《专题07：解三角形（五大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题07：解三角形（五大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义含答案.pdf（46页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 届新高考二轮复习第七讲届新高考二轮复习第七讲：解三角形解三角形“九省联考”未独立考查解三角形，而是作为一个解题工具应用在圆锥曲线解题中，是一个新高考改革的方向。8.设双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的左、右焦点分别为12,F F，过坐标原点的直线与C交于,A B两点，211222,4FBF A F A F Ba=uuur uuur，则C的离心率为（）A.2B.2C.5D.7题型一：正弦、余弦定理【典例例题】题型一：正弦、余弦定理【典例例题】例 1.（2024 上河南焦作高三统考期末）已知ABCV中，角 A，B，C 所对
2、的边分别为 a，b，c，且sinsin4cos0sinsinBACAB+-=专题07：解三角形（五大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)证明：2222abc+=；(2)若2sincossinsinBBAC=，求cos A的值【变式训练】【变式训练】1.（2024 春新高考）（多选）在ABCV中，2 3a=，2 2c=，45C=，则A可能为（）A30B150C120D602.（2024 春四川雅安）ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知3a=，2b=，2sin3A=，则cosB=（）A659B659-C49D6593
3、.（2024 春江苏南通）记ABCV的内角 A，B 的对边分别为 a，b，则“2ab”是“sinsin2AB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（2024 春广东深圳）已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab-=的左、右焦点分别为12,F F，过点2F的直线与双曲线E的右支交于,A B两点，若1ABAF=，且双曲线E的离心率为2，则1cos BAF=（）A3 78-B34-C18D18-题型二：三角形面积公式题型二：三角形面积公式【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春贵州黔东南）在ABCV中，内角,A B C的对边分别是,a b c，已知
4、31,cos2bcAa=+(1)求B；(2)若3a=，求ABCV的面积【变式训练】【变式训练】1.（2024 春浙江）记ABCV的内角,A B C所对的边分别是,a b c，且满足2sin3sinCAB=-.(1)证明：tan5tanAB=；(2)若ABCV的面积为2512c，求tanC；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2（2024 春陕西）在ABCV中，D为边BC上一点，2,43DACAD=，且ADC的面积为4 3(1)求CD的长；(2)若2ABBD=，求sin ABD的值3（2024 春江西）在ABCV中，已知内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且ABCV的面积
5、为3，点 D 是线段BC上靠近点 B 的一个三等分点，1AD=(1)若3ADC=，求 c；(2)若22411bc+=，求sinBAC的值题型三：正弦、余弦定理在几何中的应用题型三：正弦、余弦定理在几何中的应用【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春广东实验中学）在平面四边形ABCD中，4AB=，2 2AD=，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，2AEEC=uuu ruuu r（1）若4ABD=，求BC的长；（2）若3AC=，求cos.BAD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【变式训练】【变式训练】1.（2024 春山东济南）在ABCV中，内角A，B，C的对边分别为
6、a，b，c已知cos2cosbAaB=-.(1)求ca；(2)若23B=，且AC边上的高为3，求ABCV的周长.2（2024 春黑龙江齐齐哈尔）记ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知,4 cos224BbCca=+.(1)求tanC；(2)若ABCV的面积为32，求BC边上的中线长.3（2024 春安徽合肥）在ABCV中，内角,A B C的对边分別为,a b c，sin62abBc+=.(1)求角 C；(2)若2 3,6abc+=，求角C的平分线CD的长度.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型四：解三角形最值问题题型四：解三角形最值问题【典例例题】【典例
7、例题】例 1.（2024 春广东省）已知ABCV是锐角三角形，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c若22abbc-=，则bac+的取值范围是（）A32,32B23,1-C23,21-D21,32+【变式训练】【变式训练】1.（2024 春陕西安康）在ABCV中，角,A B C的对边分别是a，b，c，且tantantan tan1ACAC+=.(1)求角B的大小；(2)若4b=，求ABCV面积的最大值.2（2024春北京）已知ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，且满足2a=，sinsin2sinsinbBcCAbC+-=(1)求A的大小；(2)已知AD是ABCV的中线，
