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1、湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高三下学期2月收心考试数学试卷*数学答案(共 9 页)第 1 页2024 年新高考联考协作体高三 2 月收心考试高三数学参考答案一、选择题题号1234567891011答案BDACBDBCACDACABD【解析】4、【解析】假设经过 n 年后年全年投入的研发资金开始超过 200 万元，即160(1.1)200n所以13lg20.12.5lg1.10.04n，因此超过 200 万元的年份是 2026 年.答案选 C.5、【解析】2ae在e上的投影向量为(2)(2)aeeea eee，所以3a e，因为2|2|1044103 2eae aaa 所以：2.
2、24ae与 夹角的余弦值为，所以夹角为答案选 B.6、【解析】因为28()(01)xxxf xaax a且是偶函数，所以28282882,()28xxxxxxxxxxxxxxax axaa因此：222816,4()xxxaaa舍负，因此答案选 D.7、【解析】设21,|sin22PABAPCSPA直角三角形APC，1tanPA，所以2221131tan3sin22 tan12tan1tan12整理可得：3tantan4 30tan3,3 因此12 3sin3PC，答案选 B(本题带选项验算也可以).8、【解析】取两种特殊情况说明：1k 时显然成立；当4k 时，理由如下因为 na是等比数列，设公
3、比为0q q，则0na，当Nt，4ttaa时，4ttaa q，即22110tqqa，若0ta，则11q#QQABaQSEggiIAAJAAQgCAw16CAAQkAACAKoOxAAAsAABCQFABAA=#*数学答案(共 9 页)第 2 页注意到，当0q 时，10ttaa q，与假设矛盾，舍去，故01q，此时1tttaaaq，则 na为递减数列；若0ta，则1q 或1q，注意到，当1q 时，10ttaa q，与假设矛盾，舍去，故1q，此时1tttaaaq，则 na为递减数列；综上：当Nt，4ttaa时，na为递减数列，即充分性成立；当 na为递减数列时，1234tttttaaaaa，即Nt
4、，4ttaa成立，即必要性成立；故选：C.9、【解析】设弧AD所在圆的半径为 R，弧 BC 所在圆的半径为 r，弧AD的长度是弧BC长度的 3 倍，3,3,22,1,322RrRrCDRrrrR 即，所 以 弧AD的 长 度 为32；曲 池 的 体 积 为22111(R)1044VrAA；曲池的表面积为221111(R)2(R)52 5 220 144422rr ；三棱锥1ACC D的体积为13 553.答案选：ACD.10、【解析】当1a 时，3|3|yxax在区间3(,2)2上单调递减，因为函数3|3|yxax在0 x 上的单调递减区间为(,3)aa，所以13232aaa，因此4934a；
5、当01a时，3|3|yxax在区间3(,2)2上单调递增，因为函数3|3|yxax在0 x 上的单调递增区间为(0,),(3,)aa，所以01332aa因此304a答案选 AC.11、【解析】因为2111()3()2,1nnnnaaaaa，所以1112nnnnaaaa或，因此 A，B 是正确的.相邻两项的差值最小为 1，最大为 2，所以当na是以 1 为首项，以 1 为公差时，11S取最小值为 66；当na是以 1 为首项，#QQABaQSEggiIAAJAAQgCAw16CAAQkAACAKoOxAAAsAABCQFABAA=#*数学答案(共 9 页)第 3 页以 2 为公差时，11S取最大
6、值为 121；且11S取值一定是正整数，所以11S的取值个数为 121-66+1=56,所以 C 不对.61116111665211110762()()()()aaaaaaaaaaaaaaa，所以满足61112aaa的数列na的个数为001122334455555555555555252C CC CC CC CC CC C.答案 ABD.二、非选择题12.13.325914.25,2 36【解析】13、【解析】连接AC，即求三角形ACD的外接圆的面积.直角三角形ABC中，6,8,10ABBCAC，所以3sin5ACB3,sin5ADBCDAC，直角梯形ABCD中，2 13DC，三角形ACD的外
7、接圆直径为：2 1310 132335R，因此三角形ACD的外接圆的面积325914、【解析】由已知可知()4sin(2)3g xx，因为对任意10,2x，都存在204x，使得12()()f xg x，所以()0,()024f xxg xx 在上的值域是在，上值域的子集()0,-1,12f xx在上的值域，且0,2,42xx，因为()g x值域中一定有 1 这个元素，所以2,222kkZ（必要条件）还需要约束()g x的最小值小于等于-1，所以4sin()314sin312 或者因此11sincos22 或者，所以25,2 36.15.（1）当6C时，cos31 sin3BB，所以2cos()
8、1,(0,)6BB#QQABaQSEggiIAAJAAQgCAw16CAAQkAACAKoOxAAAsAABCQFABAA=#*数学答案(共 9 页)第 4 页因此6B；5 分（2）costan,coscossinsinsin1 sinBCBCBCCB化简得cos()sinsin()sin2BCCAC8 分因此：,2(0)224ACBCC27777sinsin,cos2sin,2sinsin102222bcBCCCCC 则11 分所以1sinsin2()4CC 或舍因此1sin4C.13 分16.（1）摸球两次停止摸球说明前面两次摸到的是白色球，记事件,1,2iA i 为“第i次摸球的颜色是白
9、色”因此12211()6515P A A；4 分（2）X的可能取值为 2，3，4，5211(2)6515P X 2412(3)265415P X 7 分432124314(4)36543654315P X 10 分8(5)1(2)(3)(4)15P XP XP XP X 13 分X2345P11521541581526164064()1515E X因此X的期望为6415.15 分17.因为PA 底面ABCD，四边形ABCD为菱形，取 CD 中点 H，CDAHACDBADBDADAB是等边三角形，。120,32,2#QQABaQSEggiIAAJAAQgCAw16CAAQkAACAKoOxAAA
