递减，在0,+上单调递增，且 0,1yf x=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君故当01a时，yf x=与直线ya=有两个交点，故函数 yf xa=-有两个零点.C 正确；22222
21、224e441ee22 ee21 exxxxxxfx-=+，且 0,1fx，所以 2fx，故曲线 yf x=不存在与直线20 xy+=垂直的切线.D错误.故选：AC.题型二：用导数研究函数的单调性题型二：用导数研究函数的单调性【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春安徽合肥）已知函数()()exf xxaxa=+-.(1)若1a=，分析()f x的单调性；(2)若2a -，证明：()f x在(,0)-，(0,)+内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.【答案】(1)()f x在R上单调递增 (2)证明见解析【详解】（1）若1a=，则()(1)e1,()e2e1xxxf xxxfxx=
22、+-=+.设()e2e1xxg xx=+，则()(3)exg xx=+，令()0g x=，得3x=-，当3x -时，()0g x-时，()0g x，则()g x在(3,)-+上单调递增，所以333()(3)3e2e1e10g xg-=-+=-+，所以()0fx，所以()f x在R上单调递增.（2）()(1)e1xfxxa=+.设()()xfxj=，则()(2)exxxaj=+，令()0 xj，解得2xa-，令()0 xj，解得2xa-，则()jx在(,2)a-上单调递减，在(2,)a-+上单调递增.若2a，则2min()(2)e10axajj-=-=-+，又(0)20aj=+，当x -时，()
23、1xj，当x +时，()xj+，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以()jx在(,0),(0,)-+内各恰有一个零点，设为1212,02x xxax-.当1xx时，()0,()xf xj单调递增，当12xxx时，()0,()xf xj=时，fxf x，则（）A 1ef=B 22efC00R,1xf x$-【答案】ABD【详解】A 项，在 f x中，10e,12ff=，函数12yfx=+为奇函数，所以函数12yfx=+为偶函数，则1122fxfx+=-+，所以函数 f x关于12x=对称，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以 10eff=，故 A 正确；B
24、 项，令 xf xg x=e，因为当12x 时 fxf x，所以当12x 时，2ee0eexxxxfxf xfxf xgx-=，函数 g x单调递增，所以 2121e211eeeffgg=，所以 22ef，B 正确；C 项，当12x 时，112211120e2eexff xg xg=，所以 0fxf x，函数 f x单调递增，所以当12x 时，函数 f x单调递减，则 f x在12x=取得最小值为 1，所以不存在00R,1xf x时，令 exh xx=-，e10 xh x=-，函数 h x单调递增，所以 0e0e01xh xxh=-=-=，则e1xx+，所以0.1e1 0.11.1+=，0.1
25、11e1.10.622-=，令 ln 1xxxj=+-，11011xxxxj=-=-+，所以函数 xj单调递减，ln 10ln 1 000 xxxjj=+-=+-=，所以ln 1xx+，所以ln1.1ln 1 0.10.1=+，11ln1.10.10.622-时，函数 f x单调递增，所以0.1eln1.1ff-，D 正确；故选：ABD.2（2024 春全国新高考）已知函数2()()exf xxa=-(1)讨论()f x的单调性；(2)设1x，2x分别为()f x的极大值点和极小值点，记11,A xf x，22,B xf x（）证明：直线 AB 与曲线()yf x=交于另一点 C；（）在（i）
26、的条件下，判断是否存在常数*(,1)n nnl+N，使得|ABBCl=若存在，求 n；若不存在，说明理由附：ln20.693=L，ln51.609=L【答案】(1)()f x在(,2)a-，(,)a+单调递增，在(2,)aa-单调递减(2)（）证明见解析；（）存在，4n=【详解】（1）因为2()()exf xxa=-，则2()2()e()e(2)()exxxfxxaxaxaxa=-+-=-+-，令()0fx=得2=-xa或xa=，当,2xa-与,a+时，()0fx；当(2,)xaa-时，()0fx；所以()f x在(,2)a-，(,)a+单调递增，在(2,)aa-单调递减（2）由（1）得12x
27、a=-，2xa=，（）直线AB的方程为()(2)()()(2)f af ayf axaaa-=-，即22eayxa-=-，由22()()e2exayf xxayxa-=-=-，得 2e2e0 xaxaxa-+=，设 2e2exag xxa-=-+，则()e()e(1)exxxg xxaxa=+-=-+，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君令()0g x=得1xa=-，当(,1)xa-时，()0g x；所以()g x在(,1)a-单调递减，在(1,)a-+单调递增，因为(2)0g a-=，2(1)(2e)e0ag a-=-，所以()g x有且仅有 2 个零点2a-，0 x，其中0