8、求AD的最大值更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君3（2024 春山东威海）在ABCV中，角,A B C所对的边分别为a b c,记ABCV的面积为S，已知32AB ACS=uuu r uuur.(1)求角A的大小；(2)若2 3a=，求22bc+的最大值.4.（2024 春四川德阳）在ABCV中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sincos32cBC=，3b=.(1)求B；(2)若ABCV为锐角三角形，求ABCV的面积范围.题型五：解三角形实例应用题型五：解三角形实例应用【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春上海静安）如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一
9、根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆AB，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题老师提供给同学们的条件是：已知10AB=米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪（如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君 (1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路l上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点C处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数
10、据（字母表示）表示出小山的高度H；(2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆AB似乎是由于在根部A处松动产生了倾斜她提出的问题是：如何检验旗杆AB是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案请你写出她的方案，并说明理由；(3)已知（1）中的小路l是东西方向，且与点A所确定的平面垂直于地平面又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆AB大致向广场方向倾斜如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）【变式训练】【变式训练】1.（2024 春贵州）如
11、图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909 年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得23BCD=，30CDB=，11.2mCD=，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4，则甲秀楼的高度约为（参考数据：tan72.43.15，sin530.8）（）A20mB21mC22mD23m更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2（2024 春吉林）如图，位于某海
12、域A处的甲船获悉，在其北偏东 60o方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15o，且与甲船相距2nmile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（）A2nmileB2nmileC2 2nmileD3 2nmile3.（2024 春湖南长沙）海边近似平直的海岸线上有两处码头A、B，且3kmAB=.现有一观光艇由B出发，同时在A处有一小艇出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在M处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最
13、小，则拦截点M距离海岸线的最远距离为 .4（2024 春北京海淀）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P处观测到灯塔,A B在一直线上，并与航线成 30 角.轮船沿航线前进 1000 米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45方向，灯塔B在北偏东15方向.则此时轮船到灯塔B之间的距离CB为 米.一、单项选择1.（2024 春广东汕头市）锐角ABCV中，若21sincoscos2AAA=-，则A=（）A.12B.8C.6D.4更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2（2024 春湖南长沙）在ABCV中，角,A B C所对的边分别为,a b c，2 sinsin3 sinaAbBcC-=
