《专题2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）含答案.pdf（56页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题专题 2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）目录题型 01 奇偶性基础.1题型 02 中心对称型函数.2题型 03 轴对称型函数.3题型 04 斜直线轴对称型.3题型 05“正余弦”型对称.4题型 06 伸缩型对称.5题型 07 一元三次函数型中心对称.6题型 08“局部周期”型函数性质.7题型 09 双函数型对称.8题型 10 原函数与导函数型双函数对称.9题型 11 放大镜型函数性质.10题型 12 抽象函数赋值型性质.11题型 13 对称型恒成立求参.11题型 14 构造“对称”型函数.12高考练场.13题型题
2、型 01 奇偶性基础奇偶性基础 【解题攻略】【解题攻略】奇偶函数的性质偶函数f(x)f(x)关于 y 轴对称对称区间的单调性相反；奇函数f(x)f(x)关于原点对称对称区间的单调性相同；奇函数在 x0 处有意义时，必有结论 f(0)0；奇偶性的判定“奇奇”是奇，“偶偶”是偶，“奇/奇”是偶，“偶/偶”是偶，“奇/偶”是奇；奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数【典例【典例 1-1】（2023 秋山西高三校联考期中）已知函数 221fxxaxa=+-+-为奇函数，则 f a的值是（）A0B12-C12D10【典例【典例 1-2】（2023 秋北
3、京昌平高三北京市昌平区前锋学校校考阶段练习）已知 913xxf x-=，则（）A f x为偶函数，且在0,+上单调递增B f x为偶函数，且在0,+上单调递减C f x为奇函数，且在0,+上单调递增D f x为奇函数，且在0,+上单调递减专题2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）（14
4、题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）【变式【变式 1-1】（2023全国高一专题练习）若 eexxf xa-=-为奇函数，则 1eef x-的解集为（）A,2-B,1-C2,+D1,+【变式【变式 1-2】（2023 秋江苏南通高三统考开学考试）已知 e10eaxxf xa-=是奇函数，则 f x在0 x=处的切线方程是（）Ayx=B2yx=Ceyx=D2eyx=【变式【变式 1-3】（2023 秋天津和平高三天津一中校考阶段练习）已知函数 ee2xxf x-=，xR，若对任意,1xm m+，都有20fmxf mx-+-成立，则实数m的取值范围是（）A0
5、,+B0,+C2,+D2,+题型题型 02 中心对称型函数中心对称型函数【解题攻略】【解题攻略】中心对称结论：（1）若函数 f x满足2f axf axb+-=，则 f x的一个对称中心为,a b（2）若函数 f x满足 22faxf xb-+=，则 f x的一个对称中心为,a b（3）若函数 f x满足22faxfxb+-=，则 f x的一个对称中心为,a b.【典例【典例 1-1】已知函数 2sin1sinf xlnxxxR=+，则存在非零实数0 x，使得（）A01f x=-B002f xfx-=C021ff xln=+D0032fxf xp+-=【典例【典例 1-2】函数5sin(151
6、0)55yxx=+-的图象与函数25(1)22xyxx+=+图象的所有交点的横坐标之和为_.【变式【变式 1-1】.设函数32()sinln13f xaxbxcxx=+的最大值为 5，则()f x的最小值为（）A5-B1C2D3【变式【变式 1-2】已知函数222()log1221xf xxx=+-+，xR，若0,2pq$使关于q的不等式(2sincos)(42sin2cos)2ffmqqqq+-，若13f afa-，则a的取值范围是 【典例【典例 1-2】（2023 上江西景德镇高一统考期中）已知函数 f x满足关系式2fxfx+=-，且对于1x，212,1xxx-，满足12120f xf
