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1、第六讲 定义新运算与规律探索（二）专题一 数式规律【例题1】观察下列数或式子，按某种规律在横线上填上适当的数或式子 （1）3，250，2，3，250，2，_，_（第2021个数）； （2）1，4，7，10，13，_，_（第n个数）； （3）2，5，10，17，26，_，_（第n个数）； （4）2，4，8，16，32，_，_（第n个数）； （5）1，_，_（第n个数）； （6），_，_（第n个式子）（a0）答案：（1）3，250；（2）16，3n2；（3）37，n21；（4）64，(2)n；（5），(1)n1；（6），(1)n1解析：略【练1.1】观察下面几组数：1，3，5，7，9，11，13，
2、15，2，5，8，11，14，17，20，23，7，13，19，25，31，37，43，49，这三组数具有共同的特点 现有上述特点的一组数，并知道第一个数是3，第三个数是11则其第n个数为（ ）A8n5Bn22C4n1D2n24x5答案：C解析：分析数据可得：这三组数据是等差数列，第一个数是3，第三个数是11，则第二个数为7；即每个数比前一个大4，故其第n个数为4n1每个数比前一个大4，第n个数为4n1【练1.2】观察下列一组数：，1，根据这组数的排列规律，若第n个数的值为，则n的值为（ ）A6B7C8D9答案：B解析：一组数为：，1，这组数据第n个数为：，令，解得n1（舍去），n27【练1.
3、3】观察下列等式：121，224，329，4216，5225，那么1222324220192的个位数字是（ ）A0B1C4D5答案：A解析：由题中可以看出，故个位的数字是以10为周期变化的，用201910，计算一下看看有多少个周期即可以2为指数的幂的末位数字是1，4，9，6，5，6，9，4，1，0依次循环的，2019102019，（1496569410）201（149656941）45201459045459090，1222324220192的个位数字是0故选：A【练1.4】观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，按照上述规律，第2020个单项式是（
4、）A2020x2020B4041x2020C4039x2020D4039x2020答案：D解析：符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的规律：第n个对应的系数是2n1，指数的规律：第n个对应的指数是n系数的规律：第n个对应的系数是（2n1）（1）n1，指数的规律：第n个对应的指数是n，n2020时，（2n1）（1）n1xn4039x2020【例题2】观察下面三行数： 2， 4， 8，16， 32，64，； 4， 2， 10，14， 34，62，； 1， 2， 4， 8，16， 32， 在上面三行数的第n列中，从上往下的三个数分别记为a,b,c，观察这些数的特点，根据
5、你所得到的规律，解答下列问题 （1）用含n的式子分别表示出a,b,c； （2）根据（1）的结论，若a,b,c三个数的和为770，求n的值答案：（1）详见解析；（2）9解析：（1）观察三行数中数的变化可找出：第行的第n个数a为(1)n12n；第行的第n个数b为(1)n12n 2；第行的第n个数c为(1)n2n1；（2）(1)n12n(1)n12n 2(1)n2n1770，解得n9【练2.1】观察下面三行数：2， 4，8， 16，32， 64， 0， 6，6， 18，30， 66， 1，2， 4，8， 16，32， 设x,y,z分别为第、行的第2001个数，则2xy2z的值为（ ）A22001B2
6、C0D2答案：B解析：观察三行数中数的变化可找出：第行的第n个数为（2）n，第行的第n个数为（2）n2，第行的第n个数为（2）n1，代入n2001后可得出x，y，z的值，再将其代入2xy2z中即可求出结论1（2）2，2（2）4，4（2）8，8（2）16，16（2）32，第行的第n个数为（2）n；220，426，826，16218，第行的第n个数为（2）n2；第行的每个数均为第行的每个数的倍，第行的第n个数为（2）n1x，y，z分别为第行的第2001个数，x22001，y220012，z22000，2xy2z22002（220012）220012故选：B专题二 图形规律【例题3】（1）如图，根据
7、箭头的指向规律，从2019到2020再到2021，箭头的方向是以下图示中的（ ）ABCD答案：C解析：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，201945043，2019是第505个循环的第3个数，2020是第505个循环的第4个数，2021是第505个循环组的第1个数，从2019到2020再到2021，箭头的方向是（2）如图，中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形“扩展”而来的，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an（n3）则a7的值是_，当的结果是时，n的值是_ 答案：56；99解析：由图可知a31234，a42045，a55630，ann（n