14、，若S表示ABCV的面积，则2Sb的最大值为（）A74B106C2 33D523（2024 春重庆）在ABCV中，内角,A B C的对边分别为tantan1,3,tantan23ABa b ccCAB=+，则ab的值为（）A34B32C3D3二、填空题4（2024 春江西南昌）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点A、B、C处分别测塔顶的仰角为30o、45o、60o，且70 69ABBC=m，则文星塔高为 m.5（2024 春山东济南）已知ABCV的内角,A B C所对的边分别为,a b c，
15、已知1cos2cosbAaB+=-，2bc=，则ABCV外接圆的半径为 6（2024 春安徽）马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量AB，两座岛之间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45的方向上，B在C的北偏东15的方向上，现在船往东航行 2 百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西30的方向上，船再返回到C处后，由C向西航行2 6百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5的方向上，则,A B两座岛之间的距离为 百海里.7（2024 春江西南昌）如图是改革开放四十周年大型展览的展馆国家博物馆现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点 P 离地面的高度OP(点 O 在正门
16、柱楼底部)现分别从地面上的两点 A，B 测得点 P 的仰角分别为30,45，且60ABO=，60 2AB=m，则OP=m.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君8（2024 春广东东莞）中华人民共和国国歌有 84 个字，37 小节，奏唱需要 46 秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15o的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60o和30o，第一排和最后一排的距离为10 2米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 （米/秒）三、简答题9（2024 春河南信阳）如图，在ABC
17、V中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，且2a=，224sinsinsin2 sin2BCBC=，P为ABCV所在平面内一点，且2 3PB=，90PBC=o，PBA为锐角(1)若1c=，求PA；(2)若120PAB=o，求tanPBA更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君10（2024 春山西吕梁）设ABCV的内角ABC，的对边分别为abc，已知cos2 coscosbCaAcB+=-(1)求A；(2)设A的角平分线交BC于点1MAM=，求4bc+的最小值11（2024 春安徽合肥）在ABCV中，,A B C的对边分别为,a b c，已知2,4,cos0bcaCb=+=
18、.(1)求a；(2)已知点D在线段BC上，且34ADB=，求AD长.12（2024 春浙江丽水）在凸四边形ABCD中，记,ABa BCb CDc DAd=，四边形ABCD的面积为S已知180BD+=(1)证明：22222cosabcdBabcd+=+-；(2)设2abcdp+=，证明：()()()()Spapbpcpd=-；(3)若1bcd=，求四边形ABCD面积的最大值13（2024 春四川）记ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知1cos2cbaC+=.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)求角A；(2)若3,5,bcBAC=的角平分线交BC于D，求A
19、D的长.14.（2024 春广东省东莞市）ABCV中，角,A B C的对边分别为,a b c，且22 cosacbC-=（1）求B；（2）若3b=，且 D 为ABC 外接圆劣弧AC上一点，求2ADDC+的取值范围更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 届新高考二轮复习第七讲届新高考二轮复习第七讲：解三角形解三角形“九省联考”未独立考查解三角形，而是作为一个解题工具应用在圆锥曲线解题中，是一个新高考改革的方向。8.设双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的左、右焦点分别为12,F F，过坐标原点的直线与C交于,A B两点，211222,4FBF A F A F Ba
20、=uuur uuur，则C的离心率为（）A.2B.2C.5D.7【答案】D【解析】【详解】由双曲线的对称性可知12F AF B=，12FBF A=，有四边形12AFBF为平行四边形，令12F AF Bm=，则122FBF Am=，由双曲线定义可知212F AF Aa-=，故有22mma-=，即2ma=，即122F AF Bma=，124FBF Aa=，2222222cos24 cos4F A F BF AF BAF BaaAF Ba=uuuu r uuuu ruuuu ruuuu r，则21cos2AF B=，即23AF Bp=，故2123F BF=，则有222222121221124221c