7、xxx-恒成立，若不等式23f axf x，2mn，且有 2fmf n=，则12mmn+的最小值为 .【变式【变式 1-2】（2023 上山东济南高三统考开学考试）若函数 2210f xxxaxbc c=-+-的图象关于直线2x=-对称，且 f x有且仅有 4 个零点，则abc+的值为 【变式【变式 1-3】（2023 上陕西榆林高三校考阶段练习）函数 f x是定义在R上的奇函数，且图象关于12x=对称，在区间10,2上，21xf x=-，则2log 5f=.题型题型 04 斜直线轴对称型斜直线轴对称型 【解题攻略】【解题攻略】关于斜直线轴对称，可以借鉴圆锥曲线中直线的对称性来处理更多全科试卷
8、，请关注公众号：高中试卷君（1）点,A a b关于直线0AxByC+=的对称点,A m n，则有1022nbAmaBambnABC-=-+=；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.如果斜直线轴对称，还有以下经验公式：如果对称轴所在的直线斜率是1，即直线是yxb=+型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子00yxbxyb=+=-m(1)如果00,A xy关于直线:l yxb=+的对称点为B，则B的坐标为00,yb xb-+；(2)如果00,A xy关于直线:l yxb=-+的对称点为B，则B的坐标为00,ybxb-+-+【典例【典例 1-1】（2023 上重庆高三西南大
9、学附中校考）已知函数32fx+为奇函数，f x的函数图象关于yx=对称，且当12x时，sin2f xx=，则72f=.【典例【典例 1-2】（2023 上辽宁高三校联考）已知定义域为R的函数 yf x=满足 22fxf x-+=，且其图象关于直线yx=-对称，若当0,1x时，21xf x=-，则23f-=.【变式【变式 1-1】（2023 上辽宁大连高三大连八中校考期中）已知函数 1ln 1f xaxx=-+，若曲线1yfx=关于直线xb=对称，则ab+的值为 【变式【变式 1-2】（2023 上上海浦东新高三华师大二附中校考）已知函数 0 xf xaaxb=+的图象过点4,4-，且关于直线y
10、x=-成轴对称图形，则ab+=【变式【变式 1-3】（2021 上高一校考课时练习）若函数 g x的图象与 2143xf xxx+=+R且34x-的图象关于直线yx=对称，则 2g的值等于（）A56-B25-C25D511题型题型 05“正余弦正余弦”型对称型对称 【解题攻略】【解题攻略】“正余弦”型函数对称性质，课类比正弦（或者余弦）简洁记忆：（1）两中心,0,0,2=Tabab-；（2）两垂直轴,xa xb=则2Tab=-；（3）一个中心,0a，一条轴xb=，则4Tab=-更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【典例【典例 1-1】函数 f x是定义在R上的奇函数，且1f x-为偶函数，当
11、01x，时，12f xx=，若函数 g xf xxb=-恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A112244kkkz-+，B152222kkkz+，C114444kkkz-+，D1154444kkkz+，【典例【典例 1-2】.定义在R上的偶函数 f（x）满足 f（x）f（x2）0，当10 x-时，()(1)exf xx=+（已知3ln0.4052），则（）A0.323(2022)loge10fffB0.323(2022)elog10fffC0.323elog(2022)10fffD0.323loge(2022)10fff 1，纵坐标伸长为原来的 a 倍，横坐标不变 0 a，且 f x有三个零
12、点，则实数 a 的取值范围是（）A33 2,2-B,0-C0,+D,1-题型题型 08“局部周期局部周期”型函数性质型函数性质 【解题攻略】【解题攻略】局部周期函数，可类比以下函数图像：2,0=1,0 xxf xf xx-【典例【典例 1-1】定义在0,+)上的函数()满足()=2,0,1)(1)2,1,+).（i）(2021)=_.（ii）若方程()=0有且只有两个解，则实数 k 的取值范围是_.福建省长汀县第一中学 2022 届高三上学期第二次月考数学试题专题2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新
13、高考通用）【典例【典例 1-2】.已知()=12+,0,(1),0,且方程()=恰有两解.则实数的取值范围是_.【变式【变式 1-1】（2021 下天津武清高三天津市武清区杨村第一中学校）已知函数21(1),02()(2),2xxf xf xx-=-，若对于正数(*)nk nN，直线nyk x=与函数()f x的图像恰好有21n+个不同的交点，则22212nkkk+=.【变式【变式 1-2】（2021 上四川资阳高三统考期末）已知函数 2,112,13xxf xf xx-=-，函数 fx在0 xx=处的切线为l，若01165x时，121,02()1(2),22xxf xf xx-有下列结论：函