8、1），则a7的值是7856；解得n99【练3.1】下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第个图形一共有2个五角星，第个图形一共有8个五角星，第个图形一共有18个五角星，则第个图形中五角星的个数为（ ）A50B64C68D72答案：D解析：第个图形一共有2个五角星，第个图形一共有：2（32）8个五角星，第个图形一共有8（52）18个五角星，第n个图形一共有：123252722（2n1）2135（2n1），1（2n1）n2n2，则第（6）个图形一共有：26272个五角星【练3.2】观察下列图形规律：当n（ ）时，三角形方框上“”的个数和三角形方框内“”的个数相等A5B6C7D8答案：
9、A解析：首先根据n1、2、3、4时，“”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“”的个数是3n；然后根据n1、2、3、4，“”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“”的个数是；由3n，可得n25n0，解得n5或n0（舍去），当n5时，图形“”的个数和“”的个数相等【练3.3】将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2020个时，实线部分长为（ ）A5045B5046C5047D5050答案：D解析：摆放2020个时，实线部分长为：10102101035050【课后练习】 1研究一列数：1，3，5，7，9，11，13，照此规律，第n
10、个数应该是（ ）A2n1B12n C(2n1)(1)n D答案：D解析：首先发现：这列数是一列奇数，且正负相间则第n个数是（2n1）（1）n1第n个数是（2n1）（1）n12古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性若把第一个三角形记为a1，第二个三角形记为a2，第n个三角形记为an，则an（ ）An21 B CD答案：C解析：首先发现：这列数是一列奇数，且正负相间则第n个数是（2n1）（1）n1第n个数是（2n1）（1）n13在公园内，牡丹按正方形种植，在它的外围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n11时，芍药的数量为（ ）A84株B
11、88株C92株D121株 答案：B解析：由图可得，芍药的数量为：4（2n1）4，当n11时，芍药的数量为：4（2111）44（221）44214484884如图所示是按一定规律排列的图形，依照此规律，第20个图形中白色瓷砖块的个数为（ ）A42个 B44个 C62个 D65个 答案：C解析：由图可得，第n个图形中白色瓷砖块的个数为：5（n1）33n2，当n20时，3n2625观察下面的三行单项式： x， 2x2， 4x3， 8x4， 16x5， 32x6， 2x， 4x2，8x3， 16x4，32x5， 64x6， 2x2， 3x3， 5x4， 9x5， 17x6，33x7， （1）根据你发现
12、的规律，第一行第8个单项式为_；（2）第二行第n个单项式为_；（3）第三行第10个单项式为_答案：（1）27x8；（2）（2）nxn；（3）513x11解析：（1）观察第行的每个单项式可知：系数依次2，次数依次1，第n个单项式为2n1xn；故答案为：27x8；（2）观察第行的单项式可知：第奇数个是负数，第偶数个是正数，系数和次数同（1），第n个单项式为（2）nxn；故答案为：（2）nxn；（3）观察第行单项式可知：在（1）、（2）的基础上符号与（2）的相反，（1）的系数1，次数1可得（3）系数的绝对值和次数，第n个单项式为（1）n1（2n11）xn1故答案为：513x11【学霸自修】1【概念学
13、习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222，(3)(3)(3)(3)等类比有理数的乘方，我们把222记作2，读作“2的圈3次方”，(3)(3)(3)(3)记作(3)，读作“3的圈4次方”，一般地，把n个a相除（a0）记作a，读作“a的圈n次方”【初步探究】（1）直接写出计算结果：2_，()_；（2）关于除方，下列说法错误的是_A任何非零数的圈2次方都等于1B对于任何正整数n，11C34D负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（
14、1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式(3)_；5_；()_；（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_；（3）算一算：122()(2)()33答案：【初步探究】（1），27；（2）C；【深入思考】（1）()2，()2，（）8；（2）()n-2；（3）5解析：【初步探究】（1）2222，（）（）（）（）（）（）1（）（）（）（3）（）（）27；（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1都等于1； 所以选项B正确；C、33333，4444，则 34； 所以选项C错误；D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数所以选项D正确；本题选择说法错误的，故选C；【深入思考】（1）（3）（3）（3）（3）（3）()2；5555555()2；（）（）8；（2）a()n-2；（3）122（）（2）（）33，144（）（3）3（2）（）4（）（3）533，1449（）3（3）433，16（）3，23，5