21、os22 422aacFBF BFFF BFFBF Baa+-+-=-，即2222041162aca-=-，即2204116162e-=-，则27e=，由1e，故7e=.故选：D.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型一：正弦、余弦定理题型一：正弦、余弦定理【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 上河南焦作高三统考期末）已知ABCV中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且sinsin4cos0sinsinBACAB+-=(1)证明：2222abc+=；(2)若2sincossinsinBBAC=，求cos A的值【答案】(1)证明见解析(2)36【详解】（1）证
22、明：由正弦定理及条件可得4cos0baCab+-=，由余弦定理可得22222402baabcabab+-=，化简得2222abc+=（2）由2sincossinsinBBAC=得22222acbbacac+-=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君化简得2223acb+=，又2222abc+=，故32bc=，所以52ac=，故2223cos26bcaAbc+-=【变式训练】【变式训练】1.（2024 春新高考）（多选）在ABCV中，2 3a=，2 2c=，45C=，则A可能为（）A30B150C120D60【答案】CD【详解】由正弦定理sinsinacAC=，得12 3sin2
23、sin22 23aCAc=，又因为ac，所以AC，因为0180Aoo，所以60A=o或120A=o.故选：CD.2.（2024 春四川雅安）ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知3a=，2b=，2sin3A=，则cosB=（）A659B659-C49D659【答案】A【详解】由正弦定理知，sinsinabAB=，则4sin9B=因为ba”是“sinsin2AB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当2ab时，由正弦定理可得sin2sinAB，又sin22sincosBBB=，在ABCV中，cos1,1B-，故sin22sinc
24、os2sinBBBB=，故“2ab”是“sinsin2AB”的充分条件；当sinsin2AB时，例如90A=，30B=，2a=，1b=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君有sin90sin60，符合题意，但2ab=，故“2ab”不是“sinsin2AB”的必要条件；故“2ab”是“sinsin2AB”的充分不必要条件.故选：A.4（2024 春广东深圳）已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab-=的左、右焦点分别为12,F F，过点2F的直线与双曲线E的右支交于,A B两点，若1ABAF=，且双曲线E的离心率为2，则1cos BAF=（）A3 78-B34-C18D18
25、-【答案】D【详解】因为双曲线E的离心率为2，所以2ca=，因为1ABAF=，所以22122BFABAFAFAFa=-=-=，由双曲线的定义可得12122BFBFBFaa-=-=，所以1242BFaBF=，在12BFF中，由余弦定理得22222221212121248162cos242 22 2BFFFBFaaaBF FBFFFaa+-+-=-，在12AFF中，12122coscos4FF AFF B=-=，设2AFm=，则12AFma=+，由2221122122122cosAFFFAFFFAFFF A=+-得2222(2)(2 2)2 2 24amama m+=+-，解得23ma=，所以18
26、3aAF=，所以2222221111646416199cos8828233aaaAFABBFBAFaaAFAB+-+-=-.故选：D.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型二：三角形面积公式题型二：三角形面积公式【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春贵州黔东南）在ABCV中，内角,A B C的对边分别是,a b c，已知31,cos2bcAa=+(1)求B；(2)若3a=，求ABCV的面积【答案】(1)6B=；(2)34或32.【详解】（1）在ABCV中，由31,cos2bcAa=+，得3cos2cbAa=+，由正弦定理得3sincossinsinsin()sinco
27、ssincos2BAACABABBA+=+=+，则3sinsincos2AAB=，而sin0A，因此3cos2B=，又0B，所以6B=.（2）由（1）及余弦定理得：2222cosbacacB=+-，即22231(3)2 32cc=+-，解得1c=或2c=，当1c=时，1113sin3 12224ABCSacB=，当2c=时，1113sin322222ABCSacB=V，所以ABCV的面积为34或32.【变式训练】【变式训练】1.（2024 春浙江）记ABCV的内角,A B C所对的边分别是,a b c，且满足2sin3sinCAB=-.(1)证明：tan5tanAB=；(2)若ABCV的面积为
