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1、专题4：等差数列限时训练满分100一、单选题（每题5分共30分）1已知数列满足，则的值为（）A2BCD2已知数列满足.若数列的前项和为，则（）A4046B4047C8092D80943已知数列的前n项和为，且，若，则（）ABCD4已知等差数列，则“单调递增”是“”的（）条件A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件5若数列的前n项和满足，则（）A数列为等差数列B数列为递增数列C为等差数列D为等差数列6卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm若未使用时
2、直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（）A25.7mB30.6mC35.3mD40.4m7已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（）ABCD8过圆：内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为（）ABCD二、多选题（每题5分共10分）9已知为椭圆C上一点，为椭圆的焦点，且，若与的等差中项为，则椭圆的标准方程为（）ABCD10已知等差数列的前项和为，且满足，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是（）ABCD数列的前10项和为三、填空题（每题5分共10分）11若数列满足，则的最小值是 12已知数列
3、是递增数列，前项和为，且当时，则 .四、解答题13在等差数列中，(1)已知，求，；(2)已知，求；(3)已知，求14在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.问题：已知等差数列的公差为，前n项和为，满足，_？(1)求数列的通项公式；(2)若，求的值.15已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求证：.16记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式试卷第3页，共4页学科网（北京）股份有限公司参考答案：1A【分析】直接根据递推公式计算即可得出答案【详解】，故选：A2B【分析】根据等差中项的性质得到数列为
4、等差数列，然后利用等差中项的性质和前项和公式求即可.【详解】因为，所以数列为等差数列，则.故选：B.3D【分析】根据题意，推得，得到数列是公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由数列的前n项和为，且，可得，即，故数列是公差为3的等差数列，因为，所以，所以.故选：D4A【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果.【详解】已知等差数列的公差为，即，当单调递增时，令得到， ；反之，为单调递增.故“单调递增”是“”的充要条件故选：A.5D【分析】降次作差即可得到，根据等差数列的定义即可判断A，根据数列单调性即可判B，求出相关值结合等差数列定义即可判断CD.【详解】当时，当时，
5、对于A：不满足，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C，,，不满足，故C不正确；对于D：，三项可构成等差数列，且公差为8，故D正确；故选：D6C【分析】依题意，可以把绕在盘上的卫生纸长度，近似看成是半径成等差数列的圆周长，然后分别计算各圆的周长，再借助等差数列前项和公式求总和即可.【详解】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为：，可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为：，且.由等差数列的求和公式得：故选：C7B【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可.【详解】由，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，即，所以有，显然当时，因此中最小的一项是，故选：B8B【分析
6、】依题意，过点的2023条弦构成公差为正数的等差数列，要使公差最大，必须使首项取到最短弦长，末项取到最长弦长，利用等差数列基本量运算即得.【详解】因经过圆：内一点的最长的弦为圆的直径，长度为10，最短弦长为以点为中点且与垂直的弦，其长度为.(理由如下) 如图，过点且与垂直，过点另作弦,过点作于点，在中，显然,而,因，则得，即为过点的最短弦长.要使公差d最大，则这2023条弦构成的等差数列应以最短弦长为首项，以最长弦长为末项.即，解得：，故公差的最大值为.故选：B.9AB【分析】根据给定条件，求出椭圆长短半轴长，再按焦点位置求出椭圆方程即得.【详解】依题意，椭圆的半焦距，长半轴长，则，因此，短半
7、轴长，焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为，焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为.故选：AB10ACD【分析】根据题设条件求出数列的公差，易得通项和前项和，易于判断A,B两项；对于新数列，可以通过项的列举找到公共项，易得其通项，判断C项；对于D项，因数列的通项易于裂项，故运用裂项相消法求和即得.【详解】设等差数列的公差为，由解得：，故，故A项正确，B项错误；将数列列举出来为：数列列举出来为：故共同项依次有：,即，故，则，C项正确；因，其前10项和为故D项正确.故选：ACD.11/【分析】利用累加法求得，利用基本不等式求得的最小值.【详解】由已知，所以，又也满足上式，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的
8、最小值是故答案为：12【分析】根据题意，推得，得到，求得，再利用并项法求和，即可求解.【详解】由时，可得，即，所以，两式相减得，即，所以，因为是递增数列，所以，则，即，所以数列是首项为，公差的等差数列，所以，经检验时成立，则，则.故答案为：.【点睛】方法知识点拨：对于数列分组求和的解题策略：1、一个数列的的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减；2、分组转化求和的常见类型：若数列满足（为等差或等比数列），可分组求和；若（为等差或等比数列），可分组求和.13(1)；(2)28；(3)17.【分析】（1）（2）（3）利用给定条件，列出关于、
9、的方程组即可求解作答.【详解】（1）在等差数列中，由，得：，解得，所以.（2）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以.（3）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以.14(1)(2)证明见解析【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）求出的表达式，利用裂项相消法求出，结合放缩法可证得结论成立.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，所以.（2）证明：由（1）可得，则，所以，所以.15（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数
10、列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）方法一：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;方法二【最优解】： 由已知条件知于是由得又，由得令，由，得所以数列是以为首项，为公差的等差数列方法三：由，得，且，又因为，所以，所以在中，当时，故数列是以为首项，为公差的等差数列方法四：数学归纳法由已知，得，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且下面用数学归纳法证明当时显然成立假设当时成立，即那么当时，综上，猜想对任意的都成立即数列是以为首项，为公差的等差数列（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,当n=1时，,当n2时,显然对于n=1不成立,.【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；答案第9页，共9页学科网（北京）股份有限公司