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1、20232024 学年度第二学期高三期初试卷数学年度第二学期高三期初试卷数 学学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3本卷满分本卷满分
2、150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共分钟。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则 75%分位数是（）A18B20C21D222已知复数z满足1i1iz+=-，则20232024zz+=（）A0B1C2D23在ABC中，2,23AACp=，且ABC的面积为32，则BC=（）A3B7C2
3、D34已知正数,a b满足1ab+=，则14ab+的最小值为（）A6B7C8D95已知平面内的向量ar在向量br上的投影向量为12br，且1ab=rr，则2ab-rr的值为（）A3B1C34D326等差数列 na的首项为 1，公差不为 0若236,a a a成等比数列，则 na的前 5 项的和为（）A15-B5-C5D257已知140,cos,sin255pbaabab于,P M两点，Q为OP中点，过Q作x轴垂线，垂足为B，直线MB交椭圆于另一点N，直线,PM PN的斜率分别为12,k k，若1 212k k=-，江苏省镇江市2023-2024学年高三下学期期初适应性练习则粗圆离心率为（）A1
4、2B33C32D63二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9已知 2fxxxm=+，下列命题正确的是（）A命题“0,0 xfx”的否定是“0 x$，使得 0fx 成立”B若命题“,0 xfx R恒成立”为真命题，则14m C“0m”为真命题，则2m -10正方体1111ABC DABCD-的 8 个顶点中的 4 个不共面顶点可以确定一个四面
5、体，所有这些四面体构成集合V，则（）AV中元素的个数为 58BV中每个四面体的体积值构成集合S，则S中的元素个数为 2CV中每个四面体的外接球构成集合O，则O中只有 1 个元素DV中不存在四个表面都是直角三角形的四面体11已知函数 sincos2fxxx=+，则下列说法正确的是（）A2p是 fx的一个周期B fx的最小值是2-C存在唯一实数0,2a，使得fxa+是偶函数D fx在0,p上有 3 个极大值点三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12与圆221xy+=和圆22(2)(2)9xy-+-=都相切的直线方程是_13已知AB是圆
6、锥PO的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,3PCABAC=，则二面角APBC-的余弦值为_14如果函数 fx在区间,a b上为增函数，则记为,()a bf x，函数 fx在区间,a b上为减函数，则记为,()a bf x 已 知,34mxx+，则 实 数m的 最 小 值 为 _；函 数 3223121fxxaxx=-+，且2,31,2(),()f xf x，则实数a=_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）在 如 图 所 示 的 圆 台 中，AB是 下 底 面 圆O的
7、直 径，11AB是 上 底 面 圆1O的 直 径，11ABAB，11124,3,ABABOOACD=为圆O的内接正三角形（1）证明：1OO平面1BCD；（2）求直线CD与平面1AB D所成角的正弦值16（15 分）为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮每人投一次篮，两人中只有 1 人命中，命中者得 1 分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得 0 分设甲每次投篮命中的概率为13，乙每次投篮命中的概率为12，且各次投篮结果互不影响（1）经过 1 轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；（2）用ip表示经过第i轮投篮后，甲的
8、累计得分高于乙的累计得分的概率，求23,pp17（15 分）已知函数 cosln 11fxxx=+-（1）判断函数 fx在区间0,2p上极值点和零点的个数，并给出证明；（2）若 fxax恒成立，求实数a18（17 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的两条渐近线分别为12,l l C上一点4,3A到12,l l的距离之积为45（1）求双曲线C的方程；（2）设双曲线C的左、右两个顶点分别为12,A A T为直线:1l x=上的动点，且T不在x轴上，直线1TA与C的另一个交点为M，直线2TA与C的另一个交点为N，直线MN与x轴的交点为P，直线l与MN的交点为Q，证明PMQMPNQ
