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1、第十讲 弧、弦、圆心角、圆周角知识点一弧、弦、圆心角的关系【定义】、如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做 【探究】如图所示的O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？相等的弦： ；相等的弧： 【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 如图1，在O和O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB得到如图2，滚动一个圆，使O与O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与OA重合你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？因此，我们可以得到下面的定理：【归纳】在同圆或等圆中，相等的圆心角所
2、对的弧 ，所对的弦 。几何语言： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等几何语言： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等几何语言： 【辨析】定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？你能举出反例吗？【拓展】如图，在O中，AB、CD是两条弦（1） 如果AB=CD，那么_,_（2） 如果弧AB=弧CD，那么_,_（3） 如果AOB=COD，那么_,_（4） 如果AB=CD, OEAB，OFCD,OE与OF相等吗？（5）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的
3、大小有什么关系？为什么？AOB与COD呢？【归纳】:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。【应用】例、如图，在O中，AB=AC ACB =60 ，求证AOB=BOC=AOC. 方法小结：圆中证明圆心角相等，可通过证明_例、如图，AB是O的直径，=，COD=35 ，求AOE的度数。方法小结：同圆中，弧相等的关系可转化为_例、已知：如图，A、B、C、D在O上，AB=CD求证：AOC=DOB方法小结：同圆中，由弦相等可得_,弧之间可进行加或_【自我检测】1如果两个圆心角相等，那么（ ） A这两个圆心角所对的弦相等 B这两个圆心角所对的弧相等
4、 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D以上说法都不对 2在同圆中，圆心角AOB=2COD，则两条弧AB与CD的关系是（ ）两条弦AB和CD的关系是（ ） A. AB=2CD BAB2CD CAB2CD D不能确定 3、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_4、如图，AB和DE是O的直径，弦ACDE，若弦BE=3，则弦CE=_5、如图所示，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD、BC于E、F，延长BA交圆于G。求证： 思路导航：证弧EF和弧GE相等，可通过证明两条弧所对的_相等，因此，可作辅助线_6、已知：如图，P是AOB的角平分线OC上的一点，P与OA相交于E，F
5、点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论思路导航：由角平线线可联想_,因此可添加辅且线_由同圆中_相等，可得出弦EF和GH相等。知识点二、圆周角定理【探究】：同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的 靠墙的位置C，他们的视角（AOB和ACB）有什么关系。【探究】：如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角ADB和AEB相同吗？ACB, ADB和AEB的共同特征是，顶点在_，并且两边_的角叫做圆周角。【辨析】识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？【探究】如图，AB为O的直径，BOC、BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求出图（）、（
6、）、（）中BAC的度数通过计算发现：BACBOC试证明这个结论【探究】如图，B C所对的圆心角有多少个？B C所对的圆周角有多少个？在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？你能证明刚才的结论吗？ 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径辨析：在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？【小结】：圆周角定理的前提条件是：_【应用】例1、 图中分别相等的圆周角有_例2、 如图，点A、B、C在O上，AOBC，OAC=20，则AOB的度数是_.方法小结：求圆中的圆周角
7、可利用_所对_实现转化。例3、 如图， OA、OB、OC都是圆O的半径,AOB=2BOC求证:ACB=2BAC方法小结：已知两个圆心角的关系，可通过_所对的_与_的关系联系已知与未知。例4、如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？方法小结：直径所对的圆周角是_，垂直可结合等腰三角形_的性质。例5、如图，AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，ACD=42度，则BAD=_方法小结：圆中出现直径，求圆周角时，可构造直径所对_解题。【自我检测】1、 如图，ABD的三个顶点在O上，AB是直径，点C在O上，且ABD=52，则BCD=_2、 如图，在O
8、中，弧AB=弧AC，AOB=50，则ADC的度数=_3、 如图，BD是O的直径，CBD=30，则A的度数为_4、 如图4，A、B是O的直径，C、D、E都是圆上的点，则1+2=_ 【经典例题】例、如图，四边形ABCD的四个顶点在圆O上，且对角线ACBD,OEBC于点E，求证：OE= AD思路导航：由倍分关系，联系_，由OE和BC的位置关系，由垂径定可知点E是BC的_,又由圆的性质知点O为直径的中点，故可作辅助线_本题知识点：_,_,_知识点三、圆内接四边形的性质【定义】如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图1中，四边形ABCD是O的内接
9、四边形；O是四边形ABCD的外接圆。圆内接四边形有以下性质： 性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。应用例1、如图，四边形ABCD内接于O，BOD=100，则BCD=_度例2、如图A，B，C是O上的三个点，若AOC=100，则ABC等于例3、如图，ABC内接于O，OBC=40，则A的度数为 方法小结：圆中求角的问题可利用圆内接四边形_的性质解题，未出现基本图形时，可构造圆内接边形解题。例4、如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，ABC=50，则DAB等于（）例5、如图，已知AB=AC=AD，BAC=44，则BDC的度数为（） 方法小结：弧中点的条件
10、可转化为_,见直径应想到_，例5中出现到定点A的距离相等的线段，可构造辅助圆。 经典例题 如图，ABC内接于O，且ABACBAC的外角平分线交O于E，EFAB，垂足为F（1）求证：EB=EC；（2）分别求式子 和的值（3）若EF=AC=3，AB=5，求AEF的面积妙题巧解如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，DAB=60，BD=6cm，求对角线AC的长【自我检测】1、 如图12，四边形ABCD内接于圆，DCE=70，则BOD=_2、如图，A、B、C在O上，OAB=22.5，则ACB=_3、如图，O是ABC的外接圆，已知B=62，则CAO=_4、已知A，B，C是O上不同的三个点，AOB=60，则ACB=_5、如图OA=OB=OC且ACB=30，则AOB的=_ 第1题 第2题 第3题 第5题6、 如图，等腰ABC中，AC=BC，O为ABC的外接圆，D为弧BC上一点，CEAD于E，求证：AE=BD+DE7、如图，C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，BMO=120（1）求证：AB为C直径（2）求C的半径及圆心C的坐标