28、2512c，求tanC；【答案】(1)证明见解析 (2)3tan2C=更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【详解】（1）由2sin3sinCAB=-得2sin3sinABAB+=-，则2sin cos2cos sin3sin cos3cos sinABABABAB+=-，得sin cos5cos sinABAB=，若cos0A=，则cos0B=，则,A B均为直角，与题设矛盾，故cos0A，故cos0B，故coscos0AB，故tan5tanAB=.（2）215sin212ABCSabCc=V，所以25sin sin sinsin6ABCC=，则55sin sinsinsin6
29、6ABCAB=+，55sin sinsin coscos sin66ABABAB=+，从而5tan tantantan6ABAB=+，又tan5tanAB=，从而tan1B=，tan5A=，所以tantan3tantan1tantan2ABCABAB+=-+=-=-.2（2024 春陕西）在ABCV中，D为边BC上一点，2,43DACAD=，且ADC的面积为4 3(1)求CD的长；(2)若2ABBD=，求sin ABD的值【答案】(1)4 3 (2)1538-【详解】（1）由已知113si3n42242ADCSADACADACC=V，解得4AC=，所以222212cos16 162 4 448
30、32CDADACAD AC=+-=+-=，所以4 3CD=；（2）由（1）可得2,3ADACDAC=，则56BDA=，2ABBD=，在BDA中，sinsinABBDBDADAB=，即111sinsin224DABBDABDAB=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君又DAB为锐角，所以4c s15oDAB=，所以11531153sinsin624248ABDDAB-=-=-=，3（2024 春江西）在ABCV中，已知内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且ABCV的面积为3，点 D 是线段BC上靠近点 B 的一个三等分点，1AD=(1)若3ADC=，求 c；(2)若224
31、11bc+=，求sinBAC的值【答案】(1)373 (2)4 37【详解】（1）由题可得：2CDBD=，故22 333ACDABCSS=VV又1sin2ACDSAD CDADC=V，即132 31223CD=，83CD=，即43BD=在ABDV中，根据余弦定理得2222cosABBDADAD BDADB=+-即2164112 1932AB=+373AB=，即373c=，（2）2CDBD=Q，2133ADABAC=+uuuruuu ruuur222414999ADABACAB AC=+uuuruuu ruuuruuu r uuur，即22441cos999cbbcBAC=+又22411bc+=
32、，1cos2bcBAC=-更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君又1sin32bcBAC=，由得：tan4 3BAC=-4 3sin7BAC=题型三：正弦、余弦定理在几何中的应用题型三：正弦、余弦定理在几何中的应用【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春广东实验中学）在平面四边形ABCD中，4AB=，2 2AD=，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，2AEEC=uuu ruuu r（1）若4ABD=，求BC的长；（2）若3AC=，求cos.BAD【答案】（1）102 （2）24-【解析】【小问 1 详解】在ABD中，由余弦定理可得2222cosADABBDAB BDA
33、BD=+-，所以28162 4cos4BDBD=+-，化简得24 280BDBD-+=，解得2 2BD=，因为E是BD的中点，所以122BEBD=，在ABEV中，由余弦定理可得22222cos1622 42102AEABBEAB BEABD=+-=+-=，所以10AE=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君因为2AEEC=uuu ruuu r，所以33 1022ACAE=，由余弦定理可得22216 1023 10cos2102 410ABAEBEBACAB AE+-+-=，在ABCV中，由余弦定理可得22223 103 103 1052cos162 422102BCABACAB
34、 ACBAC=+-=+-=，所以102BC=；【小问 2 详解】因为3AC=，2AEEC=uuu ruuu r，所以2AE=，因为AEBAED+=，所以coscosAEBAED=-，设BEDEx=，所以22222222AEBEABAEDEADAE BEAE DE+-+-=-，即22416482 22 2xxxx+-+-=-，解得2 2x=，所以24 2BDBE=，在ABD中，由余弦定理可得222168322cos242 4 2 2ABADBDBADAB AD+-+-=-.【变式训练】【变式训练】1.（2024 春山东济南）在ABCV中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cos2cosbA
35、aB=-.(1)求ca；(2)若23B=，且AC边上的高为3，求ABCV的周长.【答案】(1)2 (2)73 7+【详解】（1）因为cos(2cos)bAaB=-，由正弦定理可得sincossin2cosBAAB=-，所以sincossincos2sinBAABA+=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君即sin2sinABA+=，所以sin2sinCA=，由正弦定理得2ca=，即2ca=；（2）由题意得2ca=，23B=，由余弦定理得2222222214coscos3224acbaabBaca+-+-=-=，解得7ba=（负值舍去），因为AC边上的高为3，所以13127322
