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1、高三年级数学科试卷 第 1 页 共 7 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科试卷答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：高三备课组一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的1.若集合2560Ax xx=-，ln 214Bx yx=-，则RAB=（）A.7,+B.6,+C.1,7-D.1,6-2.已知Rx，则“|1|1|2xx+-”是“11x”的（）A.充分不必要条件 B.
2、必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.在1nx-的二项展开式中，仅有第 4 项的二项式系数最大，则n=（）A.5 B.6 C.7 D.84.若 f x是R上周期为 3 的偶函数，且当302x的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足1260FMNF MN=o，若1235MFMFMNll+=Ruuuu ruuuuruuuu r，则双曲线E的离心率为（）A.87B.65C.53D.728设nS 是一个无穷数列 na的前 n项和，若一个数列满足对任意的正整数n，不等式11+nnSSnn恒成立，则称数列 na为和谐数列，有下列 3 个命题：若对任意的正整数n均有1+=
3、，则230.28Px=D.若事件A,B满足0(),()1P A P B且 1P ABP AP B=-，则A与B独立10.如图，在正方体1111ABCDABC D-中，2AB=，P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点，则（）高三年级数学科试卷 第 3 页 共 7 页学科网（北京）股份有限公司A.存在唯一点P，使得11D PBCB.存在唯一点P，使得直线1D P与平面ABCD所成角取到最小值C.若12DPDB=uuu ruuu r，则三棱锥1PBBC-外接球的表面积为8D.若异面直线1D P与1AB所成的角为4，则动点P的轨迹是抛物线的一部分11.已 知 函 数(),()f x g x的 定
4、义 域 均 为R，且 满 足()(2)4f xgx-=，()(4)6g xf x+-=，(3)(1)0gxgx-+=，则（）A.()(2)2f xf x-=-B.()g x的图象关于点(3,0)对称C.(2)0=gD.601()1620nf n=-三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12若复数512iz=+（其中i表示虚数单位），则Imz=_13.如图，在平面斜坐标系xOy中，60 xOy=，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OPxeye=+uuu ruruu r（其中1eur，2euu r分别是x轴，y轴正方向的单
5、位向量），则P点的斜坐标为,x y，向量OPuuu r的斜坐标为,x y，3,1OM=uuuu r，1,3ON=uuur，则OMN的面积为_.的高三年级数学科试卷 第 4 页 共 7 页学科网（北京）股份有限公司14.已知ABCV的三个内角A，B，C满足cos()3cos()ABAB-=+，当C最大时，动点P使得AP，AB，PB的长依次成等差数列，此时PCAB的最大值为_四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）已知na是等差数列，nb是等比数列，且23b=，39b=，11ab=，144ab=.（1）求na的通项公式；（2）设(1)nn
6、nncab=+-(*)Nn，求数列 nc的前 2n 项和16.（15 分）如图，圆台上底面圆1O半径为 1，下底面圆2O半径为2,AB为圆台下底面的一条直径，圆2O上点C满足1,ACBC PO=是圆台上底面的一条半径，点,P C在平面1ABO的同侧，且1/POBC.（1）证明：平面PAC 平面ABC；高三年级数学科试卷 第 5 页 共 7 页学科网（北京）股份有限公司（2）若圆台的高为 2，求直线1AO与平面PBC所成角的正弦值.17（15 分）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的概率为12，
7、设随机变量X表示n只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.（1）若(5)(95)P XP X=，求数学期望()E X；（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数(01)qq；（ii）12e2x xa学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科答案一单选题1.A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.D 8.A二多选题9.AD 10.BCD 11.AC三填空题12.2-13.32 14.2 324+四解答题15.（本题满分 13 分）
8、解：（1）设等差数列na的公差为d，等比数列 nb的公比为q,则323bqb=,2111babq=,144327abb q=,3分又141131 1327aadd=+=+=,可得2d=,4 分 所以1(1)12(1)21naandnn=+-=+-=-.6分（2）由（1）可得13nnb-=，7 分故1(1)(3)nnnb-=-，以它为通项的数列是以1-为首项、公比为3-的等比数列，8 分所以数列 nc的前 2n 项和21122()(1)1(3)(3)nnaaa-=+-+-+-LL 10 分222(141)(1)1(3)91421(3)44nnnnn+-=+=+-.13 分16.（15 分）解（1
