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1、第三节二次函数与幂函数知识梳理思维激活【必备知识精归纳】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数_叫做幂函数,其中x是自变量,是常数.(2)常见的五种幂函数的图象y=x(3)幂函数的性质当0时,幂函数的图象都过点_和_,且在(0,+)上单调递增;当0)y=ax2+bx+c(a0),又图象过原点,所以f(0)=4a-4=0,a=1,所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.6.(忽视区间限制)已知函数f(x)=x2-x+1,在区间-1,1上不等式f(x)2x+m恒成立,则实数m的取值范围是.核心题型分类突破DA(3)(2022长沙模拟)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,
2、则实数m=.答案:2【解析】由幂函数定义,知m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x的图象不关于y轴对称,舍去,当m=2时,f(x)=x2的图象关于y轴对称,因此m=2.【方法提炼】(1)幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据0,01的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.(2)比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.AB题型二二次函数的解析式典 例 2(1)已 知 二 次 函 数 f(x)满 足 f(2)=-1,f(-1)
3、=-1,且 f(x)的 最 大 值 是 8,函 数 的 解 析 式 f(x)=.答案:-4x2+4x+7(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)的解析式为.答案:f(x)=x2-4x+3【解析】因为f(2+x)=f(2-x)对任意xR恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2,又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3,设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0),因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,所以a=1,所以所求函数的解析式为f
4、(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.【方法提炼】确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:【加练备选】1.已知f(x)为二次函数,且f(x)=x2+f(x)-1,则f(x)等于()A.x2-2x+1B.x2+2x+1C.2x2-2x+1D.2x2+2x-1B2.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bR)满足条件f(-x)=f(x),定义域为R,值域为(-,4,则函数的解析式f(x)=.答案:-2x2+4【解析】f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2.因为f(-x)=f(x),所以2a+a
5、b=0,所以f(x)=bx2+2a2.因为f(x)的定义域为R,值域为(-,4,所以b0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是()【解析】因为abc0,二次函数f(x)=ax2+bx+c,那么可知,在A中,a0,b0,c0,不符合题意;B中,a0,c0,不符合题意;C中,a0,c0,不符合题意.D角度2二次函数的单调性典例4(1)已知函数f(x)=-2x2+bx,若对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),则f(-2),f(4),f(5)的大小关系为()A.f(5)f(-2)f(4)B.f(4)f(5)f(-2)C.f(4)f(-2)f(5)D.f(-2)f(4)f(5)【解析】
6、因为对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图象关于直线x=4对称,所以f(-2)=f(10),又函数f(x)=-2x2+bx的图象开口向下,所以函数f(x)在4,+)上是减函数,因为45f(5)f(10),即f(4)f(5)f(-2).BD角度3二次函数的最值典例5已知函数f(x)=x2-tx-1.(1)若f(x)在区间(-1,2)上不单调,求实数t的取值范围;(2)若x-1,2,求f(x)的最小值g(t).【一题多变】本例条件不变,求当x-1,2时,f(x)的最大值G(t).【方法提炼】二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:对称轴、区间都是给定
7、的;对称轴动、区间固定;对称轴定、区间变动.(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.角度4与二次函数有关的恒成立问题典例6金榜原创易错对对碰已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.(1)对任意x-3,3,都有f(x)g(x),则k的取值范围是;答案:86,+)【解析】(1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x-3,3时,h(x)0恒成立,故h(x)max0.由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k,有86-
8、k0,得k86,即k的取值范围为86,+).(2)存在x-3,3,使f(x)g(x)成立,则k的取值范围是;答案:-10,+)(2)由题意,存在x-3,3,使f(x)g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k0在x-3,3上有解,故h(x)min0.由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,有-10-k0,得k-10,即k的取值范围为-10,+).(3)对任意x1,x2-3,3,都有f(x1)g(x2),则k的取值范围是.答案:118,+)(3)对任意x1,x2-3,3,都有f(x1)g(x2),所以f(x)maxg(x)min,x-3,3.由二次函
9、数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.故有120-k2,得k118,即k的取值范围为118,+).【方法提炼】由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是利用二次函数图象.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否 已 分 离.这 两 个 思 路 的 依 据 是:af(x)恒 成 立 af(x)max,af(x)恒 成 立af(x)min.【对点训练】1.(多选题)二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中正确的是()A.b=-2aB.a+b+c0D.abc
10、0的解集为(-1,3).若对任意的x-1,0,f(x)+m4恒成立,则m的取值范围是()A.(-,2B.4,+)C.2,+)D.(-,4B3.(2023抚顺模拟)已知函数f(x)=-x2+2x+5在区间0,m上有最大值6,最小值5,则实数m的取值范围是.答案:1,2【解析】由题意知,f(x)=-(x-1)2+6,则f(0)=f(2)=5=f(x)min,f(1)=6=f(x)max,函数f(x)的图象如图所示,则1m2.4.(2023衡水模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时,f(x)=x3,若不等式f(-4t)f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是.AC2.(2022沈阳模拟)已知f(x)=ax2-2x+1.(1)若f(x)在0,1上单调,求实数a的取值范围;(2)若x0,1,求f(x)的最小值g(a).【思维导图构网络】