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1、高 中 数 学 人 教A 版 必 修 第 二 册第 六 章 平 面 向 量 及 其 应 用6.4.3-1 余弦定理6.4 平面向量的应用探究新知问题问题1 已知三角形的两边已知三角形的两边a，b及它们的夹角及它们的夹角C，如何，如何求第三边求第三边c？设设 ，那么那么 把几何元素用向量表示：把几何元素用向量表示：进行恰当的向量运算：进行恰当的向量运算：向量式化成几何式：向量式化成几何式：同理可得同理可得于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理余弦定理余弦定理.探究新知探究探究2 2：还有其他的方法证明上述关系式的成立吗？：还有其他的方法证
2、明上述关系式的成立吗？法法3：几何法几何法（作高法）（作高法）=+学习新知余弦定理余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即思考思考：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？已知两边及其夹角求第三边（已知两边及其夹角求第三边（SAS型型）符号语言：符号语言：ac c学习新知2、余弦定理的推论 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题.怎么确定呢？已知三边求任意一个角（已知三边求任意一个角（SSS型型）从余弦定理及其推
3、论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.思考思考：利用余弦定理的推论可以解决：利用余弦定理的推论可以解决三角形的哪类问题？三角形的哪类问题？归纳总结：已知三条边求任意角已知三条边求任意角（SSS）余弦定理：余弦定理：推论：推论：已知已知两边夹一角求第三边【对边两边夹一角求第三边【对边】（SAS）问题问题1 公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）ac c学习新知应用一：应用一：已知两边及其夹角
4、，已知两边及其夹角，解三角形解三角形（SAS）例例2 在在ABC中，中，a=7，b=8，锐角，锐角C满足满足 求求cosB.学习新知应用一：应用一：已知两边及其夹角，已知两边及其夹角，解三角形解三角形（SAS）例例2 在在ABC中，中，a=7，b=8，锐角，锐角C满足满足 求求cosB.(内内)C=-A-B.学习新知应用一：应用一：已知两边及其夹角，已知两边及其夹角，解三角形解三角形（SAS）例例2 在在ABC中，中，a=7，b=8，锐角，锐角C满足满足 求求cosB.学习新知应用一：应用一：已知两边及其夹角，已知两边及其夹角，解三角形解三角形（SAS）例例2 在在ABC中，中，a=7，b=8
5、，锐角，锐角C满足满足 求求cosB.解：解：学习新知应用二：应用二：已知三条边求任意角已知三条边求任意角（SSS）例例3 在在ABC中，中，a=，b=2，c=，解这个三角形解这个三角形.学习新知应用二：应用二：已知三条边求任意角已知三条边求任意角（SSS）例例3 在在ABC中，中，a=，b=2，c=，解这个三角形解这个三角形.解：解：由余弦定理得由余弦定理得“知三边知三边”：(余余)求求cosA,cosB得得A,B(内内)C=-A-B.典型例题题型一：已知三边解三角形求第一个角先利用余弦定理的推论求一个角的余弦值，再判定此角的取值，求得第一个角(一般先求最小角)求第二个角继续用余弦定理求另一
6、个角求第三个角最后用三角形内角和定理求出第三个角技巧总结：已知三角形的三边求角的基本步骤学习新知应用二：应用二：已知三条边求任意角已知三条边求任意角（SSS）学习新知应用二：应用二：已知三条边求任意角已知三条边求任意角（SSS）解：由余弦定理，得学习新知应用三：应用三：已知两边及一边对角，解三角形已知两边及一边对角，解三角形（SSA）例例4 在在ABC中，若中，若c ，b5，且，且cos C ，求，求a.学习新知应用三：应用三：已知两边及一边对角，解三角形已知两边及一边对角，解三角形（SSA）例例4 在在ABC中，若中，若c ，b5，且，且cos C ，求，求a.方法总结：方法总结：关键是利用
7、含有已知角的余弦定理，关键是利用含有已知角的余弦定理，得到得到一个一元一个一元二次方程二次方程.若若c1，b5，且，且cos C 呢呢？（不一定有解）（不一定有解）a2-9a+240 典型例题(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三 边的一元二次方程求解.(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一 边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.技巧总结：已知两边及一角解三角形的两种情况 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式！理解新知探究探究3 3：勾股定理与余弦定理有什么关系？：勾股定理与余弦定理有什么关系？余弦定理
8、是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例 是否可以利用余弦定是否可以利用余弦定理判定三角形形状？理判定三角形形状？典型例题题型三：三角形形状的判断由acos Bacos Cbc并结合余弦定理，整理，得(bc)(a2b2c2)0.因为bc0，所以a2b2c2，故ABC是直角三角形.典型例题题型三：三角形形状的判断例1解析（1）在ABC中，若 则ABC的形状为A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形借助向量的运算例1（1）在ABC中，若 则ABC的形状为A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形设ABc，ACb，BCa，综上所述，ABC的形状为等边
9、三角形.故选C.利用余弦定理统一边解析例1解（2）在ABC中，若acos Bacos Cbc，试判断该三角形的形状.由acos Bacos Cbc并结合余弦定理，整理，得(bc)(a2b2c2)0.因为bc0，所以a2b2c20，即a2b2c2，故ABC是直角三角形.利用余弦定理，统一成边反思感悟先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系ABC为直角三角形a2b2c2或c2a2b2或b2a2c2ABC为锐角三角形a2b2c2且b2c2a2且c2a2b2ABC为钝角三角形a2b2c2或b2c2a2或c2a20，c0，根据结构凑配利
10、用基本不等式求范围反思感悟利用余弦定理解决最值或范围问题的常用方法转化为三角函数利用三角函数的有界性求解利用基本不等式求解利用二次函数的性质求解跟踪训练2(1)若2a1，a，2a1为钝角三角形的三边长，则实数a的取值范围是_.解析 因为2a1，a，2a1是三角形的三边长，此时2a1最大.要使2a1，a，2a1是三角形的三边长，还需a2a12a1，解得a2.设最长边2a1所对的角为，则90，(2,8)跟踪训练2又因为sin2Bcos2B1，跟踪训练2解 由ac2，可得c2a，由余弦定理，得例3解析BD2AB2AD22ABADcosBAD169214.BD2，12把条件集中在一个三角形例3解由ab
11、65，可设a6m，b5m.例3解由及余弦定理的推论得，反思感悟利用余弦定理解决综合问题基本公式1.余弦定理2.变形公式相关公式1.同角三角函数的基本关系2.三角恒等变换公式跟踪训练3(1)在四边形ABCD中，ABCD，ADCDBD1，若AB2BC，则cosBDC的值为_.由ABCD，得DBA，所以ADB2，由余弦定理得，AB2AD2BD22ADBDcos(2)22cos 2，BC2DC2DB22DCDBcos 22cos，因为AB2BC，所以22cos 24(22cos)，跟踪训练3解 结合已知条件，由余弦定理可得，跟踪训练3解 ADBD，BADB，课堂小结1.知识清单：(1)利用余弦定理判定三角形的形状(2)利用余弦定理解决最值或范围问题(3)余弦定理的综合运用2.方法归纳：化归转化、数形结合3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件