28、(1,)xaa-，这表明方程2()()e2e0 xaxaxa-+=的解集为02,ax a-，即直线 AB 与曲线()yf x=交于另一点 C，且 C 的横坐标为0 x，（）由（）得020e2exaax-=，即 00lnln22axax-=-，假设存在常数*(,1)n nnl+N，使得ABBCl=，则0022aaaxaxl-=-，所以02xal=-，代入可得2ln20ll+-=设 2ln2h xxx=+-，则22()xh xx-=令()0h x=得2x=当(1,2)x时，()0h x所以()h x在(1,2)单调递减，在(2,)+单调递增因为(1)0h=，3(4)2ln22 0.7 1.502h
29、=-=，所以存在唯一的(4,5)l，使得()0hl=此时0222002e2ee2eaxaag xxall-=-+=-+ln22222ee2ee20aallll-=-+=-+=因此，存在常数*(,1)n nnl+N，使得|ABBCl=，且4n=4.（2024 春陕西西安）已知函数(1)()ln()a xf xxax-=-R.(1)求函数()f x的单调区间；(2)求证：当1a=时，对(1,2)x，不等式1(1)()12(1)xf xxx+-+-恒成立【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【详解】（1）定义域为(0,)+，由(1)()ln()
30、a xf xxax-=-R，得221()axafxxxx-=-=，0a 时，()0fx，则()f x在(0,)+上为增函数；0a 时，由()0fx，得xa，由()0fx，得0 xa时，()f x在(,)a+上为增函数，在(0,)a上为减函数（2）证明：当1a=时，11()lnln1xf xxxxx-=-=-+，则1(1)()1(1)lnxf xxxx+-+=+(1,2),10 xx+Q，要证原不等式成立，即证2(1)ln1xxx-+对(1,2)x 恒成立，令2(1)()ln1xg xxx-=-+，则22212(1)2(1)(1)()0(1)(1)xxxg xxxx x+-=-=+，()g x在
31、(0,)+上为增函数，当(1,2)x时，2(1 1)()(1)ln10(1 1)g xg-=-=+，2(1)ln1xxx-+对(1,2)x 恒成立(1)ln2(1)xxx+-对(1,2)x 恒成立题型三：函数的极值和最值题型三：函数的极值和最值【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春广东省）已知函数32()33f xxbxx=+有极值点()求函数()f x的单调区间及b的取值范围；()若函数()f x有两个极值点12,x x，且12()()0,f xf x+=求b的值.【答案】(I)()f x的增区间为2(,1)bb-，2(1,)bb-+-+，减区间为22(1,1)bbbb-+-，更多全
32、科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君1b；(II)62b=【详解】(I)求单调区间先求导2()3(21)fxxbx=+，2(2)40bD=-，解得1b 或1b 或1b -，则62b=【变式训练】【变式训练】1.（2024 春黑龙江哈尔滨）已知函数 f x的定义域为|,Z2kx xk，且满足()()sin2tanf xfxxx-=，f x在 6x=-处取极值，则下列说法中正确的是（）A f x是奇函数B f x是偶函数C f x在76x=处取极小值D f x的最大值为 4【答案】C【详解】因为()cos()sin()cos()()()2sincostansinsinf xxf xxfx
33、xf xfxfxxxxxx-=-=，所以2sin()cos()()2cossinsinxfxxf xf xxxx-=，所以()2sin(R)sinf xxC Cx=+，所以 22sinsinf xxCx=+，所以 4sin coscoscos(4sin)fxxxCxx Cx=+=+，因为 f x在6x=-处极值，所以3()(2)062fC-=-=，解得2C=，所以 22sin2sin(,Z)2kf xxx xk=+，所以 22sin2sinfxxxf x-=-且 22sin2sinfxxxf x-=-，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以 f x不是奇函数也不是偶函数，所以
34、 A、B 错误；对于 C 中，由 B 知，cos(24sin)fxxx=+，令 0fx=，解得2 6xk=-+或72,Z6xkk=+，则当7(,)6x时，0fx，所以 f x在76x=处取得极小值，所以 C 正确；对于 D 中，令sintx=，则(1,0)(0,1)t-，因为 2211222()22g tttt=+=+-，所以 2112(1)422g t+-=，所以 4f x -【答案】（1）24440 xy-+=（2）证明见解析【解析】【小问 1 详解】()cos2fxxx=+，2f=，2124f=+故曲线()yf x=在点,22f处的切线方程为214yx=-+，即24440 xy-+=【小
35、问 2 详解】由（1）得()cos2fxxx=+令函数()()u xfx=，则()sin20u xx=-+，所以()()u xfx=是增函数 因为(0)1f=，11cos1022f-=-，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以存在01,02x-，使得000()cos20fxxx=+=，即22001cos4xx=所以当0,xx-时，()0fx，所以()f x在0,x-上单调递减，在0,x+上单调递增2220000000111()sinsincossinsin444f xf xxxxxxx=+=+=-+因为01,02x-，所以011sinsinsin262x-=-，所以22001