14、数 f x在6,5-上单调递增；函数 f x的图象与直线yx=有且仅有2个不同的交点；若关于x的方程2()(1)()0()f xaf xaa-+=R恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；记函数 f x在*21,2kkk-N上的最大值为ka，则数列 na的前7项和为12764.其中所有正确结论的编号是_.【变式【变式 1-1】已知定义在1,+)上的函数()=4|8 12|(1 2)12(2)(2)，则A在1,6上，方程()16=0有5个零点B关于的方程()12=0()有2+4个不同的零点C当 21,2()时，函数()的图象与轴围成的面积为4D对于实数 1,+)，不等式()6恒成立【变式
15、【变式 1-2】设函数()f x的定义域为R，满足(1)2()f xf x+=，且当(0,1x时，()(1)f xx x=-若对任意(,xm-，都有1()2f x -，则 m 的取值范围是（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A3,2-B102,4-C5,2-D102,4+-【变式【变式 1-3】定义域为R的函数()f x满足：(2)2()f xf x+=，当0,2)x时，232,0,1)()1,1,2)2xxx xf xx-=-，若 4,2)x-时，11()42f xt-恒成立，则实数t的取值范围是A2(0,5B2(0,3C(0,1D(0,2 题型题型 12 抽象函数赋值型性质抽象函数赋
16、值型性质 【典例【典例 1-1】（2023 春辽宁高三校联考阶段练习）已知 f x是定义在0 x x 上的函数，且在区间,0-内单调递增，对1x，20 xx x，都有 1 2121f x xf xf x+=+.若0,x$+，使得不等式 22e11xaf xfff+-成立，则实数a的最大值为 .【典例【典例 1-2】（2023全国高三对口高考）已知定义域为R的函数 f x对任意实数 x，y 满足 cos2f xyf xyyf x+-=，且 00f=，12f=给出下列结论：142f=；f x为奇函数；f x为周期函数；f x在0,内单调递减其中正确结论的序号是 【变式【变式 1-1】（2023江苏
17、南通统考模拟预测）若函数 f x的定义域为0,+，且 f xfyf xy+=，1nf anfn=+，则1001iif ia=【变式【变式 1-2】（2023浙江高三专题练习）若定义在R上的函数 f x满足：,x yR，2f xyf xyf x fy+-=，且 01f=，则满足上述条件的函数 f x可以为 .（写出一个即可）【变式【变式 1-3】（2022 秋湖南衡阳高三衡阳市一中校考）定义在 R 上的函数 f(x)满足x，yR，2f xyf xyf x fy+-=且 f(0)0，f(a)=0(a0).则下列结论正确的序号有 .f(0)=1；=f xfx-；2()()f xaf x+=；22()
18、21af=.题型题型 13 对称型恒成立求参对称型恒成立求参 【解题攻略】【解题攻略】更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 一般地，已知函数,yf xxa b=，,yg xxc d=（1）若1,xa b，2,xc d，有12f xg x成立，故 12aminm xf xg x；（2）若1,xa b，2,xc d$，有12f xg x成立，故12minminf xg x；（3）若1,xa b$，2,xc d$，有12f xg x成立，故12maxminf xg x；（4）若1,xa b，2,xc d$，有 12f xg x=，则 f x的值域是 g x值域的子集【典例【典例 1-1】（2021
19、 上江苏南京高三南京市中华中学校考期末）定义在R上的函数 f x满足(2)fxf x-=，且当1x时 23,141 log,4xxf xx x-+=-，若对任意的,1xt t+，不等式21fxf xt-+恒成立，则实数t的最大值为（）A1-B23-C13-D13【典例【典例 1-2】（2020湖南永州统考三模）已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 成立，则实数a的取值范围是（）A0,2B0,2,6-C2,0-D2,06,-+【变式【变式 1-1】（2021 上上海浦东新高三上海市建平中学校考阶段练习）已知 2f xxbxc=+，满足对于任意的xR，都有11fxfx-=-+，设 1nf
