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1、6.4.1平面几何中的向量方法 教学设计一、 课时教学内容 本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.二、 课时教学目标1. 通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；2. 明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；3. 让
2、学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. 三、 教学重点、难点1.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；2.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.四、 教学过程设计环节一 创设情境，引入课题思考：你还记得平面向量学习了哪些知识吗？1. 平面向量的定义；2.平面向量的加、减、数乘三种线性运算；3.平面向量的数量积运算；4.平面向量基本定理；5.平面向量的坐标表示及坐标运算； 前面我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算.本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题
3、中的作用.同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题。问题1：平面几何问题与平面向量之间的对应关系如何？完成下表. 几何元素及其表示向量及其运算平行垂直长度夹角【预设的答案】几何元素及其表示向量及其运算平行直线垂直直线长度的长度夹角 【设计意图】从向量的线性运算和数量积运算具有的几何背景出发，建立平面几何元素与平面向量之间的对应关系.通过复习前几节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。环节二 观察分析，感知概念由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角
4、等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.例1如图6.4-1， 是的中位线，用向量方法证明: ,【设计意图】创设数学情境，通过线段（直线）平行与向量共线关系的实例，让学生感受在数学学习中，利用平面向量研究平面几何中平行关系这一类问题.问题2：如果两个向量共线，那么向量所在直线的位置关系是怎样的？如何利用平面向量证明线段（直线）平行？【活动预设】启发学生初步感知用平面向量表示几何图形中的元素，并借助向量运算研究图形中的几何元素之间的关系.分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有
5、一定难度。如果用向量方法证明这个结论，可以取为基底，用表示，证明即可。【设计意图】让学生感受利用向量解决平面几何问题的思路，用基底法表示所求向量是向量表示的一种方法.证明:如图6.4-2，因为是的中位线，所以，从而又，所以.于是,【设计意图】通过例题让学生了解用向量方法证明几何问题，提高学生的解决问题、分析问题的能力。环节三 抽象概括，形成概念平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段
6、等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论。问题4：用向量方法解决平面几何问题的基本思路和步骤是什么？【预设的答案】几何图形到向量恰当的向量运算向量到几何关系【设计意图】在数学实践活动中归纳总结用向量方法解决平面几何问题的基本思路.环节四 辨析理解 深化概念用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系。【设计意图】通过思考，总结用向量方法做几何问题的步骤，提高学生分析问题、概括
7、问题的能力。环节五 概念应用，巩固内化例2如图6.4-3， 已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗?【预设的答案】.【设计意图】利用向量方法探究平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系，意图之一仍是体会基底思想，用基底建立的联系，意图之二是体会涉及两个向量的和或差的模的问题时，只需对向量的和或差的模平方.分析:平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.解:第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题:如图6.4-4，取
8、为基底为基底，设，则，第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系:，上面两式相加，得第三步，把运算结果“翻译”成几何关系: 【设计意图】通过例题进一步熟悉向量的工具作用，提高学生用向量解决几何知识解决问题的能力。环节六 归纳总结,反思提升1.用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将长度、垂直、平行等问题转化为代数问题一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目用坐标法更简单2.用向量方法解决平面几何问题的步骤 【设计意图】
9、（1）梳理本节课的学习内容：用向量方法解决几何问题的思路；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会用向量方法解决几何问题的必要性 .环节七目标检测，作业布置 完成教材： 第39页练习第1,3题.练习（第39页）1.证明:等腰三角形的两个底角相等.2.如下页图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M,求EMF的余弦值.3.如下页图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB, AC于不同的两点M，N.设,求m+n的值.1.在ABC中，设， 且，由，得，把上述两式两边分别平方，得，由于，所以,即 所以.因此B=C.2.如图，以A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)， D(0, a)，.于是, ,并且EMF的大小等于,的夹角.因为，所以3.因为，,所以，注意到点O是BC的中点，所以，整理得，又M,O, N三点共线，所以则有因为与不共线，所以因此m+n=2.