36、111115sinsin44422416xx-+-+=-故5()16f x -3.（2024 春江西赣州）已知函数 ln2f xxax=+Ra(1)当1a=-时，求函数 f x的单调区间；(2)若 22g xf xx=-，不等式 1g x -在1,+上存在实数解，求实数a的取值范围【答案】(1)单调增区间为10,2，单调减区间为1,2+(2)12a【详解】（1）当1a=-时，ln2(0)f xxx x=-，12fxx=-，由 0fx，得102x，由 0fx，所以函数 f x的单调增区间为10,2，单调减区间为1,2+；（2）原条件等价于：2ln221g xxxax=-+-在1,+上存在实数解化
37、为2ln221xxax-+-在1,+上存在实数解，令 2ln212xxh xx-+-=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君则 222214ln212ln22xxxxxxxh xxx-+-+-+=，在1,+上，22ln0 xx+，得 222ln02xxh xx+=，故 h x在1,)+上单调递增，h x的最小值为 112h=，12a 时，不等式 1g x -在1,+上存在实数解4（2024 春河北衡水）已知函数 22(ln)(1),f xxa xa=-R(1)当1a=时，求 f x的单调区间；(2)若1x=是 f x的极小值点，求a的取值范围【答案】(1)f x在0,+上单调递
38、减 (2),1a-【详解】（1）当1a=时，22ln221lnxfxxxxxxx=-=-+，设 2lng xxxx=-+，则 211121xxgxxxx-+-=-+=，所以当0,1x时，0,gxg x单调递增，当1,x+时，0,gxg x单调递减，当1x=时，g x取得极大值 10g=，所以 10g xg=，所以 0,fxf x在0,+上单调递减；（2）22ln221lnxfxa xxaxaxxx=-=-+，设 2lnh xxaxax=-+，则 21212axaxh xaxaxx-+=-+=，（i）当a0时，二次函数 221F xaxax=-+开口向上，对称轴为21,84xaa=+，当80a-
39、时，280,0,aaF xh x=+单调递增，因为 10h=，所以当0,1x时，0,fxf x单调递增，所以1x=是 f x的极小值点更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君当8a，又 10,1104FFa，所以存在01,14x，使得00F x=，所以当0,xx+时，0,F xh x单调递增，又 10h=，所以当0,1xx时，0,fxf x单调递增，所以1x=是 f x的极小值点；（ii）当0a=时，2lnxfxx=，当0,1x时，0,fxf x，f x单调递增，所以1x=是 f x的极小值点；（iii）当01a，此时 110Fa=-，故01,x$+，使00F x=，当01,4xx
40、时，0,0F xh x，因此 h x在01,4x上单调递增，又 10h=，当1,14x时，0,fxf x单调递增，所以1x=为 f x的极小值点；（iv）当1a 时，01110,14Fax=-$，使00F x=，当0,xx+时，0,0F xh x单调递增，当1,x+时，0,fxf x单调递减，所以1x=为 f x的极大值点；（v）当1a=时，由（1）知1x=非极小值点综上所述，,1a-题型四：导数的新颖题型题型四：导数的新颖题型【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春 新 高 考）若 函 数 f x在,a b上 有 定 义，且 对 于 任 意 不 同 的12,x xa b，都 有更多全科
41、试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君1212fxfxk xx-，则称 f x为,a b上的“k类函数”.(1)若 22xf xx=+，判断 f x是否为1,2上的“3 类函数”；(2)若 21 eln2xxf xa xxx=-为1,e上的“2 类函数”，求实数a的取值范围；(3)若 f x为1,2上的“2 类函数”，且 12ff=，证明：1x，21,2x，121f xf x-.【答案】(1)22xf xx=+是1,2上的“3 类函数”，理由见详解.(2)2e 114eeea+(3)证明过程见详解.【详解】（1）对于任意不同的12,1,2x x，有1212xx，1224xx+，所以122
42、232xx+，2212121212121223222xxxxf xf xxxxxxx+-=+-+=-，所以 22xf xx=+是1,2上的“3 类函数”.（2）因为 eln1xfxaxxx=-，由题意知，对于任意不同的12,1,ex x，都有12122f xf xxx-，不妨设12xx，则21122122xxf xf xxx-，故112222f xxf xx+-，故 2fxx+为1,e上的增函数，2f xx-为1,e上的减函数，故任意1,ex，都有 22fx-，由 2fx可转化为ln3exxxax+，令 ln3exxxg xx+=，只需 minag x 212lnexxxxgxx+-=，令 2