20、 nbn=-，若对于任意的*Nn，2n，都有4nbb成立，则实数c的取值范围是 【变式【变式 1-2】（2018 上上海奉贤高一上海市奉贤中学校考阶段练习）设函数3()(1)1f xxx=-+，对任意非零实数a，若等式(1)1(1)1(2)1(2)1(1)12018fkafkafkafkafkafka-+-+-+-+-+=L成立，则正整数k的值为 .【变式【变式 1-3】已知 f x是定义在 R 上的函数，且1f x+关于直线1x=-对称.当0 x 时，211422,022log,2xxf xx x-+，ktxyt+恒成立，则实数 k 的最小值为 高考练场高考练场1.（2022 秋云南保山高三
21、统考阶段练习）设函数()(0)axf xaax-=+，若 11g xf x=-+是奇函数，则2023f=（）A20232022-B10111012C20232022D10111012-2.已知函数()()f x xR满足()2()fxf x-=-，若函数1xyx+=与()yf x=图像的交点为 11221010,x yxyxy，则101iiixy=+=_.3.（2023 上贵州贵阳高三校联考阶段练习）已知函数 2log1f xxa=-+，当2xx x-时，62fxfx+=-，则 2f=.4.（2023 上上海闵行高三校联考期中）设曲线C与函数33()(0)24f xxxt=的图像关于直线3yx
22、=对称，设曲线C仍然是某函数的图像，则实数t的取值范围是 .5.已知定义在R上的函数 f x满足：()0fxf x-+=，2()fxf x-=，当01x时，21xf x=-，则2log 2023f=（）A252048-B9991024-C10242023-D512999-6.（2023 秋重庆九龙坡高三统考期末）已知函数 f x定义域为R，2f x+为偶函数，31fx-+为奇函数，则（）A 40f=B 20f=C102f=D10f-=7.对于三次函数 320axbxd af xcx=+，给出定义：设 fx是函数 yf x=的导数，fx是 fx的导数，若方程 0fx=有实数解0 x，则称点00,
23、xf x为函数 yf x=的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 3211233g xxxx=-+-，则2019202020212022gggg-+-+=（）A0B1C2D48.已知函数 ,f xg x的定义域均为R，且满足 24,46,310,f xgxg xf xgxg x-=+-=-+=更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君则601()nf n=（）A-3180B795C1590D-1590 9.已知4yf x=+是定义域为R的奇函数，2yg x=-是定义域为R的偶函数，且 yf x=与 yg x=的图象关于y
24、轴对称，则（）A yf x=是奇函数B yg x=是偶函数C yf x=关于点2,0对称D yg x=关于直线4x=对称 10.设定义在R上的函数 f x与 g x的导函数分别为 fx和 gx，若 32g xfx-=，1fxgx=-，且2g x+为奇函数，11g=现有下列四个结论：13gg-=；244ff+=-；20221g=；202214043kf k=-其中所有正确结论的序号是（）ABCD 11.已知定义域为R的奇函数()f x满足：当(0,1x时，()lnf xxx=；当(1,)x+时，()2(1)f xf x=-现有下列四个结论：()f x的周期为 2；当 2,1)x-时，()2(1)
25、ln(1)f xxx=+-；若*11N,eninfil=+，则1el-；若方程1()2f xkx=-在0,2上恰有三个根，则实数 k 的取值范围是11 ln2,2-其中所有正确结论的序号是（）ABCD 12.（2023 秋广东广州高三执信中学校考开学考试）设 f x为定义在整数集上的函数，11f=，20f=，10f-，对任意的整数,x y均有 11f xyf x fyfx fy+=-+-则55f=13.已知函数2()ln,()(4)22xf xg xm xxx+=-+-，对于120,4,0,1xx$，使得 21f xg x成立，则实数m的取值范围是（）A0,+B0,+C2,+D2,+【答案】C