36、2aaa=，则7a=，所以7b=，2 7c=，故ABCV的周长73 7ABCCabc=+=+V2（2024 春黑龙江齐齐哈尔）记ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知,4 cos224BbCca=+.(1)求tanC；(2)若ABCV的面积为32，求BC边上的中线长.【答案】(1)1tan2C=(2)52.【详解】（1）由正弦定理可得sinsincbCB=，所以4sin cos2sin2sinBCCA=+，即2 2cos2sin2sinCCA=+，又ABC+=，所以2 2cos2sin2sin2 2sin2cos4CCCCC=+=+，整理得2cos2 2sinCC=，解得1t
37、an2C=；（2）依题意，1123sin2222acBac=，解得3 2ac=，又31tantantan341tanCACC-=-=-，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以A为钝角，所以由22sin3cossincos1AAAA=-+=,解得31sin,cos1010AA=-，由正弦定理可得1sin253sin310cCaA=，又3 2ac=，所以22sin23,2,51sin5cBacbC=，设BC的中点为D，则12ADABAC=+uuuruuu ruuur，所以222212522512cos510()4444bcbcAADABAC+-+=+=uuuruuu ruuur，
38、所以BC边上的中线长为52.3（2024 春安徽合肥）在ABCV中，内角,A B C的对边分別为,a b c，sin62abBc+=.(1)求角 C；(2)若2 3,6abc+=，求角C的平分线CD的长度.【答案】(1)3 (2)1【详解】（1）由sin62abBc+=得2 sin3 sincos6abcBcBcB+=+=+.由正弦定理得sinsin3sin sinsin cosABBCCB+=+，得sinsin3sin sinsin cosBCBBCCB+=+，得cos sinsin3sin sinCBBCB+=.因为sin0B，所以3sincos1CC-=，即1sin62C-=，又0C，所
39、以3C=.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君（2）由余弦定理得2222(6)2cos()3ababCabab=+-=+-，可得2ab=，又ABCCBDCADSSS=+VVV，所以111sinsinsin232626aba CDb CD=+，即131111222222aba CDb CD=+，所以33212 3abCDab=+.题型四：解三角形最值问题题型四：解三角形最值问题【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春广东省）已知ABCV是锐角三角形，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c若22abbc-=，则bac+的取值范围是（）A32,32B23,1-C23,2
40、1-D21,32+【答案】C【详解】因为22abbc-=，得22abbc=+由余弦定理得2222cosabcbcA=+-，所以2222cosbbcbcbcA+=+-，即2 cosbcbA=-由正弦定理得sinsin2sincosBCBA=-，因为()CAB=-+，则sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+，所以sinsincoscossinBABAB=-，即sinsin()BAB=-因为ABCV是锐角三角形，所以02A，02B，所以22AB-又sinyx=在,2 2-上单调递增，所以BAB=-，则2AB=因为ABCV是锐角三角形，所以02B，022AB=，203CB=-，
41、所以64B，由正弦定理得sinsinsinsinsinsin2sin(3)sin2sin3bBBBacACBBBB=+-+22sin1sin2sin2coscos2 sin2cos2cos2cos1BBBBBBBBB=+-214cos2cos1BB=+-，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君令cosBt=，因为64B，所以23,22t2215421444yttt=+-=+-在23,22t上单调递增，当22t=时，12y=+，当32t=时，23y=+，故2111,23,2142123 12bactt=-+-+故选：C【变式训练】【变式训练】1.（2024 春陕西安康）在ABCV中
42、，角,A B C的对边分别是a，b，c，且tantantan tan1ACAC+=.(1)求角B的大小；(2)若4b=，求ABCV面积的最大值.【答案】(1)34 (2)4 24-【详解】（1）由tantantan tan1ACAC+=可得：tantan1tan tanACAC+=-，则tantantan()11tan tanACACAC+=-.由tantan()tan()1BACAC=-+=-+=-，又因0B，故得：34B=.（2）由（1）知34B=，又4b=，由 正 弦 定 理 可 得：44 23sinsinsin4acAC=，则：4 2sin,4 2sin4 2sin()4aA cCA=