10、sAABCQFABAA=#*数学答案(共 9 页)第 5 页以点A为坐标原点，AB、AH、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，2 分设2PAAB，则0,0,0A、2,0,0B、1,3,0C、1,3,0D、0 0 2P,、1,0,1E、1,3,02F，设,3,2PGPC ，其中01，选择条件,3,22AGAPPG ，1,0,1AE uuu r，1,3,02AF ，设1,3,2AGmAEnAFmnn m ，则123322mnnm，解得47（其它方法酌情给分）6 分(2)4 46,3,7 77AGmAEnAF ,1,0,1AE uuu r,平面AEG的法向量1111(,)n
11、x y z1111111446307770nAGxyznAExz 则13(1,1)6n 9 分设平面PAF的法向量为,nx y z，0,0,2AP ，1,3,02AF ，则201302n APzn AFxy ，取2x，则32,03n，12 分11113cos,5|n nn nn n 14 分#QQABaQSEggiIAAJAAQgCAw16CAAQkAACAKoOxAAAsAABCQFABAA=#*数学答案(共 9 页)第 6 页平面AEG与平面APF所成二面角的余弦值为13515 分选择条件,3,22AG，2,0,2BP ，若AG 平面PBD，因为0AG BD 且2440AG BP ，解得2
12、3，6 分（2）2 2 3 2(,)333AG,1,0,1AE uuu r,平面AEG的法向量1111(,)nx y z111111122 3203330nAGxyznAExz 则1(1,0,1)n 9 分设平面PAF的法向量为,nx y z，0,0,2AP ，1,3,02AF ，则201302n APzn AFxy ，取2x，则32,03n，12 分11178cos,13|n nn nn n 14 分平面AEG与平面APF所成角的余弦值为7813.15 分选择条件设平面PAF的法向量为,nx y z，0,0,2AP ，1,3,02AF ，则201302n APzn AFxy ，取2x，则32
13、,03n，1,0,1,3,21,3,1 2EGEPPG ，若/EG平面PAF，则22320EG n ，解得23，6 分（2）2 2 3 2(,)333AG,1,0,1AE uuu r,平面AEG的法向量1111(,)nx y z111111122 3203330nAGxyznAExz 则1(1,0,1)n 12 分#QQABaQSEggiIAAJAAQgCAw16CAAQkAACAKoOxAAAsAABCQFABAA=#*数学答案(共 9 页)第 7 页11178cos,13|n nn nn n 14 分平面AEG与平面APF所成角的余弦值为7813.15 分18.证明：线段MN的中点为定点【
14、详解】（1）由题意可得1 1222222432A B A BabcceSaba，解得132abc，所以椭圆方程为2214xy.5 分（2）由题意可知：直线PQ的斜率存在，设1122:21,PQ yk xP x yQ xy，联立方程222114yk xxy，消去 y 得：2224181 2160kxkk xkk，则0，解得0k，可得21212221681 2,4141kkkkxxx xkk，8 分因为10,1B，则直线1111:1yB P yxx，令1y ，解得1112xxy，即112,11xMy,同理可得222,11xMy，12 分则121212122211222yyxxkxkkxxxk212
15、2112122222121212(2)(2)22()164(2)(2)2()44x kxkx kxkkx xk xxkkxk kxkk x xkxxkk 16 分所以线段MN的中点是定点4,1.17 分#QQABaQSEggiIAAJAAQgCAw16CAAQkAACAKoOxAAAsAABCQFABAA=#*数学答案(共 9 页)第 8 页19.（1）定义域为(0,)x，2(1)()()xxexh xx所以函数()h x在(0,1)上单调递减，(1,)上单调递增，.2 分()h x的最小值为(1)1hea，0 x时，()h x ；x ，()h x ()h x有两个零点，只需要(1)10hea
16、，即1ae.4 分实数 a 的取值范围为(1,)e.5 分（2）因为1212xxeeaxx，取对数可得：21112221lnln1lnlnxxxxxxxx7 分下证：211221lnlnxxx xxx即证明：2212111212lnxxxxxxxxx x令211xtx，即证：12lnttt 9 分令22121()2ln,(1)0,()0ttg tttgg ttt 所以()(1,),()(1)0g tg tg在上单调递减恒成立.因此121x x 得证.10 分（3）要证：以AB为直径的圆与直线3(1)4yx恒有公共点即证：1221334242194xxxx也就是证明：212121216()12(
17、)12760 xxxxx x.12 分由（2）可知121x x，所以088)(12)(167612)(12)(16212212121221xxxxxxxxxx0)2(11)(442121xxxx即#QQABaQSEggiIAAJAAQgCAw16CAAQkAACAKoOxAAAsAABCQFABAA=#*数学答案(共 9 页)第 9 页下面证明：12114xx成立即可因为2(1)(),(,0)(0,)xexfxxx，因此()f x的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(,0),(0,1)，所以1201xx，1221212112lnln(1)ln,1111xxxeettttttxxtxxxxxttt 令13 分令21(2ln)(1)ln(),()1(1)ttttttttt 令22121()2ln,(1)0,()0ttg tttgg ttt 所以()(1,),()(1)0g tg tg在上单调递减恒成立.因此()0()tt 恒成立，单调递增；当a越大时，t越大，因此12xx的值越大.15 分当5a 时，因为0.252.51()450,(2.5)0.4e504fef，所以12121110.25,2.5,4xxxx，所以5a 是，12114xx.17 分#QQABaQSEggiIAAJAAQgCAw16CAAQkAACAKoOxAAAsAABCQFABAA=#