26、【分析】由解析式、奇偶性定义判断 f x的单调性、奇偶性，再将条件化为23mx在,1xm m+上恒成立，即可求范围.【详解】由 ee2xxf x-=在xR上单调递增，且ee()2xxfxf x-=-，即为奇函数，所以202()fmxf mxfmxf mxf xm-+-=-，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君则223mxxmmx-在,1xm m+上恒成立，所以2(1)23mmm+.故选：C题型题型 02 中心对称型函数中心对称型函数【解题攻略】【解题攻略】中心对称结论：（1）若函数 f x满足2f axf axb+-=，则 f x的一个对称中心为,a b（2）若函数 f x满足 22faxf
27、 xb-+=，则 f x的一个对称中心为,a b（3）若函数 f x满足22faxfxb+-=，则 f x的一个对称中心为,a b.【典例【典例 1-1】.已知函数 2sin1sinf xlnxxxR=+，则存在非零实数0 x，使得（）A01f x=-B002f xfx-=C021ff xln=+D0032fxf xp+-=【答案】【答案】D【分析】判断函数 f x的奇偶性并求出其值域，根据值域可判断 A 错误；由函数的奇偶性可推出01f x=，此式不成立，故 B 错误；由所给等式可知01f x=，此时不成立，故 C 错误；由三角函数诱导公式可知20000lnsin1sinfxxxfxp+=+
28、-=-，代入等式可得034f x=-成立，故 D 正确.【详解】2221ln()lnsin1sinsinlnsinn1s n1isixxxxxxfx=-+-=+Q，2lnsin1sinfxxx-=+-，fxf x-=-，f x是定义在 R 上的奇函数，令sin 1,1tx=-，2ln1f tttft=+=-，当0,1t时，f t单调递增，001ln(21)ff tf=+，又函数 f t为奇函数，ln21ln21f t-+，函数 f x的值域为 ln21,ln21-+，1ln21-+Q，不存在0 x使得01f x=-成立，A 错误；000f xfxf x-=Q，若002f xfx-=成立，则01
29、f x=，又函数 f x的值域为 ln21,ln21-+，所以002f xfx-=不成立，B 错误；Q若0121ff xn=+成立，则01f x=，01f x=不成立，C 错误；20000lnsin1sinfxxxfxp+=+-=-Q，00fxf xp+-003222fxf x=-=-=则034f x=-成立，故 D 正确.故选：D【典例【典例 1-2】函数5sin(1510)55yxx=+-的图象与函数25(1)22xyxx+=+图象的所有交点的横坐标之和为_.【答案】-7更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【分析】由函数解析式可得两函数图象均关于点（1，0）对称，进而探讨函数25122x
30、yxx+=+的单调性，然后画出图象的大致形状，即可求得两图象所有交点的横坐标之和.【详解】易知函数5sin55yx=+的图象关于点（1，0）对称，设函数 25122xyf xxx+=+图象上任意一点为,A x y，则它关于（-1,0）的对称点为2,Bxy-，将其代入 yf x=的解析式得：2512222xyxx-=-+-+，即22251515122222222xxxyxxxxxx+=+-+-，于是函数25122xyxx+=+关于点（-1,0）对称.又 22222221222552222xxxxx xfxxxxx+-+-+=+，所以,2x-时，0fx，yf x=单调递增，0,x+时，0fx，yf
31、 x=单调递减.于是 x=-2 时，yf x=的极小值为522f-=-，而55sin5sin5sin5562y=-=-=.现作出两个函数的大致图象，如图：于是得到图象交点横坐标之和为：1+（2）3=7.故答案为：-7.【变式【变式 1-1】.设函数32()sinln13f xaxbxcxx=+的最大值为 5，则()f x的最小值为（）A5-B1C2D3【答案】【答案】B【分析】根据题意，设32()sinln1g xaxbxcxx=+，利用定义法判断函数的奇偶性，得出()g x是奇函数，结合条件得出()g x的最大值和最小值，从而得出()f x的最小值.解：由题可知，32()sinln13f x