43、-，记ABCV的面积为S，则12sin4 2sin4 2sin()8sin(cossin)244SacBAAAAA=-=-4sin24cos24AA=+-4 2sin(2)44A=+-，因04A，则32444A+，故2sin(2)124A+，所以，ABCV面积的最大值为4 24-.2（2024春北京）已知ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，且满足2a=，sinsin2sinsinbBcCAbC+-=(1)求A的大小；(2)已知AD是ABCV的中线，求AD的最大值【答案】(1)3A=(2)3【详解】（1）由于在ABCV中，2a=，sinsin2sinsinbBcCAbC+-=，更
44、多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君则222bcabc+-=，则2221cos222bcabcAbcbc+-=，由于(0,),3AA=；（2）因为2a=，222bcabc+-=，所以224bcbc+=+，故2242bcbcbc+=+，当且仅当224bcbcbc=+=+，即2bc=时等号成立，故4bc；由AD是ABCV的中线，得12ADABAC=+uuuruuu ruuur，即得222211244ADABACABAB ACAC=+=+uuuruuu ruuuruuu ruuu r uuuruuur2212cos4cbcAb=+221112424423442cbbcbc=+-=+-=
45、+，即得|3AD uuur，故AD的最大值为3.3（2024 春山东威海）在ABCV中，角,A B C所对的边分别为a b c,记ABCV的面积为S，已知32AB ACS=uuu r uuur.(1)求角A的大小；(2)若2 3a=，求22bc+的最大值.【答案】(1)3A=(2)24【详解】（1）因为32AB ACS=uuu r uuur，所以3cossinbcAbcA=，可得tan3A=，因为0A，所以3A=.（2）由余弦定理可知2222cos3abcbc=+-，即2212bcbc=+-，因为222bcbc+，所以222bcbc+，所以2222122bcbcbc+=+-，可得2224bc+
46、，当且仅当2 3bc=时，等号成立，所以22bc+的最大值为24.4.（2024 春四川德阳）在ABCV中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sincos32cBC=，3b=.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)求B；(2)若ABCV为锐角三角形，求ABCV的面积范围.【答案】(1)3 (2)3 3 9 3(,24【详解】（1）因为sincos32cBC=，3b=，所以sinsinsincos2BBCC=，因为sin0C，所以sincos2BB=，则2sincoscos222BBB=，因为cos02B，所以1sin22B=，又0,22B，则26B=，所以3B=.（2
47、）设ABCV的外接圆半径为R，则22 3sinbRB=，所以112sin2 sin2 sinsin3 3sinsin223ABCSacBRA RCBAA=-V，313 3sincossin22AAA=+，293 393 3 1 cos2sincossinsin222422AAAAA-=+=+，93 33 3sin2cos2444AA=-+，3 33 3sin 2264A=-+，因为ABCV为锐角三角形，所以022032AA-，解得62A，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君则52666A-，则1sin 2126A-，所以3 39 324ABCS因为在MHDV中，ODMOMD，所
48、以MHDH，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君故MBDB如图 5，从图 4 中的点D向点A的方向走到点P，放置一个物体，测得PD、PA、DA的长，利用余弦定理可得ADO的大小 同理可得BDO的大小 因此，可以求得图 4 中的BH、AO、DH、DO的长 在COD中，三边已知，利用余弦定理可求得COD，即旗杆AB向西偏南COD的方向倾斜又由于DH、DO已求得，故AB倾斜角度为arccos10DODH-测量倾斜角的大小方案 2：如图 5，从点D向点A的方向走到点P，测得PD、PA、DA的长，利用余弦定理可得ADO的大小，从而求得A点的高度1h 同理可求得B点的高度2h 如图，121
49、0hh+-即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度1BG 所以21AGhh=-，在RtABG中，21arccos10hhBAG-=即为所求，测量倾斜角的大小方案 3：在图 5 中，以点O为原点，以OA为 y 轴建立平面直角坐标系xOy，则容易求出点A与点B的坐标,AAxy与,BBxy，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君故AB的倾斜角为arctanBABAyyxx-【变式训练】【变式训练】1.（2024 春贵州）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909
50、 年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得23BCD=，30CDB=，11.2mCD=，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4，则甲秀楼的高度约为（参考数据：tan72.43.15，sin530.8）（）A20mB21mC22mD23m【答案】C【详解】由题意可知，23BCD=，30CDB=，所以127CBD=，又因11.2mCD=，由正弦定理sinsinCDCBCBDCDB=，可得：11.2sin127sin30CB=，解得7mCB=，又因为72.4ACB=，所以tan73.1522.0