9、）取AC中点M，由题意，121,22POBCAB=，又1/POBC，故1111/,22POBC POBC=.又2211/,22O MBC O MBC=，故1212/,POO M POO M=，所以四边形12POO M为平行四边形，则12/PM OO.由12OO 平面ABC，故PM 平面ABC，又PM 面PAC，故平面PAC 平面ABC.7 分学科网（北京）股份有限公司（2）以2O为坐标原点，2221,O B O C O Ouuuu r uuuu r uuuuu r的方向为,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：1222,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0,0,222AB
10、CPO-，故12,0,2.AO=uuuu r设平面PBC的法向量,nx y z=r而222,2,0,222BCCP=-=-uuu ruuu r，故220222022n BCxyn CPxyz=-+=-+=r uuu rr uuu r，令1z=，得2,2,1.n=r设所求角的大小为q，则111222 30sincos,1565AO nAO nAOnq+=uuuu rruuuu rruuuu rr.所以直线1AO与平面PBC所成角的正弦值为2 3015.15 分17.（1）由题知，随机变量X服从二项分布，1(,)2XB n，由595P XP X=，即5555551111C()(1)C()(1)22
11、22nnnnn-=-，得100n=，所以()50E Xnp=4 分（2）（）11221010,AXx XxXx=L，19 3228 333724466641010101010()(C(1)(C(1)(C(1)(C(1)(C(1)P Apppppppppp=-，13233242257510101010()(C)(C)(C)(C)(1)P App=-8 分（）记1323324210101010()ln(C)(C)(C)(C)25ln75ln(1)g ppp=+-，则257525 100()1(1)pg ppppp-=-=-，当104p，()g p单增；当114p时，()0g p，()g p单减；学
12、科网（北京）股份有限公司当14p=时，()g p取得最大值，即P取得最大值在团体A 提出的函数模型22ln 1,013pqqq=+-中，记函数21()ln(1)120,3f xxxx=-+，2141)434()133(1fxxxxxx=-=+-+，当102x，1()f x单增；当112x时，1()0fx，1()f x单减当12x=时，()f x取得最大值3113lnln0.40652642-fxf x在(0,)+上单调递增；当0a 时，由()0fx得202axa，由()0fx，学科网（北京）股份有限公司所以()f x在20,2aa上单调递增，在2,2aa+上单调递减4 分（2）因为12,x x
13、是方程2ln0 xax-=的两不等实根，即12,x x是方程22ln20 xax-=的两不等实根，令2(0)tx t=，则221122,tx tx=，即12,t t是方程ln2tat=的两不等实根.令ln()tg tt=，则21 ln()tg tt-=，所以()g t在(0,e)上递增，在(e,)+上递减，1(e)eg=，当0t 时，()g t -；当t +时，()0g t 且()0g t.所以102ae，即102ea.令121ett，只需证122ett+，6 分解法 1：令()()(2e),(1,e)h tg tgt t=-，则lnln(2e)(2e)lnln(2e)()()(2e)2e(2
14、e)tttttth tg tgttttt-=-=-=-，令()(2e)lnln(2e)tttttj=-，则22e2e()1 lnln(2e)ln2e2e2ettttttttttttj-=-+=+-+-2e202etttt-+-，所以()tj在(1,e)上递增，()(e)0tjj=，所以()()(2e)0h tg tgt=-，所以()(2e)g tgt-，所以 2112eg tg tgt=-，即122ett+，所以22122exx+11 分学科网（北京）股份有限公司解法 2：先证121212lnln2xxxxxx-+-，令120 xx，只需证212121ln2lnxxxxxx-+-，只需证211
15、2ln011xxxxxx-+，令1()2ln(1)1xxx xxj-=-+，22241(1)()0(1)(1)xxxxx xj-=-=+，所以()jx(1,)+上单调递减，所以()(1)0 xjj=因为1212lnlntttt=，所以1212121212lnlnlnln2tttttttttt+-+=，即21 2et t，所以121 222ettt t+解法 3：由1212121elnlntttttt=，所以11lnlnlnttll+=，即1212lnln(1)lnln,ln,lnln111ttttllllllll+=+=-，构造函数2(1)()ln(1)1xg xxxx-=-+，22214(1)()0(1)(1)xg xxxx x-=-=+，所以()g x在(1,)+上单调递增，所以()(1)0g xg=（ii）要证：12e2x xa，只需证：1 2e2t ta，在学科网（北京）股份有限公司只需证：12lnln1 ln2tta+-，只需证：12221 ln2atata+-，只需证：121 ln22atta-+，212121lnln2mmmmmm-+-令1221,2mmta=得22211222ln22ttaaata-+令1121,2mt ma=得1111122ln222ttaaaat-+得：2221212(ln21)0a ttatt-+-，即121 ln22atta-+17 分