32、axbxcxx=+，设32()sinln1g xaxbxcxx=+，其定义域为R，又32()()sinln()1)gxaxbxcxx-=-+-+-+-+，即32sinln(1)gxaxbxcxx-=-+-+-+，由于 22ln1ln1gcxxcxg xxx-+=+-+222211ln1ln10ln xxxxcxxcc+-+=+-=，即 0gxg x-+=，所以()g x是奇函数，而 3f xg x=+，由题可知，函数()f x的最大值为 5，则函数()g x的最大值为：5-3=2，由于()g x是奇函数，得()g x的最小值为-2，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君所以()f x的最小值为
33、：-2+3=1.故选：B.【变式【变式 1-2】已知函数222()log1221xf xxx=+-+，xR，若0,2pq$使关于q的不等式(2sincos)(42sin2cos)2ffmqqqq+-【分析】证明函数图象关于点(0,1)对称，再判断函数的单调性，从而把不等式变形后应用单调性化简，然后分离参数，转化为三角函数的最值，利用换元法可得结果【详解】显然函数定义域是R，222222()()log(1)2log(1)22121xxfxf xxxxx-+=+-+-+2222 22log(1)(1)()421221xxxxxxx=+-+-+=+，()yf x=的图象关于点(0,1)对称，原不等式
34、可化为(2sincos)2(42sin2cos)ffmqqqq-，即(2sincos)(42sin2cos)ffmqqqq-+，(*)设12xx，则22222212112212121222121(1)11()()11xxxxxxxxxxxxxx-+-+=+-+-=+-+12122212()111xxxxxx+=-+，2211221,1xxxx+，22121211xxxx+，1222121111xxxx+-+，2211221(1)xxxx+-+12122212()111xxxxxx+=-+0，即22112211xxxx+，2221122log(1)(1)xxxx+，由1222xx+，122221
35、122222log(1)2log(1)22121xxxxxx+-+-+，()f x是增函数，不等式(*)化为2sincos42sin2cosmqqqq-+，(*)令sincos2sin()4tpqqq=+=+，0,2pq，1,2t，不等式(*)化为2142tmt-+，问题转化为存在1,2t，使不等式2(1)2mt-+成立，当1,2t时，2(1)2t-+的最小值为 22m 故答案为：2m【变式【变式 1-3】.函数2ln(1)cos2yxxx=+的图像可能是（）AB更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君CD天津市耀华中学 2021-2022 学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】【答案】D【分
36、析】分析给定函数的奇偶性可排除两个选项，再对函数求导并求出在 0 处的导数值即可判断作答.【详解】令2()ln(1)cos2f xxxx=+，则其的定义域为,-+，2221()ln(1)cos2lncos2ln(1)cos2()1fxxxxxxxxf xxx-=-+=-+=-+，则函数()f x是奇函数，其图象关于原点对称，于是排除选项 A，B；22222cos2cos2()(1)2ln(1)sin22ln(1)sin2111xxxfxxxxxxxxxxx=+-+=-+，于是得(0)1f=，即函数()f x图象在原点处切线斜率大于 0，显然选项 C 不满足，D 满足.故选：D题型题型 03 轴
37、对称型函数轴对称型函数【解题攻略】【解题攻略】轴对称性的常用结论如下：（1）若函数 f x满足f axf ax+=-,则 f x的一条对称轴为xa=（2）若函数 f x满足 2faxf x-=,则 f x的一条对称轴为xa=（3）若函数 f x满足2faxfx+=-,则 f x的一条对称轴为xa=(4)f(ax)f(bx)f(x)的图象关于直线xab2对称；【典例【典例 1-1】（2023 上重庆高三重庆市忠县忠州中学校校联考）已知定义在R上的函数 f x，函数1yf x=+为偶函数，且对1212,1,x xxx+都有 12120f xf xxx-，若13f afa-，则a的取值范围是 【答案
38、】13,24-+U【分析】先根据条件得到函数的对称性和单调性，进而根据函数性质解不等式即可.【详解】Q函数1yf x=+为偶函数，即11f xfx+=-+函数 f x关于直线1x=对称，又Q对1212,1,x xxx+都有 12120f xf xxx-，函数 f x在1,+上单调递增，由13f afa-得1 131aa-，解得12a -或34a 故答案为：13,24-+U.【典例【典例 1-2】（2023 上江西景德镇高一统考期中）已知函数 f x满足关系式2fxfx+=-，且对于1x，212,1xxx-，满足12120f xf xxx-恒成立，若不等式23f axf x+对x R恒成立，则实
