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1、第二节函数的基本性质第1课时函数的单调性与最值【课程标准】借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.知识梳理思维激活【必备知识精归纳】1.函数的单调性(1)增函数与减函数增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间DI,如果x1,x2D当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上_.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是_当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上_.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是_单调递增增函数单调递减减函数增函数减函数图象描述自左向右看
2、图象是_自左向右看图象是_上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上_或_,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,_叫做函数y=f(x)的单调区间.点睛有多个单调区间时应分开写,不能用符号“”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.单调递增单调递减区间D2.函数的最值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)xI,都有_,(2)x0I,使得_,那么称M是函数y=f(x)的最大值;类比定义可得y=f(x)的最小值.点睛(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到;(2)开区间上的
3、“单峰”函数一定存在最大(小)值.f(x)Mf(x0)=M教材改编结论应用易错易混1,42,35,6BD3.(结论3)函数f(x)=log2(x2-4)的单调递增区间为.5.(混淆“单调区间”与“在区间上单调”)若函数f(x)=x2-2mx+1在2,+)上单调递增,则实数m的取值范围是.6.(忽视函数的定义域)已知函数y=f(x)是定义在-2,2上的减函数,且f(a+1)f(2a),则实数a的取值范围是.【题型一】求函数的单调区间典例1(1)若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是()A.(2,+)B.(-,2)C.(4,+)D.(-,4)核
4、心题型分类突破B(2)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是.(3)函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是.【方法提炼】求函数的单调区间的方法(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观地写出它的单调区间.(2)复合函数法:求函数的定义域;求简单函数的单调区间;求复合函数的单调区间,依据是“同增异减”.【对点训练】1.(2023南阳模拟)函数f(x)=x|x-2|的单调递减区间是()A.1,2 B.-1,0C.(0,2 D.2,+)AD【方法提炼】自主完善,老师指导判断函数单调性常用的方法(1)定义法:一般步骤为取值_得出结论.(
5、2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的_或_确定单调性.(3)导数法:先求导数,利用导数值的_确定函数的单调性(或单调区间).作差变形判断符号上升下降正负 ABC C BBC【方法提炼】(1)比较大小:将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式:往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域.(3)求最值:利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出时.(4)求参数:通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单
6、调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题,要注意上、下段端点值的大小关系.D D3.已知函数f(x)=-x|x|,x(-1,1),则不等式f(1-m)f(m2-1)的解集为.D【思维导图构网络】二、换元法(1)两类换元:代数换元和三角换元,可将复杂函数通过换元法转化为常见函数,结合图象或单调性求值域;(2)一个注意:三角换元时,注意元的取值范围,在不改变x的取值范围的前提下,尽可能缩小x的取值范围,选择在区间内单调的函数,可以避免不必要的讨论.典例2(1)函数y=4x+2x-1+3的值域为.四、判别式法(1)分式函数分子分母的最高次幂为二次时,可整理成关于x的二次方程,方程有解,判别式大于等于0,即解得y的取值范围,得到值域;(2)适用于函数的定义域为R的情况.六、配方法二次函数或换元后为二次函数型的函数,可采用配方法.典例6(1)函数y=x2-2x+3,x0,3)的值域为.(2)已知函数f(x)=2+log3x(1x9),求函数g(x)=(f(x)2+f(x2)的最值.