9、N=19（17 分）对 于 数 列*nanN，记1nnnaaa+=-，称 数 列na为 数 列 na的 一 阶 差 分 数 列；记21 nnnnaaaa+=-，称数列2na为数列 na的二阶差分数列，一般地，对于k N，记11 kkkknnnnaaaa+=-，规定：01,nnnnaaaa=，称kna为数列 na的k阶差分数列对于数列 na，如果0knad=（d为常数），则称数列 na为k阶等差数列（1）数列 2n是否为k阶等差数列，如果是，求k值，如果不是，请说明为什么？（2）请用231111,aaaa L表示34,a a，并归纳出表示na的正确结论（不要求证明）；（3）请 你 用（2）归 纳
10、 的 正 确 结 论，证 明：如 果 数 列 na为k阶 等 差 数 列，则 其 前n项 和 为123211111kknnnnnSC aCaCaCa+=+L；（4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了 2024 个球第 1 层有 1 个球，第 2 层有 3 个，第 3 层有 6 个球，每层都摆放成“正三角形”，从第 2 层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多 1 个球，问：这位同学共堆积了多少层？高三数学期初考试评分标准高三数学期初考试评分标准一、选择题一、选择题题号答案出处考查知识能力素养1B课本题改编百分位数运算求解2C课本题改编复数模的运算及性质运算求解3B课
11、本题改编余弦定理，面积公式运算求解4D复习题改编排列组合分类讨论思想，数学抽象5A复习题改编投影向量，向量的模运算求解6A复习题改编等差、等比数列基本量运算运算求解7A复习题改编两角和与差的正余弦公式转化思想，运算求解8D原创椭圆第三定义，离心率转化思想，运算求解二、选择题（有错误答案，该题得二、选择题（有错误答案，该题得 0 分，如果有两个答案，该题分值为分，如果有两个答案，该题分值为 3 分和分和 6 分；如果有三个答案，该题分值为分；如果有三个答案，该题分值为 2 分、分、4 分、分、6 分）分）题号答案出处考查知识能力素养9BCD高一试卷逻辑，恒成立有解问题逻辑推理10ABC期末零模立
12、体几何空间想象，分类讨论11ACD原创三角函数图象与性质数形结合，分类讨论三、填空题三、填空题题号答案出处考查知识能力素养1220 xy+=复习题公切线，两圆位置关系转化思想，数形结合1355期末零模二面角空间想象，数学转化14第一空 2，第二空 3原创新定义的理解，函数单调性数学转化四、解答题四、解答题15（13 分）证明：（1）记AB与CD交于点F，连接1,B F OC，因为AB是下底面圆O的直径，且ACD为圆O的内接正三角形，所以AB垂直平分,2,4sin60ACCD OC=，则2 3,3ACCF=，RtOCF中，222(3)1OF=-=因为1111,24ABAB ABAB=，则11OF
13、O B=，所以11OFO B，所以四边形11OFBO为平行四边形，所以11OOFB，又1OO 平面11,BCD FB 平面1BCD，所以1OO平面1BCD（2）【法一】由（1）知，11OOFB，则1FB 面ACBD，又AFCD，分别以1,FA FC FBuuu r uuu r uuur为,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系：则10,3,0,0,0,3,3,0,0,3,0,0ABCD-，2 3,0,0CD=-uuu r设平面1AB D的法向量为,x y zh=r，则10,330,0,330,AByzADxyhh=-+=-=uuururuur r令1y=，则3,1,3h=-r记直线CD与平面1
14、AB D所成角为q，则21sincos,7CDCDCDhqhh=uuu ruuu ruu ru rrr，故直线CD与平面1AB D所成角的正弦值为217【法二】因为11111,3,B FOO B FOOB F=平面ACD，由（1）ACD是正三角形且边长为2 3，所以121113(2 3)33334BACDACDVSB F-=在1RtFAB中，2211392 3ABB FAF=+=+=，在1RtB DF中，2211336B DB FDF=+=+=，2 3AD=，取1B D中点H则1342,1222AHB D AH=-=所以1142367222AB DS=设点C到平面1AB D距离为1113 76
15、6,3,73277BACDC AB Dh VVhh-=设直线CD与平面1AB D所成角为q，则6217sin72 3hCDq=【法三】因为1B F 平面1,AB D AD 平面ACD，所以1B FAD过F作FSAD交AD于S，连结11,B S B F，如图因为11,ADFS ADB F B FFSF=I，1,B F FS 平面1B FS，则AD 平面11,B FS ADB S，在1RtB FS中，作1FTB S，因为11,FTAD FTB S ADB SS=I，1,AD B S 平面1AB D，所以FT 平面1AB D，在1RtB FS中，13,32FSB F=，则1212B S=，所以321