39、数 a 的取值范围是 更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【答案】2,2-【分析】由已知判定函数的对称性与单调性，利用单调性去函数符号解一元二次不等式恒成立问题即可.【详解】由于2fxfx+=-，可知函数 f x关于直线1x=轴对称，又对于12121112,1,0f xf xx xxxxx-恒成立，则函数()f x在,1-上单调递减，在1,+上单调递增，则222R,313 12xf axf xaxxx+-恒成立，则2122402,2120aaa=-=-，2mn，且有 2fmf n=，则12mmn+的最小值为 .【答案】122+【分析】由题意可得 f x的对称轴为2x=，函数 f x在2,+单
40、调递增，若0,0mn，2mn，且有 2fmf n=，则24mn+=，结合基本不等式求解最值即可【详解】2f x+为偶函数，则22fxf x-+=+，则 f x的对称轴为2x=，函数 f x在,2-单调递减，则函数 f x在2,+单调递增，若0,0mn，2mn，且有 2fmf n=，则222mn+=，即24mn+=，24mn=-，1211111214444mmnmnmnmnmnn+=+=+-=+-11121614844mnnmmnmn=+-=+-116212842nnmm+-=+，当且仅当8nmmn=且24mn+=，0,0mn，即221,4 22mn=-=-时，等号成立，故12mmn+的最小值为
41、122+故答案为：122+【变式【变式 1-2】（2023 上山东济南高三统考开学考试）若函数 2210f xxxaxbc c=-+-的图象关于直线2x=-对称，且 f x有且仅有 4 个零点，则abc+的值为 【答案】39【分析】先得到 221g xxxaxb=-+的图象也关于2x=-对称，观察到1,1-为 g x的两个零点，故由对称性可知，g x的另外两个零点分别为5,3-，从而得到方程组，求出815ab=，令 221815h xxxx=-+，求导得到其单调性和极值情况，画出 h x的图象，进而得到 g x的图象，根据 f x的零点个数，数形结合得到16c=，从而得到答案.【详解】由221
42、0 xxaxbc-+-=得221xxaxbc-+=，令 221g xxxaxb=-+，由于 2210f xxxaxbc c=-+-的图象关于直线2x=-对称，所以 221g xxxaxb=-+的图象也关于2x=-对称，显然1,1-为 g x的两个零点，故由对称性可知，g x的另外两个零点分别为5,3-，即2550930abab-+=-+=，解得815ab=，故 221815g xxxx=-+，令 221815h xxxx=-+，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君则 22322815128424288h xxxxxxxxx=-+-+=-+32246724241xxxxxx=-+-=-+-，故
43、当25x -或225x-，h x单调递增，当52x-+时，0h x，h x单调递减，又252516hh-=-+=，29h-=-，画出 221815h xxxx=-+的图象如下，故 221815g xxxx=-+的图象是将 221815h xxxx=-+图象位于x轴下方部分沿着x轴翻折到x轴上方即可，如下：要想 f x有且仅有 4 个零点，则16c=，故8 15 1639abc+=+=.故答案为：39【变式【变式 1-3】（2023 上陕西榆林高三校考阶段练习）函数 f x是定义在R上的奇函数，且图象关于12x=对称，在区间10,2上，21xf x=-，则2log 5f=.【答案】14/0.25
44、【分析】根据对称性和奇函数分析可得 2f xf x+=，进而结合指对数运算求解.【详解】由题意可得：111222fxfxfx+=-=-，则 1f xf x+=-，可得 21f xf xf xf x+=-+=-=，又因为52222252log 4log 5log32log 22=，即函数的定义域为,10,-+，又因为曲线 g x关于直线xb=对称，则定义域也关于xb=对称，即12b=-，由对称的性质可知则 10g xgxx=-令1x=可得 12gg=-代入函数得11ln22ln 12aa-=-，则11ln22ln2ln22aaa-=-=+所以12aa-=+，则12a=-.当12a=时，11ln