43、lnu xxx=-，u x在1,e单调递减，所以 130u xu=-，0gx，e1 e，0h x，故 h x在01,x单调递增，当0,exx时，0m x，0h x，故 h x在0,ex单调递减，000e 12max0ln11eexxh xh xx+-=，故2e 114eeea+.（3）因为 f x为1,2上的“2 类函数”，所以12122f xf xxx-，不妨设1212xx，当1212xx-时，121221f xf xxx-；当12112xx-时，因为 12ff=，12112xx-1212121212f xf xf xfff xf xfff x-=-+-+-12121212 2212112x
44、xxx-+-=-+-+=，综上所述，1x，21,2x，121f xf x-，讨论函数 221ln1ef xxaxx=+-的稳定点个数.【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)答案见解析【详解】（1）设 23xg xf xxx=-=+-，则 2 ln2 10 xgx=+恒成立，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君故函数 g x在 R 上单调递增，又(1)0g=，故函数 g x在 R 上有唯一零点，即 f x有唯一不动点 1；（2）证明：充分性：设0 x为函数 f x的不动点，则00f xx=，则000ff xf xx=，即0 x为函数 f x的稳定点，充分性成立；必要性：设0
45、x为函数 f x的稳定点，即00ff xx=，假设00f xy=，而 f x在定义域内单调递增，若00yx，则00000ff xfyf xyx=，与00ff xx=矛盾；若00yx，则00000ff xfyf xyx=-时，函数 221ln1ef xxaxx=+-在(0),+上单调递增，由（2）知 f x的稳定点与 f x的不动点等价，故只需研究 f x的不动点即可；令 221ln,0,eF xf xxxaxxx=-=+-+，则 2221,0,eFxaxxx=+，则 Fx在0,+上单调递减，当0a 时，0Fx恒成立，即 F x在0,+上单调递增，当 x 无限接近于 0 时，F x趋向于负无穷小
46、，且 222222413eee0eeeFaa=+-=+，故存在唯一的200,ex，使得00F x=，即 f xx=有唯一解，所以此时 f x有唯一不动点；当a0时，即10a-，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君当 x 趋向无穷大时，221121e xx+趋近于 0，此时 10Fx，存在唯一10,x+，使得12211210eFxaxx=+=，此时 f x在1(0),x上单调递增，在1(,+)x上单调递减，故 1111122222max1111212121222lnlnlneeeeeF xF xxaxxxxxxx=+-=-=-，当 x 趋近于 0 时，F x趋向于负无穷大，当 x
47、 趋向正无穷大时，F x趋向于负无穷大，设 22222lneeh xxx=-，则 h x在0,+上单调递增，且2222422e0eeeh=-=，又221112eaxx=-在10,x+时单调递增，故（i）当 122max1222ln0eeF xxx=-=时，即21ex=，此时43ea=-，方程 0F x=有一个解，即 f x有唯一不动点；（ii）当 122max1222ln0eeF xxx=-shi，即21ex，此时431ea-时，即21ex，此时430ea-，方程 0F x=有两个解，即 f x有两个不动点；综上，当0a 时或43ea=-时，f x有唯一稳定点；当431ea-时，f x无稳定点
48、；当430ea-（不妨21tt）令 lnp xxx=，1 lnp xxp x+=在10,e递减，在1,e+递增，故21110ett；令 12lnlnln11tth ttttt=+=+-，2211ln11th tttt-=-+-，令21()ln1tm ttt-=-+(1)t，则21()(1)tm tt t-=+，当1t 时，()0m t恒成立，故()m t在(1,)+上单调递增，可得()(1)0m tm=，即21ln01ttt-+，故有 2211ln011th tttt-=-+-，则 h t在1,+递增，又 1limln2 1th t=-，lim0th t+=，故12lnln2 1,0tt+-，
49、故3312122,1exxtt+=+一、单项选择1（2024 春江苏常州）已知定义在R上的函数 f x的导数为 fx，1ef=，且对任意的x满足 exfxf x 的解集是（）A,1-B,0-C0,+D1,+【答案】A【详解】构建 exf xg xx=-，则 1exfxf xgx-=-，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君因为 exfxf x-，则 10exfxf x-，即 0gx可得 0exf xx-，即 1g xg，解得1x 的解集是,1-.故选：A2.（2024 春江西省）设a、b、0,1c满足sinab=，cosbc=，tanca=，则（）A2acb+，2acbB2acb
50、+C2acb+，2acb，2acb【答案】A【详解】aQ、b、0,1c且sinab=，cosbc=，tanca=，则tantan sincab=，先比较sintan sinacbb+=+与2b的大小关系，构造函数 sintan sin2f xxxx=+-，其中01x，则0sin1x，所以，cos1cos sin1x，则 222cos2 cossincoscoscos2cossincossinxxxxfxxxx-+=+-=，令 21cos12g xxx=-，其中0,1x，则 singxxx=-，令 sinp xxx=-，其中01x，所以，函数 gx在0,1上单调递增，故 00gxg=，所以，函数