16、73223FT=，设直线CD与平面1AB D所成角为q，则3217sin73ETDFq=（注意：一、下列情况之一，本题得 0 分：图中没有辅助线；法一图中没有建立坐标系，有坐标轴，但对应轴字母没有表明二、用综合法，逻辑段主要条件缺少的，该逻辑段不得分，非主要条件缺少的，少一个扣 0.5分，扣满 15 分为止）【说明】本题改编于期末零模考查平面几何、解三角形应用；考查线面位置关系判断；考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、叙述表达能力16（15 分）解：（1）X的可能取值为1,0,1-11111323P X=-=-=；1111101123232P X=+-=；11111326P X=-=所以
17、X的分布列为：X1-01P131216则X的数学期望为11111013266E X=-+=-（2）设每轮比赛甲乙得分分别为,1,2,3iiX Y i=，则0iiXY+=，如果经过两轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，则1212XXYY+，代入0iiXY+=，即120XX+，而iX的可能取值为1,0,1-所以121 1XX+=+，或者1210XX+=+此时有二种情况：一是甲两轮都得 1 分；二是两轮中有一轮甲得 1 分而另一轮甲得 0 分所以12211117666236pC=+=如果经过三轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，同理有得1230XXX+，同理123XXX+有四种情况：1 1 1,1 10
18、,1 11,100)+-+所以322222133331111111436626362216pCCC=+=【说明】本题源于专题复习资源改编考查独立事件的概率，考查分布列和数学期望，考查分类讨论思想；考查仔细、细致冷静的心理应试素养17（15 分）解：（1）令 211sin,cos1(1)h xfxxh xxxx=-+=-+，因为0,2xp，所以2cos0,(1)0 xx+，则 0h x=-+在00,x单调递增；0,2xxp时，00,fxfx=，则00,xx时，fx无零点又因为 000fxf=，且20ln 11lnln10222efppp+=+-=，显然120Qyyy，因222221111411P
19、Mxymymy=-+=+=+，同理221PNmy=+，令41xmy=+=，则3Qym=-，同理：2212331,1QMmyQNmymm=+=+-，要证明PMQMPNQN=，只需证明：112233yymyym+=-，即证明：1212320y yyym+=，将4t=和代入上式显然成立，所以PMQMPNQN=19解：（1）因为221(1)21nnnaaannn+=-=+-=+，而2 212112120nnaannn=+=+-+=，所以2k=，数列 2n是二阶等差数列（2）因为数列 na为k阶等差数列，则0knad=，则12112111 0,0kkkknaaaaa+-=-=L，则211aaa=+，22
20、32211111112aaaaaaaaaa=+=+=+，22433111222aaaaaaaa=+=+222311111112aaaaaaa=+23111133aaaa=+归纳得一般结论：1221111111kknnnnaaCaCaCa-=+L（3）设数列：1230,nS S SS，因为111112,0nnnnaSSSnSSa-=-=-=，所以数列1230,nS S SS为1k+阶等差数列，由（2）中得：122111110kknnnnSCSCSCS+=-+L，因为1111kkkSSa+=所以123211111kknnnnnSC aCaCaCa+=+L（4）由（1）知数列 2n为二阶等差数列，且
21、 211213221413,94412aaaaaaaa=-=-=-=-=，则由（3）得：2222123n+L1231121323226nnnn nn nnCCCn-=+=+11216n nn=+（注意：如果没有证明上面结论，此处扣 2 分证明方法不限）设共堆积了n层，第n层共有na个球，第 1 层有 1 个球，因为每层的“边”比上一层多 1 个球，所以第n层的“边”共有n个球，则第n层的球数为11232nn nan+=+=L则这n层所有球的个数为11362nn nS+=+L【法一】由式得：22221113612312322nn nSnn+=+=+LLL111211202462n nnn n=+=解得：22n=答：这位同学共堆积了 22 层（注意：答案正确，但没有“答”扣 1 分，下同）【法二】2222234111362nnn nSCCCC+=+=+LL32223223223341441551nnnCCCCCCCCCC+=+=+=+LL322120246nnnnC+=L解得：22n=答：这位同学共堆积了 22 层【说明】本题原创考查等差数列定义、通项、求和以及组合数性质；考查阅读理解能力、字母符号识别理解能力、归纳能力、转化能力、运算能力；考查后继学习能力命题意图：探索从解题到解“问题”的方法途径；考查应试策略