45、12g xxx=+验证是否关于12x=-对称：1111111ln 1lnln 12212xgxxxxg xxxx-=-+=-+=+=+0 x 成立；则1ab+=-.故答案为：1-.【变式【变式 1-2】（2023 上上海浦东新高三华师大二附中校考）已知函数 0 xf xaaxb=+的图象过点4,4-，且关于直线yx=-成轴对称图形，则ab+=【答案】32【分析】在函数()f x的图象上任取点(,)P x y，可得该点关于直线yx=-对称点，代入函数式并比较求出 b，再将给定点代入求出 a 得解.【详解】在函数()xf xaxb=+的图象任取点(,)P x y，则该点关于直线yx=-对称点(,)
46、yx-在()f x的图象上，即()yxayb-=-+，整理得1bxyax=+，而有xyaxb=+，因此1b=，即有()1xf xax=+，又函数()f x的图象过点4,4-，则4441a-=-+，解得12a=，所以32ab+=.故答案为：3261Y=x 对称【变式【变式 1-3】（2021 上高一校考课时练习）若函数 g x的图象与 2143xf xxx+=+R且34x-的图象关于直线yx=对称，则 2g的值等于（）A56-B25-C25D511【答案】A【分析】令 2f x=，根据对称性可知解得x的值即为所求 2g.【详解】令 2f x=，即21243xx+=+，解得：56x=-；更多全科试
47、卷，请关注公众号：高中试卷君 g xQ与 f x图象关于yx=对称，526g=-.故选：A.题型题型 05“正余弦正余弦”型对称型对称 【解题攻略】【解题攻略】“正余弦”型函数对称性质，课类比正弦（或者余弦）简洁记忆：（1）两中心,0,0,2=Tabab-；（2）两垂直轴,xa xb=则2Tab=-；（3）一个中心,0a，一条轴xb=，则4Tab=-【典例【典例 1-1】函数 f x是定义在R上的奇函数，且1f x-为偶函数，当01x，时，12f xx=，若函数 g xf xxb=-恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A112244kkkz-+，B152222kkkz+，C114444kkk
48、z-+，D1154444kkkz+，【答案】D【解析】根据条件判断函数周期为4，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为()f x与直线yxb=+只有一个交点，结合函数图像，即可求解.【详解】函数 f x是定义在R上的奇函数，且1f x-为偶函数，()(),(1)(1)fxf xfxf x-=-=-，(2)(1)1)()()f xfxfxf x-=-=-=-，即(2)(),(4)(2)()f xf xf xf xf x+=-+=-+=，()f x的周期为4.01x，时，12f xxx=，12,0,1,()()1,0()xfxxxf x-=-=-，()f xx=-，(1)(1),()(2
49、)fxf xf xfx-=-=-Q，()f x周期为 4，()(2)(2)f xfxfx=-=-+，当1,2,20,1,()(2)2xxf xfxx-+=-+=-+，当2,3,2 1,0,()(2)2xxf xfxx-+-=-+=-，做出函数()f x图像，如下图所示：令 0g xf xxb=-=，当 1,0 x-，0g xf xxbxxb=-=-=，xbx-=-，两边平方得22(21)0 xbxb+=，221(21)4410,4bbbbD=+-=+=-，此时直线与()f x在 1,0 x-函数图像相切，与函数有两个交点，同理154b=-，直线与()f x在4,5x函数图像相切，与函数有两个交
50、点，则要使函数()f x在1,4内与直线yxb=+只有一个交点，则b满足15144b-，()f x周期为 4，b范围也表示为11544b，所以所有b的取值范围是11544,44kbkkZ+.故选:D.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【典例【典例 1-2】.定义在R上的偶函数 f（x）满足 f（x）f（x2）0，当10 x-时，()(1)exf xx=+（已知3ln0.4052），则（）A0.323(2022)loge10fffB0.323(2022)elog10fffC0.323elog(2022)10fffD0.323loge(2022)10fff【答案】A【分析】根据条件，推出函数